2023考研講座(1-8)高數(shù)線代復(fù)習(xí)導(dǎo)引

(1)考好數(shù)學(xué)的基點

''木桶原理”已經(jīng)廣為人所知曉。但真要在做件事時找到自身的短處，下意識地有針對

性地實行措施，以求得滿足的結(jié)果。實在是一件不簡潔的事。

非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生與數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的最基本差別，在于概念意識。

數(shù)學(xué)科學(xué)從最嚴(yán)密的定義動身，在精確的概念與嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)上層層疊疊，不斷在

深度與廣度上發(fā)展。各向齊茂，形成一棵參天大樹。

在《高等數(shù)學(xué)》中，動身點處就有函數(shù)，極限，連續(xù)，可導(dǎo)，可微等重要概念。

在《線性代數(shù)》的第一學(xué)問板塊中，最核心的概念是矩陣的秩。而其次學(xué)問板塊中，

則是矩陣的特征值與特征向量。

在《概率統(tǒng)計》中，第一重要的概念是分布函數(shù)。不過，《概率》不是第一層次基礎(chǔ)

課程。學(xué)習(xí)《概率》須要學(xué)生有較好的《高等數(shù)學(xué)》基礎(chǔ)。

非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生大多沒有概念意識，記不住概念。更不會從概念動身分析解決

問題?；A(chǔ)層次的概念不熟，下一層次就云里霧里了。這是感到數(shù)學(xué)難學(xué)的關(guān)鍵。

高校數(shù)學(xué)教學(xué)目的，通常只是為了滿足相關(guān)本科專業(yè)的須要。老師們在授課時往往不

會太重視，而且也沒時間來進(jìn)行概念訓(xùn)練。

考研數(shù)學(xué)目的在于選拔，考題中基本概念與基本方法并重。這正好擊中考生的軟肋。

在考研指導(dǎo)課上，往往會有學(xué)生莫名驚詫，''與大一那會兒學(xué)的不一樣?！本売删驮谟趯W(xué)過的

概念早忘完了。

做考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，首先要在基本概念與基本運算上下足功夫。

按考試時間與分值來匹配，一個4分的選擇題平均只有5分鐘時間。而這些選擇題卻

分別來自三門數(shù)學(xué)課程，每個題又至少有兩個概念。你的大腦要飽受交混回想的檢驗。你可

以由此體驗選拔考試要求你對概念的熟識程度。

從牛頓在碩士生二年級的第一篇論文算起，微積分有近四百年歷史。文獻(xiàn)浩如煙海，

學(xué)問千錘百煉。非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生們所接觸的，只是初等微積分的一少部分。方法特別經(jīng)

典，概念特別重要。學(xué)生們要做的是接受，理解，記憶，駕馭計算方法，學(xué)會簡潔推理。首

先是要記得住。

你要玩好嬉戲，你也得先了解嬉戲規(guī)則，把它記得滾瓜爛熟啊。

你要考得滿足嗎？基點不在于你看了多少難題，關(guān)鍵在于你是否對基本概念與基本運

算特別熟識。

數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生面壁苦修的一個方式是畫''聯(lián)絡(luò)圖"。每學(xué)完一章，抽肯定時間復(fù)習(xí)小

結(jié)，靜心地用筆理線索。

先默寫出各個定義，中心定理，協(xié)助定理，簡潔結(jié)論，思索其相互關(guān)系。再回顧主要

定理證明——關(guān)鍵步驟是哪步，有無特色細(xì)微環(huán)節(jié)，可否仿照。哪些可以收編為練習(xí)。條

件能否減弱，有無相應(yīng)反例。在主要參考書上，有沒有更細(xì)化的評注或說明或應(yīng)用。

有沒有重要算法與公式。假如有，是否有前提條件，是否要推斷分類......

這是一個下意識的系統(tǒng)消化手段，也是一個有效的記憶方法。記住了而還沒有消化好

的內(nèi)容，則一點一點地成為定向思維的材料。

當(dāng)然要做題。有了肯定的學(xué)問打算后，首先做教科書習(xí)題。演練簡潔的題目，體念并

熟識概念與公式。剖析困難的題目，了解如何綜合考查自己，學(xué)習(xí)分步邏輯推理。把典型題

目與相關(guān)概念或定理或典型方法歸納記憶在一起。進(jìn)一步做參考書及資料上的題，感受了解

考研題目如何考查自己。漸漸形成用''獵奇"的眼光去選擇典型題目的實力

數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生面壁苦修的又一個方式是積累一個''材料庫"。盡可能熟識課程探討的

基本對象。就如我將在講解時（微積分部分）舉薦的，''三個典型的（極限）不存在"，''X趨

于+8時，指數(shù)函數(shù)，基函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的無窮大階數(shù)比較。'八'三個典型的不行導(dǎo)"，''四個

典型的不行積”等等。

概念記得越精確，視察推斷的眼光越犀利?；径ɡ恚痉椒ㄓ浀迷角宄?，分析題

目時方向越明白。

當(dāng)你面對一個題目時，你的自然反應(yīng)是，''這個題目涉及的概念是……"，而非''在哪

兒做過這道題”，才能算是有點入門了。

講座（2）筆下生花花自紅

在愛搞運動的那些年頭里，數(shù)學(xué)工作者們常常受到這樣的指責(zé)，''一支筆，一張紙，

一杯茶，鬼畫桃符，脫離實際?！卑l(fā)難者不懂基礎(chǔ)探討的特點，不懂得考慮數(shù)學(xué)問題時''寫"

與''思”同步的重要性。

或許是計算機(jī)廣泛應(yīng)用的影響，今日的學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，也不太懂得''寫"的重要性。

