由一個二元二次方程和一個可以分解為兩個二元一次方程

由一個二元二次方程和一個可以分解為兩個二元一次方程組成的方程組

【教學目標】（一）

使學生會解由一個二元二次方程和一個可以分解為兩個二元一次方程組成的方程組的解法；（二）

使學生掌握分解降次的解題思路?！窘虒W重點和難點】重點：用分解因式降次的方法解二元二次方程組。難點：把一個二元二次方程分解降次，轉(zhuǎn)化為兩個二元一次方程?！窘虒W過程設計】（一）復習1．什么叫做二元二次方程2．什么叫做二元二次方程組？3．什么叫做二元二次方程組的解？4．

我們已學過的由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組的最基本的解法是什么法？（代入消元法）5．

用因式分解法解一元二次方程，要寫出解題過程。x2－3x－4=－6.解：移項，使等號右邊為零，得x2－3x+2=0，等號左邊分解因式（x－2）（x－1）=0①方程①可分解為兩個一次方程x－2=0，x－1=0，所以x1=2，x2=1.（二）新課我們今天學習另一類二元二次方程組的解法，這一類二元二次方程組的特點是：由一個二元二次方程和一個可以分解為兩個二元一次方程組成的方程組。例1解方程組x2+y2=20，①x2-5xy+6y2=0②分析：在這個方程組中，方程②的左邊各項都是2次，右邊的項是數(shù)0，也可以看作是二次項（因為0x2=0）。我們把方程②叫做二元二次齊次方程，把方程②的左邊叫做二次齊次三項式。在原方程組中，方程②左邊的二次齊次三項式可以分解為兩個一次齊次式的積（x-2y）（x-3y），而右邊為0，因此，方程②可以化為兩個二元一次方程x-2y=0,x-3y=0。它們與方程①分別組成兩個方程組解這兩個方程組，就得到原方程組的所有的解。解：由②，得(x-2y)(x-3y)=0所以x-2y=0,或。因此，原方程組可以化為兩個方程組（1）（2）根據(jù)上次課程，由一個二元二次方程與一個二元一次方程組成的方程組的解法，可解出方程組（1），（2）。由方程組（1）得由方程組（2）得為了弄清這個問題，避免出現(xiàn)不應有的錯誤，我們滲透了同解方程組的概念和理論。設A（是含有未知數(shù)的二元二此整式。M（是含有未知數(shù)的二元一次整式，則有定理3方程組（1）與下列兩個方程組（1）和（3）是同解方程組。例1的解題根據(jù)就是定理3例2

解方程組②②①①分析：方程①，②都能分解因式。解：原方程變形為④④③③

（1）方程組（1），同解于下列兩個方程組（2），（3）。（2）（3）同理，方程組（2），同解于方程組（4），（5）。同理，方程組（3），同解于方程組（6），（7）。即（4）（5）（6）（7）由二元一次方程組（4），（5），（6），（7）分別解得例3解方程組：②②①①分析：方程①與方程②的右邊都不是0，（而方程一邊為0是分解因式法解方程的必要前提），于是把①、②右邊都移項，成為④④③③

雖經(jīng)過這樣的變形，但③、④的左邊都不能分解因式，還需做一些技術(shù)處理。把③-④，得即即⑤方程組（1）同解于下列方程組（2），即(2)而方程組（2）同解于下列兩個方程組（3），（4）。即（3）（4）由（3）解得由（4）解得此例3的解題依據(jù)是用了下述的同解定理4。定理4設A（x,y）,B(x,y)都是二元二次式，且m,n是非零實數(shù)，則方程組（1）同解于方程組（2）例4解方程組②②①①分析：先移項，使方程一邊為0，得④④③③但是這兩個方程的左邊三項都不能分解因式。我們在前面學過的，用分式法分解二次三項式時，會對或等式子因式分解，也就是說，我們會對二次齊次三項式因式分解。注意二次齊次三項式不含常數(shù)項。為此，我們想法從③、④來構(gòu)造出一個不含常數(shù)項的二次齊次三項式。⑤⑤把③式兩邊都乘以2，得⑥⑥把④式兩邊都乘以7，得把⑤-⑥，得 2x2-xy-28y2=0 ⑦根據(jù)定理4，由⑦與④組成的方程組（1）與原方程組是同解方程組。②②①①即 與（1） 是同解方程組。⑦的左邊可分解為（2x+7y）(x-4y)=0,即（1）為方程組（1）同解于下面兩個方程（2），（3），即

（2） （3）

方程組（2），（3）都是由一個二元二次方程與一個二元一次方程組組成的方程組，用代入消元法一定會解，解得 （三）課堂練習解方程組：提示：得4個方程組 分別解得（四）小結(jié)1.

本單元內(nèi)容與上一單元有密切聯(lián)系，上一單元的解法關(guān)鍵是代入消元；本單元的解法關(guān)鍵是先通過因式分解，把二元二次方程降次為兩個二元一次方程，然后再用上一單元的解法。由此可知，消元與降次這兩個方法是解二元二次方程組的核心。2.

在用因式分解法解方程時，方程的一邊必須是零。而方程的左邊的因式分解，有時要求技巧較高，需要用換元等方法。尤其要注意二次齊次三項式ax+bxy+cy在b-4ac0時，總可用求根公式法分解因式。3.

有時需要用定理4，對原方程組中的方程進行適當?shù)募?、減、乘，構(gòu)造出一個能分解因式的二元二次方程，由此制造出一個與原方程組同解的方程組。（五）作業(yè)1.

把下列方程化成兩個二元一次方程：(1) x-3xy+2y=0; (2)x-4xy+3y=0(3) x-6xy+9y=16; (4) 2x-5xy=3y;(5) (x+y)-10=3(x+y); (6) x-4xy+4y=2x-4y+3.2.

解下列方程組： （1） （2）（3）3．解下列方程組：（1） （2）（3）（4）課堂教學設計說明1．在復習舊知識為引入新課作準備時，突出了“代入消元法”及用因式分解法解一元二