專題13.4 線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)【九大題型】（舉一反三）（人教版）（原卷版）

專題13.4線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)【九大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用線段垂直平分線的性質(zhì)求長度】 1【題型2利用線段垂直平分線的性質(zhì)求最值】 2【題型3利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度】 3【題型4利用線段垂直平分線的性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】 4【題型5利用線段垂直平分線的性質(zhì)證明】 6【題型6線段垂直平分線的判定】 7【題型7尺規(guī)作線段垂直平分線】 8【題型8線段垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合運用】 9【題型9線段垂直平分線的實際應(yīng)用】 10【知識點1線段垂直平分線的性質(zhì)】線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.【題型1利用線段垂直平分線的性質(zhì)求長度】【例1】（2023春·遼寧阜新·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F，若△ABC的周長是20，AB=4，AC=7，則△AEF的周長為（

）

A．4 B．7 C．9 D．11【變式1-1】（2023春·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠ABC的角平分線BD和AC邊的中垂線DE交于點D，DM⊥BA的延長線于點M，DN⊥BC于點N．若AB=3，BC=7，則AM的長為【變式1-2】（2023春·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D，ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB=5，AC=3，則AE=

【變式1-3】（2023春·遼寧丹東·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點O，這兩條垂直平分線分別交BC于點D、E．已知△ADE的周長為11cm，分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為23

【題型2利用線段垂直平分線的性質(zhì)求最值】【例2】（2023春·甘肅隴南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，EF垂直平分BC，點P為直線EF上的任一點，則△ABP周長的最小值是

【變式2-1】（2023春·江西九江·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AC=4，BC邊上的垂直平分線分別交BC、AB于點D、E，若△AEC的周長是11，則直線DE上任意一點到A、

A．28 B．18 C．10 D．7【變式2-2】（2023春·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以點A、B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，作直線EF，D為BC的中點，M為直線EF上任意一點．若BC=2，△ABC面積為3，則BM+MD長度的最小值等于．【變式2-3】（2023春·山東青島·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D為AB中點，點P在AC上從C向A運動；同時，點Q在BC上從B向C運動，當(dāng)∠PDQ＝時，△PDQ的周長最?。绢}型3利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度】【例3】（2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，點M，N為AC邊上的兩點，AM=NM，BM⊥AC，ND⊥BC于點D，且NM=ND，若∠A=α，則∠C=（

A．32α B．90°-12α C【變式3-1】（2023春·安徽池州·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點E，交BD于點F，連接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，則∠ABC的度數(shù)為．

【變式3-2】（2023春·四川甘孜·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠B=32°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，若DE垂直平分AB，求∠C的度數(shù)．

【變式3-3】（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點O是AC、BC的垂直平分線的交點，連接AO、BO，若∠AOB=α，則∠AIB的大小為（

）

A．α B．14α+90° C．12【題型4利用線段垂直平分線的性質(zhì)探究角度、線段之間的關(guān)系】【例4】（2023春·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD是長方形，E是邊CD的中點，連接AE并延長交邊BC的延長線于F，過點E作AF的垂線交邊BC于M，連接AM．（1）請說明ΔADE≌ΔFCE；（2）試說明AM=BC+MC；（3）設(shè)S△AEM=S1，S△ECM=S2，S△ABM=S3，試探究S1，S2，S3三者之間的等量關(guān)系，并說明理由．【變式4-1】（2023春·陜西西安·八年級西安市鐵一中學(xué)?？计谀鰽BC的兩邊AB、AC的中垂線交于邊BC上的P點，則線段PA和BC的關(guān)系正確的是（）A．PA<12BC B．PA=12BC【變式4-2】（2023春·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，OF是∠MON的平分線，點A在射線OM上，P，Q是直線ON上的兩動點，點Q在點P的右側(cè)，且PQ=OA，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF，ON于點B，點C，連接AB，PB．(1)如圖1，請指出AB與PB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，當(dāng)P，Q兩點都在射線ON的反向延長線上時，線段AB，PB是否還存在（1）中的數(shù)量關(guān)系？若存在，請寫出證明過程；若不存在，請說明理由．【變式4-3】（2023春·山東日照·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在直角△ABC中，∠C=90°，分別作∠CAB的平分線AP和AB的垂直平分線DP，交點為P．（1）如圖2，若點P正好落在BC邊上．①求∠B的度數(shù)；②求證：BC=3PC．（2）如圖3，若點C、P、D恰好在一條直線上，線段AD、PD、BC之間的數(shù)量關(guān)系是否滿足AD+PD=BC？若滿足，請給出證明；若不滿足，請說明理由．【題型5利用線段垂直平分線的性質(zhì)證明】【例5】（2023春·陜西榆林·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形ABDC中，AD所在直線垂直平分線段BC，過點C作CF∥BD交AB于點F，延長AB，CD交于點E．求證：