考研的學(xué)生們，往往拿著一本厚厚的考研數(shù)學(xué)指導(dǎo)資料，看題看解看答案，或看題想解翻答

案。動筆的時間很少。

數(shù)學(xué)書不比小說?？磾?shù)學(xué)書和照鏡子差不多，鏡子一拿走，印象就模糊。

科學(xué)的思維是分層次的思維。求解一個數(shù)學(xué)問題時，你不能企圖一眼看清全路程。你

只能踏踏實實地考慮如何邁出第一步。

或''依據(jù)已知條件，我首先能得到什么？"（分析法）；

或''要證明這個結(jié)論，就是要證明什么？"（綜合法）。

在許多情形下，寫出第一步與不寫的感覺是完全不同的。下面是一個簡潔的例。

''連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和會怎樣？”

寫成''連續(xù)A+不連續(xù)B=?”后就可能想到，只有兩個答案，分別填出來再說。

（窮盡法）。

假如，''連續(xù)A+不連續(xù)B=連續(xù)C"則''連續(xù)C-連續(xù)A=不連續(xù)B"

這與定理沖突。所以有結(jié)論：連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和肯定不連續(xù)。

有相當(dāng)一些數(shù)學(xué)定義，比如''函數(shù)在一點可導(dǎo)”，其中包含有計算式。能否駕馭并運用

這些定義，關(guān)鍵就在于是否把定義算式寫得滾瓜爛熟。比如，

題面上有已知條件,概念深，寫得熟的人立即就會先寫出

h趨于0時,lim（f（l+h）-f（l））/h>0

然后由此自然會聯(lián)想到，下一步該運用極限的性質(zhì)來推理。而寫不出的人就抓瞎了

又比如《線性代數(shù)》中特征值與特征向量有定義式Aa=Xa,a*0,要是移項寫

成（A-AE）a=0,a豐0,

這就表示a是齊次線性方程組（A-AE）X=0的非零解，進(jìn)而由理論得到算法。

數(shù)學(xué)思維的特點之一是''發(fā)散性"。一個數(shù)學(xué)表達(dá)式可能有幾個轉(zhuǎn)換方式，或許從其中

一個方式會得到一個新的說明，這個說明將導(dǎo)引我們邁出下一步。

車到山前自有路，你得把車先推到山前啊。望山跑死馬。思索一步寫一步，觀測分析

邁下步。路只能一步步走。陳景潤那篇名揚世界的、'1+2”論文中有28個''引理"，那是他艱難

地走向輝煌的28步。

對于許多考生來說，不熟識基本計算是他們思索問題的又一大障礙。

《高等數(shù)學(xué)》感覺不好的考生，第一緣由多半是不會或不熟識求導(dǎo)運算。求導(dǎo)運算差，

探討函數(shù)的圖形特征，積分，解微分方程等，反應(yīng)必定都慢。

《線性代數(shù)》中矩陣的乘法與矩陣乘積的多種分塊表達(dá)形式，那是學(xué)好線性代數(shù)的訣

竅。好些看似很難的問題，選擇一個分塊變形就明白了。

《概率統(tǒng)計》中，要嫻熟地運用二重積分來計算二維連續(xù)型隨機(jī)變量的各類問題。對

于考數(shù)學(xué)三的同學(xué)來說，二重積分又是《高等數(shù)學(xué)》部分年年必考的內(nèi)容。駕馭了二重積分,

就能在兩類大題上得分。

要考研嗎，要去聽指導(dǎo)課嗎，最好先自己動筆，盡可能地把基本計算練一練。

經(jīng)濟(jì)類考生還特別有個''短板"。就是不熟識《解析幾何》。要先下點功夫，做到能嫻

熟地建立平面直角坐標(biāo)系下的直線方程（點斜式，兩點式），求兩條直線的交點，隨意能畫

出基本初等函數(shù)的圖形等等。

我始終向考生建議，接近考試的一段時間里，不仿多自我模擬考試。在限定的考試時

間內(nèi)作某年研考的全卷。中途不翻書，不查閱，憑已有實力做究竟。看看成果多少。不要以

為你己經(jīng)看過這些試卷了。就算你知道題該怎么做，你一寫出來也可能會面目全非。

多動筆啊，''寫小思"同步步履輕，筆下生花花自紅。

講座（3）拓?fù)漕A(yù)備說質(zhì)變

高等微積分（《數(shù)學(xué)分析》）的第一章，講實數(shù)的完備性。即全體實數(shù)與數(shù)軸上的點勝

利一一對應(yīng)。于是我們從今''點數(shù)"不分。

數(shù)軸的一段稱為區(qū)間。區(qū)間是特殊的數(shù)集。為了便利起見，通常也把半直線說成區(qū)間。

記數(shù)軸的右端趨向為+00（正無窮大），左端趨向為-8（負(fù)無窮大）。有的數(shù)學(xué)分

支虛擬了一個00點，把直線說成是半徑無窮大的園。+8與-8則是這個虛擬點的兩側(cè)。

不含端點的區(qū)間叫開區(qū)間。以點X0為中心的開區(qū)間稱為X0的鄰域。歷史上約定，

說''在點xO的鄰近，……”,就是指''在點xO的某個鄰域內(nèi).....

