拓展13 因式分解分類訓(xùn)練（7種類型85道）（解析版）

拓展13因式分解分類訓(xùn)練（7種類型85道）【類型1提取公因式法】1．分解因式：2x【答案】(x-2)【分析】把原式寫(xiě)成2x【詳解】解：原式=2=x=(x-2)【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，掌握提公因數(shù)法是解題的關(guān)鍵．2．分解因式：-9a【答案】-3【分析】直接根據(jù)提公因式法分解因式即可．【詳解】解：-9a【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法分解因式，找到公因式，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．分解因式：-9【答案】-3a(3【分析】提出公因式-3a進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：原式=-3a(3【點(diǎn)睛】本題考查用提公因式法進(jìn)行因式分解的能力，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，因式分解要徹底，直到不能分解為止．4．因式分解：13【答案】1【分析】用提公因式法分解因式即可．【詳解】解：1==1【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法，準(zhǔn)確計(jì)算．5．分解因式：(3a+b)(2a-3b)+4a(b+3a)．【答案】3(3a+b)(2a-b)【分析】提取公因式，合并同類項(xiàng)得(3a+b)(6a-3b)，再提取公因數(shù)即可得．【詳解】解：(3a+b)(2a-3b)+4a(b+3a)=(3a+b)(2a-3b+4a)=(3a+b)(6a-3b)=(3a+b)·3(2a-b)=3(3a+b)(2a-b)．【點(diǎn)睛】本題考查了分解因式，解題的關(guān)鍵是掌握提公因式法因式分解．6．因式分解：1+x+x1+x【答案】1+x【分析】將1+x看做一個(gè)整體，再提取公因式，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：原式==1+x故答案為：1+x2【點(diǎn)睛】本題主要考查了用提取公因式法進(jìn)行因式分解，解題的關(guān)鍵是將1+x看做一個(gè)整體．7．因式分解：2x【答案】2x【分析】直接提公因式即可分解．【詳解】解：2=2xx-2【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．8．分解因式：916【答案】3【分析】根據(jù)提公因式法因式分解直接求解即可得到答案【詳解】解：9==3【點(diǎn)睛】本題主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)與原來(lái)的項(xiàng)數(shù)相同，并且讓系數(shù)變?yōu)檎麛?shù)．9．分解因式：a2【答案】ab【分析】利用提公因式法分解因式即可．【詳解】解：a2【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解，熟練掌握提公因式法是解題的關(guān)鍵．10．分解因式：-9x【答案】-3xy【分析】直接提公因式-3xy，即可求解．【詳解】解：-9=-3xy3【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【類型2提取公因式和公式混合】11．分解因式：(1)7m(2)-32【答案】(1)7m(2)2【分析】（1）先用提公因式法提取7m，再用平方差公式分解因式，注意最后要分解徹底；（2）首項(xiàng)為負(fù)容易出錯(cuò)，所以先交換位置，然后找出公因式2x【詳解】（1）解：7m=7ma=7ma=7ma（2）解：-32=2x=2x【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，能夠熟練運(yùn)用提公因式法和公式法分解因式是解題的關(guān)鍵．12．分解因式(1)3(2)9【答案】(1)3(2)4【分析】（1）根據(jù)提公因式法、完全平方公式分解因式即可；（2）根據(jù)平方差公式分解因式即可；【詳解】（1）解：原式=3=3（2）解：原式====4【點(diǎn)睛】本題主要考查用公式法、提公因式法進(jìn)行因式分解，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．分解因式：(1)a3(2)3x【答案】(1)aa+1(2)3x-y【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可；（2）先提取公因式，利用完全平方公式分解即可．【詳解】（1）解：a=a=aa+1（2）解：3=3=3x-y【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．14．因式分解：(1)ax(2)6xy【答案】(1)a(2)-y【分析】（1）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可；（2）先提公因式，然后再用完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）解：a=a=ax+1（2）解：6x=-y=-y3x-y【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法，準(zhǔn)確計(jì)算．15．因式分解(1)3x-12(2)a【答案】(1)3x(1-4(2)a【分析】（1）直接提取公因式3x，進(jìn)而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【詳解】（1）解：原式=3x(1-4x（2）原式=a(=a(x+a)【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正確運(yùn)用公式法分解因式是解題關(guān)鍵．16．分解因式：(1)3a(2)a3【答案】(1)3(2)a【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解．（2）先提公因式，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解．【詳解】（1）3（2）a【點(diǎn)睛】本題考查綜合公式法和提公因式法進(jìn)行因式分解，注意有公因式一定要先提公因式．17．分解因式：(1)81m(2)4ab【答案】(1)9(2)a【分析】（1）利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可．【詳解】（1）解：81==9（2）4a=a=ab【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解答本題的關(guān)鍵．18．