(1)CB平分∠ECF；(2)∠ACF=∠E．【變式5-1】（2023春·重慶綦江·八年級校聯(lián)考期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點D，DM丄AB與M，DN丄AC交AC的延長線于N，你認(rèn)為BM與CN之間有什么關(guān)系？試證明你的發(fā)現(xiàn)．【變式5-2】（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點E、F在AB上，連接CE，CF，且CF=BF．已知∠A=50°

【變式5-3】（2023春·福建龍巖·八年級?？奸_學(xué)考試）已知（如圖），在△ABC中，D是BC的中點，過點D的直線GF交AC于點F，交AC的平行線BG于點G，DE⊥GF，交AB于點E，連結(jié)EF．(1)求證：BG=CF．(2)試判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說明理由．【知識點2線段垂直平分線的判定】到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上，（這樣的點需要找兩個）【題型6線段垂直平分線的判定】【例6】（2023春·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和(1)求證：AD垂直平分EF；(2)若AB=3，AC=2，△ABC的面積是4【變式6-1】（2023春·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，已知AD⊥BC于點D，BD=DC，AB+BD=DE，求證：點C在AE的垂直平分線上．

【變式6-2】（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，BE平分∠ABC交AC于點E，交CD于點F，過點E作EG∥CD，交AB于點G，連接CG．

(1)求證：∠A+∠AEG=90°；(2)求證：EC=EG；(3)若CG=4，BE=5，求四邊形BCEG的面積．【變式6-3】（2023春·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AD與BC相交于點O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，連接OE，BD，求證；OE垂直平分

【題型7尺規(guī)作線段垂直平分線】【例7】（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，請用尺規(guī)作圖法在AC上求作一點M，使MC+MB=AC，并連接MB．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【變式7-1】（2023春·湖南郴州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．(1)尺規(guī)作圖：作邊AC的垂直平分線交BC于點D，連接AD（要求：保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；(2)在（1）作出的圖形中，求△ABD的周長．【變式7-2】（2023春·廣東深圳·八年級深圳市福田區(qū)上步中學(xué)校考期中）如圖，已知△ABC，AB<BC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點P，使得PA+PB=BC，則下列選項正確的（

）

B．

C．

D．

【變式7-3】（2023春·上海閔行·八年級?？计谥校┤鐖D，點P在∠AOB外，點Q在邊OA上，按要求畫圖，寫出作圖結(jié)論，并填空．(1)過點P分別畫PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別是E、(2)連接PQ，用尺規(guī)作線段PQ的垂直平分線MN．(3)過P、Q兩點分別作OA、OB的平行線交于點G；若∠AOB=120°，則∠G=______________．【題型8線段垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合運用】【例8】（2023春·廣東河源·八年級?？计谥校┤鐖D：在△ABC中，點D是BC的中點，點E，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，且DE⊥DF．

(1)猜想：EFBE+CF（填上“<”、“=”或“>”）；(2)證明你的猜想．【變式8-1】（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．(1)求證：∠ACB＝∠ACD；(2)過點E作ME∥AB，交AC的延長線于點M，過點M作MP⊥DC，交DC的延長線于點P．①連接PE，交AM于點N，證明AM垂直平分PE；②點O是直線AE上的動點，當(dāng)MO+PO的值最小時，證明點O與點E重合．【變式8-2】（2023春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，AD、BE相交于點F．下列結(jié)論：①∠FCD=45°；②AE=EC；③S△ABF:S△AFC=AD:FD正確的結(jié)論序號是（

）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④【題型9線段垂直平分線的實際應(yīng)用】【例9】（2023春·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）（1）圖1是小正方形的邊長均為1的方格紙，請你涂出一個圖形（所有頂點都在格點上），使其滿足如下條件：①圖形的面積為7；②圖形是軸對稱圖形．

（2）如圖2，一條筆直的公路MN同一側(cè)有兩個村莊A和B，現(xiàn)準(zhǔn)備在公路MN上修一個公共汽車站點P，使站點P到兩個村莊A和B的距離相等．請你用尺規(guī)作圖找出點P的位置，不寫作法，保留作圖痕跡．【變式9-1】（2023春·河北秦皇島·八年級?？奸_學(xué)考試）元旦聯(lián)歡會上，3名同學(xué)分別站在△ABC三個頂點的位置上．游戲時，要求在他們中間放一個凳子，該先坐到子上誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放置的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的（

）A．三邊垂直平分線的交點 B．三條角平分線的交點C．三邊中線的交點