（畫外音：開區(qū)間的拓?fù)涠x是，開區(qū)間隨意一點，總有至少一個鄰域，全含于這個

開區(qū)間內(nèi)。）

一元微積分的拓?fù)浠A(chǔ)是區(qū)間。建立在區(qū)間基礎(chǔ)上的積分叫''黎曼積分”。

自然數(shù)集與區(qū)間都是含有無窮個數(shù)的數(shù)集，但兩者也有差別。

從有限到無窮，這是質(zhì)變。

只含有限個數(shù)的數(shù)集，肯定有最大及最小的數(shù)，而無窮集則不肯定。比如自然數(shù)集有

最小值而沒有最大值。數(shù)集（0,1）則既沒有最小值，也沒有最大值。

兩個有限集相比時，肯定可以分出，誰含有的數(shù)較多。而無限集之間不能這樣比。只

能看兩個無限集是否能建立一一對應(yīng)關(guān)系。假如兩個無限集之間能建立一一對應(yīng)，則稱這兩

個數(shù)集屬于同一級別。（專業(yè)詞：有同樣的''勢相當(dāng)于說這兩個數(shù)集所含有的數(shù)''一樣多",

很好玩也很哲學(xué)的是，通過對應(yīng)2n-n,''偶自然數(shù)集"可以與''自然數(shù)集”建立一

一對應(yīng)。即它們屬于同一級別。這表明，無限集的真子集可以與全集建立一一對應(yīng)，而有限

集明顯不行。

能與自然數(shù)集建立一一對應(yīng)的無限集，稱為可列集?？闪屑械娜w數(shù)，可以與自然

數(shù)對應(yīng)排成一個''序列"：

xl,x2,..,xn....

每個不行列的無限集，都肯定能與數(shù)集（0,1）建立一一對應(yīng)。

這樣一來，從含有數(shù)的''多少"意義來看，只有兩類無限集。可列集或不行列集。

最令人驚訝的是，盡管有理數(shù)具有稠密性，即隨意兩個實數(shù)之間必定至少有一個有理

數(shù)，但是全體有理數(shù)是一個可列集。實軸上幾乎全是無理數(shù)。

（畫外音：一個小數(shù)學(xué)試驗——可列集的''測度"

讓我們用一個個小區(qū)間來順次''包裝"可列集的點。第1個小區(qū)間長6/2,裝入xl,

第2個小區(qū)間長G/4,裝入x2,第3個小區(qū)間長G/8,裝入x3.........第n個小區(qū)間長6

/（2的n次方，裝入xn.........根據(jù)一一對應(yīng)方式，將可列集的點全體點，裝入了可列

個小區(qū)間內(nèi)。各個小區(qū)間的長，順次組成公比為1/2的無窮遞縮等比數(shù)列，因而可以算得這

可列個小區(qū)間的總長為6,由于6可以取成隨意小的正數(shù)，因而這個試驗說明白，把一個可

列集的點''擠”著排起來，也不會在數(shù)軸上占有長度。用數(shù)學(xué)專業(yè)用語說，可列集的''測度"為

0,所以實軸上幾乎全是無理數(shù)。）

講座（4）函數(shù)探討先''微觀"

微分學(xué)探討函數(shù)。函數(shù)是描述過程的最簡潔的數(shù)學(xué)模型。

定義一任給定義域內(nèi)一點x,通過某一對應(yīng)規(guī)律，有唯一確定的y值與之對應(yīng)，

就稱變量y是變量x的函數(shù)。記為y=f（x）

所謂''對應(yīng)規(guī)律"，可能是解析表達(dá)式，這是我們所常見的。

可能是一句話顯示的規(guī)定。例如，肯定值函數(shù)y=|x],取整函數(shù)y=[x],（y=不

超過x的最大整數(shù)）

也可能是表格等方式.....在高數(shù)學(xué)習(xí)過程中，還有含參極限，變上限積分，級數(shù)等方式。

定義中的''唯一確定"，排斥了多值情形，有利于探討反函數(shù)。

美國，臺灣的微積分教材都不出現(xiàn)反三角函數(shù)。由于三角函數(shù)是周期函數(shù)，反三角函

數(shù)須要選定對應(yīng)區(qū)間，以保證反三角函數(shù)值能''唯一確定"。其中，

y=arcsinx,-1<x<1,-n/2<y<n/2

y=arctgx,x可為隨意實數(shù)，-n/24y4n/2

記法、'y=f（x）”有雙重含義。理解x為定義域內(nèi)隨意一點，它表示這個函數(shù)。

理解x為定義域內(nèi)一點（相對不變），它表示相應(yīng)的函數(shù)值。在函數(shù)概念的深化探討中，常

常用到后一理解。

我們早已接觸了六類基本初等函數(shù)一常函數(shù)，基函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三

角函數(shù)，反三角函數(shù)。

（畫外音：圈內(nèi)戲稱為''反，對，幕，指，三不如干脆記兩對加一''幕"。）

初等函數(shù)一由六類基本初等函數(shù)通過有限次四則運算或有限次復(fù)合所生成的，且

由一個數(shù)學(xué)式子所表示的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)。

這個定義有可能使得函數(shù)的定義域是一個可列集。比如，y=V（cos2x-l）,一般教

材上會說，我們所探討的函數(shù)，其定義域是區(qū)間或區(qū)間的并。

高校數(shù)學(xué)還讓學(xué)生學(xué)習(xí)兩類''分段函數(shù)或是在不同的定義區(qū)間內(nèi)，分別由不同的初

等函數(shù)來表示的函數(shù)；或者是有孤立的特殊定義點的函數(shù)。

微分學(xué)探討函數(shù)的特點，是先做微觀分析。即探討函數(shù)的連續(xù)性，可導(dǎo)性，可微性。

再通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來宏觀地探討函數(shù)的圖形特征。即單調(diào)性，有界性，奇偶性，周期性等。

所謂''微觀分析"，即是任取一點x0,探討及描述函數(shù)的相對改變。

選定一個中心點x0,從坐標(biāo)的角度講，可以看成是把原點平移；從物理角度說，是

給定一個初始點；從視察角度議，是選好一個邊際點。把動點x在x0鄰近變動稱為''自變量

x（在x0處）獲得增量Ax"。

（潛臺詞：關(guān)鍵詞''增量"，既是一個詞，又是一種新的思維方式。）

微量分析考慮的問題是：

在x0點鄰近，假如自變量x有一個增量Ax,則函數(shù)相應(yīng)當(dāng)有增量Ay=f（xO+Ax）

-f（xO）

鑒于函數(shù)的隨意性與困難性，''減號"只能表示事實，沒有一般的計算意義。我們?nèi)绾?/p>

表述，探討或估計這個Ay呢？

第一考慮自然是改變關(guān)系。當(dāng)Ax0時，Ay會有什么改變趨勢呢？三種可能，Ay

或趨于0，或不趨于0，或沒有肯定的趨向。

假如Ax-0時，必有Ay-0,就稱函數(shù)在x0點連續(xù)。

其次考慮是''改變率"。中國人把除法稱為''歸一法"。無論Ax的肯定值是多少，商式

△y/Ax的含義總是，''當(dāng)自變量改變一個單位時，函數(shù)值平均改變多少?！?/p>

有了極限觀念，自然會考慮，當(dāng)Axf0時，函數(shù)的平均改變率Ay/Ax有什么改變趨

勢呢？兩種可能，或者極限存在，或不存在。

假如Ax-0時，Ay/Ax有極限，就稱函數(shù)在點x0可導(dǎo)。稱極限值為函數(shù)在點x0

的導(dǎo)數(shù)。

請看看，''連續(xù)"與''可導(dǎo)"的概念，出現(xiàn)得多么自然啊。這理的關(guān)鍵是極限觀念。我們

中國人在極限問題上先天不足。學(xué)了微積分，知道從有限到無窮是質(zhì)變。牽涉''無窮"的問題

都得用極限工具。形成一點極限思維，那就是很大的收獲。

函數(shù)在區(qū)間上每一點連續(xù)，就稱函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間上每一點可導(dǎo)，就稱

函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)。所產(chǎn)生的對應(yīng)關(guān)系稱為該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。

微積分以中值定理為''橋粱"，用導(dǎo)函數(shù)探討函數(shù)的宏觀特征。這是一元微分學(xué)的基本

目的。因此，可導(dǎo)性探討與導(dǎo)數(shù)計算是第一基礎(chǔ)。

考研復(fù)習(xí)《高數(shù)》的第一任務(wù)，是基本上理解導(dǎo)數(shù)定義并能作簡潔的定義探討，最重

要的是能嫻熟地求各類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)定義作用于基本初等函數(shù)，生成一套有序的求導(dǎo)公式。伴隨著初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)依

次，《高等數(shù)學(xué)》建立了''和，差，積，商函數(shù)求導(dǎo)法則”與處理復(fù)合函數(shù)的''鏈鎖法則"。進(jìn)

而還有''取對數(shù)求導(dǎo)法"，''用參數(shù)式表述的函數(shù)求導(dǎo)法"，''隱函數(shù)求導(dǎo)法"，''分段函數(shù)求導(dǎo)

法”......等等。一切函數(shù)皆可探討可導(dǎo)性，計算導(dǎo)數(shù)。練習(xí)求導(dǎo)，實在可行。

嫻熟地計算與探討導(dǎo)數(shù)，是探討函數(shù)宏觀特征，乃至比較與估計定積分的前提與手段。

導(dǎo)數(shù)好，則心有靈兮一點通，求不定積分，解微分方程必定是到處反應(yīng)特好。要先

練完教材上的求導(dǎo)練習(xí)，再買本《高等數(shù)學(xué)》習(xí)題集，做完全部求導(dǎo)題。練！練！練！讓你

明年開春復(fù)習(xí)提高時，運算障礙最少。

（畫外音：回憶一下吧。小時候，九九表你背了用了多少年？！初中時.，有理數(shù)運算

算了多少年？！中學(xué)里，代數(shù)式運算你又算了多少年？！而學(xué)習(xí)微積分，你花了多少時間作

求導(dǎo)計算？！自己就明白高數(shù)差的基本緣由之所在了。）

講座（5）極限概念要體驗

極限概念是微積分的起點。極限首先是個觀念。面對''沒完沒了”的過程，用什么方法

去精確描述與探討變量的發(fā)展趣勢？自然是極限。只能是極限。

說起極限概念的歷史，學(xué)數(shù)學(xué)的都多少頗為傷感。

很久很久以前，西出陽關(guān)無蹤影的老子就體驗到，''一尺之竿，日取其半，萬世不竭。”

近兩千年前，祖氏父子分別用園的內(nèi)接正6n邊形周長替帶園周長以計算園周率；用

分割曲邊梯形為n個窄曲邊梯形，進(jìn)而把窄曲邊梯形看成矩形來計算其面積。他們都體驗

到，''割而又割，即將n取得越來越大，就能得到越來越精確的園周率值或面積。”

國人樸實的體驗持續(xù)了一千多年，最終沒有思維升華得到極限概念。而牛頓就在這

一點上領(lǐng)先突破。

極限概念起自于對''過程"的視察。極限概念顯示著過程中兩個變量發(fā)展趨勢的關(guān)聯(lián)。

自變量的改變趨勢分為兩類，一類是x-x0；一類是x-co

探討xfxO的情形，通常設(shè)x不會取到xO，這樣一來，你可以體驗到，x-xO的

過程，和xf8一樣''沒完沒了"。

無論哪一種情形，我們都不會考慮x從何處動身，也不會考慮x詳細(xì)如何趨于xO或

趨向無窮。是蛙跳般不停不息，或是左右左右搖搖擺擺，還是連續(xù)地一步一趨？假如真的

選擇連續(xù)地一步一趨方式，對xO來說只有從左側(cè)或右側(cè)兩種靠近方式。對x-8而言，

則有干脆向+C0或干脆向-8兩種趨向。通常稱這為''兩條道路"，其它形式統(tǒng)稱為''子路

徑”。

''當(dāng)自變量有一個特定的發(fā)展趨勢時，相應(yīng)的函數(shù)值是否無限接近于一個確定的數(shù)

a?"假如是，則稱數(shù)a為函數(shù)的極限。

''無限接近”還不是嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語言。但這是理解極限定義的第一步，最直觀的一步。

學(xué)習(xí)極限概念，首先要學(xué)會視察，了解過程中的變量有無肯定的發(fā)展趨勢。學(xué)習(xí)體驗相應(yīng)的

發(fā)展趨勢。其次才是計算或探討極限值。

自然數(shù)列有無限增大的改變趨勢。根據(jù)嬉戲規(guī)則，我們還是說自然數(shù)列沒有極限。

我們早有閱歷，''若分子不變，而分母的肯定值越來越大，則分?jǐn)?shù)的肯定值只會越來

越小。”由此即可以體驗到，自然數(shù)n趨于無窮時，數(shù)列1/n的極限是0；x趨于無窮時，

函數(shù)1/x的極限為0；進(jìn)而得到第一個求極限的方法：

''XfCO,要考查一個有理分式函數(shù)(即：多項式/多項式)的改變趨勢，將分子

分母同除以分式中出現(xiàn)的X最高次方。再分別視察各項?！?/p>

(畫外音：我稱之為''化零項法"處理8/8型未定式。)

回顧我們最熟識的基本初等函數(shù)，最直觀的體驗推斷是，X趨于正無窮時，正指數(shù)

的事函數(shù)都與自然數(shù)列一樣，無限增大，沒有極限。

X趨于正無窮時，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)都無限增大，沒有極限。底數(shù)大于0而小于

1的指數(shù)函數(shù)則無限接近于0

x-0+時，對數(shù)函數(shù)Inx趨于-8:x趨于正無窮時，Inx無限增大，沒有極限。

x-8時，正弦sinx與余弦cosx都周而復(fù)始，沒有極限。在物理學(xué)中，正弦y=sinx

的圖形是典型的波動。

我國《高等數(shù)學(xué)》教科書上普遍都選用了''震蕩因子"y=sin(1/x)。當(dāng)x趨于0時它

沒有極限的緣由是震蕩。你體驗過它的震蕩嗎？？？

詳細(xì)想來，當(dāng)x由0.01變?yōu)?.001時，只向中心點x=0靠近了一點點，而中間變

元u=l/x的跨步卻長達(dá)900個單位，正弦sinu相應(yīng)完成了140多個周期。函數(shù)的圖形

在+1與-1之間上下波動140多次。你可以進(jìn)一步體驗下去，想想在x=0的鄰近，函數(shù)

各周期的圖形是多么''緊緊地擠”在一起，象是一片''電子云

當(dāng)年我探討美國各高校的《高等數(shù)學(xué)》教材時，曾看到有的教材竟然把函數(shù)y=sin

(l/x)的值整整印了一大頁，他們就是要讓學(xué)生更詳細(xì)地體驗它的數(shù)值改變。

用''震蕩因子"能生出許多怪例。我的導(dǎo)師陳慶益先生愛說，怪例更深刻地揭示自然。

x-0時，(1/x)sin(1/x)不是無窮大。直觀地說就是函數(shù)值震蕩而沒有確定的發(fā)

展趨勢。1/X-8,它為虎作依，讓震蕩要多瘋狂有多瘋狂。

(畫外音：讓我們分別取兩個''子過程"來視察。取x=l/2nn,相應(yīng)的函數(shù)值列是0

數(shù)列，又取x=l/(2nn+n/2),相應(yīng)的函數(shù)值列是2nn+n/2,趨向+co，你能否

體會到猛烈的震蕩。)

x-0時，明顯有0<|xsin(1/x)|<|x|,夾逼著xsin(1/x)-0,你可

以體驗x好比是個''摩擦因子"，讓震蕩漸漸消逝。事實上''摩擦因子"可以是x的6次方，6

是適當(dāng)小的正數(shù)。有摩擦震蕩就會最終平靜。

能夠翻閱《分析中的反例》的同學(xué)可以在其書目頁中看到，許多反例都用到了震蕩因

子。

在同一個過程中，假如有多個變量趨于0,（或肯定值無限增大。）那更深化一步的體

驗是，它們的肯定值變小（或變大）的速率是一樣呢還是不同的？

我們早就有初等數(shù)學(xué)學(xué)問，''若0<x<l,則對同一個x,募次n越高，幕函數(shù)x的

n次方值越小?！庇纱丝梢源致泽w驗到，趨于0的各個變量，其肯定值變小的速率可能是不

同的?？赡苡械暮瘮?shù)趨于。時''跑得更快”。這在理論上促成了''高階"，''低階"概念。

考研數(shù)學(xué)還要要求學(xué)生對極限有更深刻的體驗。

多少代人的千錘百煉，給微積分鑄就了自己的倚天劍。這就是一套精密的極限語言，

（即￡-3語言）。沒有這套語言，我們沒有方法給出極限定義，也無法嚴(yán)密證明任何一個極

限問題。比如前述的最簡潔結(jié)論，、'x趨于無窮時，函數(shù)1/x的極限為0”；但是，這套語言

是高等微積分的內(nèi)容，非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生很難搞懂。數(shù)十年來，考研試卷上都沒有出現(xiàn)

過要運用￡-6語言的題目。探討生入學(xué)考題中，考試中心往往用更深刻的''符號體驗”來考

查極限概念。這就是

''若X趨于8時，相應(yīng)函數(shù)值f（X）有正的極限，則當(dāng)IX|充分大時，（你不仿設(shè)定

一點X0,當(dāng)IxI>x0時，）總有f（x）>0"

*''若X趨于xO時，相應(yīng)函數(shù)值f（x）有正的極限，則在xO的一個適當(dāng)小的去心鄰

域內(nèi)，f（x）恒正”

這是已知函數(shù)的極限而回頭視察。逆向思維總是更加困難。不過，這不正和''近朱者

赤，近墨者黑"一個道理嗎。

除了上述苻號體驗外，能駕馭下邊簡潔的數(shù)值體驗則更好。

若x趨于無窮時，函數(shù)的極限為0,則x的肯定值充分大時，（你不仿設(shè)定一點xO,

當(dāng)IxI>x0時，）函數(shù)的肯定值恒小于1

（潛臺詞：為什么是、'1”,簡潔便利！換個別的正數(shù)也可以。）

若x趨于無窮時，函數(shù)為無窮大，則x的肯定值充分大時，（你不仿設(shè)定一點xO,當(dāng)

IxI>x0時，）函數(shù)的肯定值全大于1

*若*趨于。時，函數(shù)的極限為0,則在。的某個適當(dāng)小的去心鄰域內(nèi)，或x的肯定

值充分小時，函數(shù)的肯定值全小于1

（你不仿設(shè)定有適當(dāng)小的數(shù)6>0,當(dāng)0<1x1<6時，函數(shù)的肯定值全小于1）

沒有什么好說明的了，你得反復(fù)領(lǐng)悟極限概念中''無限接近"的意義。你可以試著理解

那些客觀存在，可以自由設(shè)定的點xO,或充分小的數(shù)b>0,并利用它們。

講座（6）無窮小與無窮大

微積分還有一個名稱，叫''無窮小分析”。

1.概念

定義——在某一過程中，若函數(shù)f（x）的極限為0,就稱f（x）（這一過程中）為

無窮小。

為了回避￡-6語言，一般都粗糙地說，無窮小的倒數(shù)為無窮大。

無窮小是個變量，不是0；是在中心點，過程，0極限背景下，我們給特定函數(shù)的稱

呼。

y=o視為''常函數(shù)"，在任何一個過程中都是無窮小。但這是平凡的，沒有實際意義。

通常被解除在探討之外。

依據(jù)極限定義，無窮大不存在極限。但是為了強(qiáng)調(diào)在改變過程中，變量有肯定值無

限增大的趨勢，歷史上約定，''非法地"運用等號來表示無窮大，以記述這個特點。比如

x從右側(cè)趨于0時，limInx=-oox從左側(cè)趨于n/2時,lim

tgx=+oo

（潛臺詞：僅僅表明其肯定值有無限增大的趨勢，并不表示極限存在。）

2.無窮大與無界變量

無窮大與無界變量是兩個概念。

無窮大的視察背景是過程，無界變量的推斷前提是區(qū)間。

無窮小和無窮大量的名稱中隱含著它們（在特定過程中）的發(fā)展趨勢。而無界變量的

意思是，在某個區(qū)間內(nèi)，其肯定值沒有上界。

在適當(dāng)選定的區(qū)間內(nèi)，無窮大可以是無界變量。

y=tgx（在x—n/2左俱ij時）是無窮大。在（0,n/2）內(nèi)y=tgx是無界變量

x趨于0時，函數(shù)y=（1/x）sin（1/x）不是無窮大，但它在區(qū)間（0,1）內(nèi)無界。

不仿再用高級語言來作個對比。隨意給定一個正數(shù)E,不管它有多大，當(dāng)過程發(fā)展到

肯定階段以后，無窮大量的肯定值能全都大于E；而無界變量只能保證在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)至

少能找到一點，此點處的函數(shù)肯定值大于Eo

3.運算與比較

有限個無窮小量的線性組合是無窮小；、'8-8"則結(jié)果不確定。（未定式?。?/p>

乘積的極限有三類可以確定：

有界變量?無窮小=無窮小無窮小?無窮小=（高階）無窮小

無窮大?無窮大=（高階）無窮大

其它情形都沒有必定的結(jié)果，通通稱為''未定式"。

例1作數(shù)列x=1,0,2,0,3,0,0,n,0,---

y=0,1,0,2,0,3.0?-----,0,n?0,-----

兩個數(shù)列明顯都無界，但乘積xy是零數(shù)列。這表示可能會有無界?無界=有界!!!!

兩個無窮小的商求極限，既是典型的未定式計算，又有深刻的理論意義。即''無窮小

的比較”。假如極限為1,分子分母為等價無窮小；極限為0,分子是較分母高階的無窮??；

極限為其它實數(shù)，分子分母為同階無窮小。

無窮大有類似的比較。

無窮?。o窮大）的比較是每年必考的點。

x趨于0時，a=xsin（1/x）和B=x都是無窮小，且明顯有IaI<IpI；但是

它們的商是震蕩因子sin（1/x）,沒有極限。兩個無窮小不能比較。這既說明白''極限存在"

是''比較"的前提，又再一次顯示了震蕩因子sin（1/x）的用途。

更有意思的是，若丫==x的k次方，則無論k=0.9,還是k=0.99,k=0.999,,

a總是比Y高階的無窮小。

回到基本初等函數(shù)，我們看到

x趨于+8時，y=x的口次方，指數(shù)p>0的累函數(shù)都是無窮大。且習(xí)慣地稱為p

階無窮大。

（潛臺詞：這多象汽車的1檔，2檔，---啊。）

x趨于+00時，底數(shù)a大于1的指數(shù)函數(shù)y=a的x次方都是無窮大；底數(shù)小

于1的都是無窮小。

x趨于+8或x趨于0+時，對數(shù)函數(shù)y=Inx是無窮大。

x趨于8時，sinx及cosx都沒有極限。正弦，余弦，反三角函數(shù)都是有界

變量。

請體驗一個很重要也很好玩的事實。

（1）xf+8時，lim（x的n次方/e的x次方）=0,這表明：

、'x趨于+00時，指數(shù)函數(shù)exp（x）是比隨意高次方的幕函數(shù)都還要高階的無窮大

（2）x-+00時，lim（Inx/x的b次方）=0；6是隨意取定的一個很小

的正數(shù)。這表明：

''對數(shù)函數(shù)Inx是比x6都還要低階的無窮大?！?/p>

只需簡潔地連續(xù)運用洛必達(dá)法則就能求出上述兩個極限。它讓我們更深刻地理解了基

本初等函數(shù)。假如只知道極限值而不去體驗，那收獲真是很小很小。

例2函數(shù)f（x）=xsinx,則

（A）當(dāng)xf8時為無窮大。（B）在（-00,+00）內(nèi)有界。

（C）在（-00,+00）內(nèi)無界。（D）在x-8時有有限極限。

分析這與y=（1/x）sin（1/x）在x趨于0時的狀態(tài)一樣。（選（C））

例3已知數(shù)列xn和yn滿足nf8時，limxnyn=0,則

（A）若數(shù)列xn發(fā)散，數(shù)列yn必定也發(fā)散。（B）若數(shù)列xn無界，數(shù)列yn必定也無界。

（C）若數(shù)列xn有界，數(shù)列yn必定也有界。（D）若變量1/xn為無窮小量，則變量yn

必定也是無窮小量。

分析盡管兩個變量的積為無窮小，我們卻無法得到其中任何一個變量的信息。例

10給了我們一個很好的反例。對本題的（A）（B）（C）來說，只要yn是適當(dāng)高階的無窮小，

就可以保證limxnyn=0

無窮小的倒數(shù)為無窮大。故（D）中條件表明xn為無窮大。

要保證limxnyn=0,yn必需為無窮小量。應(yīng)選答案（D）。

《線性代數(shù)》——

（37）欲說《線代》先方程

初等數(shù)學(xué)以引入負(fù)數(shù)為起點，以方程為其重心之一。

最簡潔的方程是一元一次方程。最基本的概念是方程的''根"或''解"。

什么東東叫一個方程（組）的根一把東東代入這個方程（組），方程（組）化為

恒等式。這個概念是學(xué)習(xí)《線性代數(shù)》的基本須要。不少人讀到''齊次線性方程組有限個解

的線性組合，仍舊是該方程組的解"感覺盲然沒反應(yīng)，一是忘了概念，二是不動筆。應(yīng)對這

些貌似理論的語句，其實方法很簡潔。是不是''解"，代入方程（組）算一算。

（潛臺詞：關(guān)鍵是要勤動筆。）

由一元一次方程動身，關(guān)于方程的探討向兩個方向發(fā)展：

（1）一元n次方程

（2）n元一次方程組（線性方程組）

高校數(shù)學(xué)《線性代數(shù)》教材有兩大板塊。第一板塊解線性方程組?；竟ぞ呤蔷仃嚕?/p>

核心概念是矩陣的秩，理論重心是''齊次線性方程組解集的構(gòu)造"。其次板塊是矩陣特征理

論基礎(chǔ)學(xué)問，在更高層次討方陣及其應(yīng)用。

n階方陣A的特征方程是個一元n次方程。

一元n次方程的探討點為：求根公式，根的個數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系。

一元二次方程有求根公式，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有兩個根。（二重根算兩個根。）有韋達(dá)定理

顯示根與系數(shù)的關(guān)系。

從十六世紀(jì)到十八世紀(jì)，人們努力探究了近兩百年，也沒能找到一元五次方程及五次

以上方程的求根公式。回頭又花去整整六十年，才證明白所期盼的求根公式不存在。以后在

理論方向發(fā)掘，又證明白

''一元n次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個根?！保╧重根算k個根。）

還同樣找到了高次方程的''韋達(dá)定理”。

對線性方程組的探討則衍生出若干基本理論?？梢院戏Q為線性理論。依靠著完備透徹

的線性理論，全部的線性問題（線性方程組，線性微分方程組....）都得到了園滿解決。

在探討非線性問題時，人們找到了''有限元"，''邊界元"等線性化計算方法。但是一個

非線性問題用線性化計算方法產(chǎn)生的齊次線性方程組可能有成千上萬個方程。這樣一來，方

程組的表達(dá)方式自然就上升為首要問題。

描述一個齊次線性方程alxl+a2x2+-+anxn=0,事實上只需按依次寫出它

的系數(shù)組就行了。這就產(chǎn)生了形式上的n維向量（al,a2..............an）。

方程組的兩種同解變換，即''方程兩端同乘以一個數(shù)"與''兩個方程相加（減）”，正好

相應(yīng)照''數(shù)乘向量"與''向量加法”。

假如是有m個方程的齊次線性方程組，則m個系數(shù)行就排成一個mxn階矩陣。

假如把n個未知量也按依次排成一個向量，（xl,x2...........,xn）,則每個方程的

左端”alxl+a2x2+--Fanxn”,正好是，系數(shù)向量與未知量向量的''對應(yīng)重量兩兩相

乘，加在一起“。數(shù)學(xué)家們把這個計算方式規(guī)定為''向量的內(nèi)積（數(shù)量積）進(jìn)而規(guī)定出''矩

陣的乘法”。

運用有限元方法轉(zhuǎn)換模型時.，要多方交互運用每個節(jié)點處的數(shù)據(jù)。這就不行避開地會

產(chǎn)生一個負(fù)面效應(yīng)。即所得齊次線性方程組中可能有相當(dāng)數(shù)量''多余的"方程。（假如用幾個

方程的左端作線性組合，可以得到組內(nèi)別的某個方程，那個方程就會在同解變換中化為恒等

式。所以是''多余的"方程。）這就產(chǎn)生了其次個問題：

''一個齊次線性方程組中，原委有多少個方程是相互獨立的？”

由此有相應(yīng)概念——矩陣的秩，n維向量組的秩。

解決一個困難的數(shù)學(xué)問題，往往須要發(fā)展一門甚至多門基礎(chǔ)理論。人類的最終收獲，

常常是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越問題本身。歐洲歷史上有許多理鬢師與鐘表匠熱衷于數(shù)學(xué)探討.中國民間也

有大量的數(shù)學(xué)愛好者。中國數(shù)學(xué)協(xié)會常常收到許多諸如''證明哥德巴赫猜想”之類的民間論

文，無人敢于拜讀只能束之高閣。作者們責(zé)難專家們?yōu)槭裁床荒軒蛶屠习傩铡；卮鹑眨鉀Q

這樣巨難的數(shù)學(xué)問題，必定須要新的基礎(chǔ)理論。沒有這個前提，你的證明自然是錯的。

知道一點實際背景，會感到一切都自然而然。因為須要而創(chuàng)生新的描述方式；因為須

要而定義新的概念；因為須要而''規(guī)定"集合中的運算；……。愿這能有助于你削減一點抽象

感。

(38)提升觀念學(xué)集合

數(shù)學(xué)所說的集合，往往依靠''數(shù)"或''形"而生。隱含集合中的''元素”有肯定的共性特征。

1.集合與線性運算

《線性代數(shù)》的基本探討對象是矩陣集合一全體mxn階矩陣一mn個元所

排成的矩形陣列。

n階方陣是矩陣集合最重要的子集合。

在我們學(xué)習(xí)范圍內(nèi)，n階方陣有兩個特殊的重要的子集合：

滿秩方陣——(下含)正交陣,對稱陣——(下含)正定陣

n維向量集合就是全體n元有序數(shù)組(al,a2,----,an)。有時候也把n維向量看

成特殊的矩陣，即(nx1)階行矩陣或(1xn)階列矩陣。

矩陣集合與n維向量集合上都定義了''數(shù)乘"與''加法"。

在微分學(xué)中，常用集合記號C［a,b］表示區(qū)間［a,b］上的全體連續(xù)函數(shù)。用Cl(a,

b)表示在區(qū)間(a,b)上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)的全體函數(shù)。用C8(a,b)表示在區(qū)

間(a,b)上隨意階可導(dǎo)的全體函數(shù)。只不過一般《高等數(shù)學(xué)》教材上都沒有引入這些記

號。

探討函數(shù)集合時，首先考慮的也是''數(shù)乘"與''加法"。

''數(shù)乘"與''加法"合稱為線性運算。由于有負(fù)數(shù)，因而''加法"事實上包含了通常的減法。

人們在探討一般的集合時，往往都希望能在集合中定義線性運算。

集合中的若干個元素既作數(shù)乘又作加法，稱為這些元素作''線性組合"。學(xué)到這個地步,

要會體驗數(shù)學(xué)式的雙重含義。一個線性組合式，它既表示相應(yīng)的運算過程，又代表整個運算

的結(jié)果。說''向量的線性組合”，有時就指的是線性運算最終所得到的向量。還比如：

有限個無窮小量的線性組合是無窮小量。(''線性組合"表示運算結(jié)果)

有限個連續(xù)函數(shù)的線性組合連續(xù)。有限個可導(dǎo)函數(shù)的線性組合可導(dǎo)。

(畫外音：也不要隨口說啊。無窮大的線性組合不肯定是無窮大。''8-8"是未定式。)

對于一個集合，我們既要考慮能否定義線性運算，又還要進(jìn)一步考慮，這個集合對于

線性運算是不是''封閉"的。即集合中的隨意有限個元素的線性組合，是否還屬于這個集合。

是！我們就說''集合對于線性運算是封閉的。"高一個層次的理論中，這是集合能否被稱為''線

性空間”首要條件。

明顯，mxn階矩陣集合，n維向量集合，C［a,b］函數(shù)集合，Ck(a,b)函數(shù)集

合，對于線性運算都是封閉的。

2.向量內(nèi)積與矩陣乘法

由于理論或應(yīng)用的須要，人們常常須要考慮在集合上定義更特殊的''運算"。這些''運

算”在觀念上要比四則運算高一個層次。本質(zhì)上是人為規(guī)定的，集合中隨意兩個元與唯一的

''第三者"的特殊對應(yīng)規(guī)律。高級語言稱之為集合上的一個''二元關(guān)系”。

內(nèi)積是n維向量集合上的一個''二元關(guān)系”一兩個n維向量對應(yīng)唯一確定的一個數(shù)。

即

對隨意兩個n維行向量a=(al,a2,...,an),p=(pl,p2，…，(3n),規(guī)定

內(nèi)積'=aipi+a2p2+...+anpn(=p?a)

(畫外音：喜愛口訣嗎？左行右列作內(nèi)積。對應(yīng)重量積相加。)

內(nèi)積又叫數(shù)量積。定義內(nèi)積是深化探討的常用手段，理論背景深遠(yuǎn)，應(yīng)用范圍廣袤。

比如，更高層次的探討中，在C［a,b］函數(shù)集合上定義內(nèi)積為內(nèi)積(f,g)=積

函數(shù)f(x)g(x)在［a,b］上的定積分

《線性代數(shù)》教材中通常把n維向量設(shè)為列向量。借助于列向量可以把mxn階矩陣

A表示為

A=(al,a2,an),稱為矩陣A的列分塊式.

其中，列向量al=(a11,an1)'...........an=(aIn,,ann)"

假如把每個列塊視為一個元素，可以說A=(al,a2,...,an)是一個''形式向量”。

這個觀念對學(xué)習(xí)《線性代數(shù)》大有好處。比如，讓''形式向量”與未知列向量x作''形式內(nèi)積”,

可以把齊次線性方程組Ax=O改寫為

(al,a2........an)(xl,x2...........xn)'=0

即xlal+x2a2+.....+xnan=0

后面將會利用這個形式轉(zhuǎn)換，把''(列)向量組的線性相關(guān)性"與''齊次線性方程

組有無非零解”相連系。

矩陣乘法是矩陣集合上的一個''二元關(guān)系"。它的計算基礎(chǔ)是向量內(nèi)積。詳細(xì)