因式分解：(1)x3(2)2x+y2【答案】(1)xz(2)3【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用平方差公式分解即可．【詳解】（1）解：x=xz=xzx+2y（2）解：2x+y===3x+y【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．19．因式分解：(1)18(2)(【答案】(1)2m(3m+1)(3m-1)(2)(x+2)【分析】（1）先提取公因式2m，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）解：18=2m(9=2m(3m+1)(3m-1)；（2）(x=(x=(x+2)【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．20．分解因式：(1)mx(2)2x【答案】(1)mx-y(2)2x+y【分析】（1）先提取公因式m，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（2）先提取公因式2，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可；【詳解】（1）解：mx（2）解：2x【點(diǎn)睛】本題考查了分解因式，常規(guī)方法有提公因式法、公式法，解答過(guò)程中要注意根據(jù)整式的形式，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行因式分解．【類型3十字相乘法】21．分解因式：(1)x(2)x(3)2(4)3(5)8(6)10【答案】(1)x+2y(2)x-4y(3)x+5y(4)x-3y(5)2x+y(6)2x+5y【分析】（1）十字相乘法分解因式即可；（2）十字相乘法分解因式即可；（3）十字相乘法分解因式即可；（4）十字相乘法分解因式即可；（5）十字相乘法分解因式即可；（6）十字相乘法分解因式即可．【詳解】（1）解：x∴x2（2）解：x∴x2（3）解：2∴2x（4）解：3∴3x（5）解：8∴8x（6）解：10∴10x【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，熟練掌握十字相乘法是解此題的關(guān)鍵．22．分解因式：(1)x(2)x(3)2(4)3(5)-8(6)-10【答案】(1)x+2(2)x+3(3)2x-1(4)3x+2(5)-(6)-【分析】利用十字相乘法分解因式即可．【詳解】（1）x=x+2x+7（2）x=x+3x-4（3）2=2x-1x+5（4）3=3x+2x-3（5）-8=-=-2x+1（6）-10=-=-5x+1【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握十字相乘法是解此題的關(guān)鍵．23．分解因式：(1)x(2)x(3)2(4)3(5)3(6)-5【答案】(1)x+2y(2)x-4y(3)x+5y(4)x-3y(5)x-2y(6)-【分析】（1）根據(jù)十字相乘法分解因式即可；（2）根據(jù)十字相乘法分解因式即可；（3）根據(jù)十字相乘法分解因式即可；（4）根據(jù)十字相乘法分解因式即可；（5）根據(jù)十字相乘法分解因式即可；（6）根據(jù)十字相乘法分解因式即可．【詳解】（1）解：x∴x2（2）解：x∴x2（3）解：2∴2x（4）解：3∴3x（5）解：3∴3x（6）解：-5∴-5x【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，熟練掌握十字相乘法是解此題的關(guān)鍵．24．用十字相乘法分解下列因式．(1)x(2)y(3)3(4)a(5)12(6)x+y【答案】(1)x-6(2)y-5(3)x-2(4)a-3b(5)4x+3y(6)x+y-5【分析】（1）用十字相乘法分解因式即可；（2）用十字相乘法分解因式即可；（3）用十字相乘法分解因式即可；（4）用十字相乘法分解因式即可；（5）用十字相乘法分解因式即可；（6）將x+y看作一個(gè)整體，用十字相乘法分解因式即可．【詳解】（1）解：x∴x2（2）解：y∴y（3）解：3∴3（4）解：a∴a（5）解：12∴12（6）解：x+y∴x+y2【點(diǎn)睛】本題主要考查了用十字相乘法分解因式，正確分解二次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)是解題關(guān)鍵．有時(shí)要把某個(gè)字母看作常數(shù)或把某個(gè)多項(xiàng)式看作一個(gè)整體．25．分解因式：（1）x（2）x（3）2（4）3（5）8（6）10【答案】（1）x+2yx+7y；（2）x-4yx+3y；（3）x+5y2x-y；（4）x-3y3x+2y；（5）2x+y【分析】利用十字相乘法分解．【詳解】解：（1）x=x+2yx+7y（2）x=x-4yx+3y（3）2=x+5y2x-y（4）3=x-3y3x+2y（5）8=2x+y4x+3y（6）10=2x+5y【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握十字相乘法是解此題的關(guān)鍵．【類型4分組分解法】26．因式分解：7x【答案】(7x+y)(x-3)【分析】先將多項(xiàng)式進(jìn)行分組，然后分別進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：7=(7=x(7x+y)-3(7x+y)=(7x+y)(x-3)．【點(diǎn)睛】本題考查了分組分解法因式分解．正確將多項(xiàng)式進(jìn)行分組是解題的關(guān)鍵．27．因式分解：2ac-6ad+bc-3bd．【答案】2a+b【分析】先分組,然后根據(jù)提公因式法可進(jìn)行求解．【詳解】解：2ac-6ad+bc-3bd=c=2a+b【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解的提公因式法，先分組后提取公因式是解題的關(guān)鍵．28．分解因式：ac【答案】(c-d)(c+d)(a-b)【分析】進(jìn)行分組，對(duì)各組進(jìn)行提取公因式，再用公式法進(jìn)行分解，最后檢查分解是否徹底，即可求解．【詳解】解：原式=a=a(c=(c=(c-d)(c+d)(a-b)．【點(diǎn)睛】本題考查了分組分解方法，以及平方差公式的運(yùn)用，掌握方法是解題的關(guān)鍵．29．分解因式：32ac【答案】(2【分析】先將原式進(jìn)行分組，再提公因式分解因式即可.【詳解】32a=(32a=16a(2=(2c【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生分組分解方法的運(yùn)用以及提取公因式的能力，注意符號(hào)的變化．熟練掌握分解因式的方法是解題的關(guān)鍵.30．分解因式：x2【答案】(1+a)(【分析】先將原式進(jìn)行分組，再提公因式分解因式即可.【詳解】x=(==(1+a)(x【點(diǎn)睛】考查學(xué)生分組分解方法的運(yùn)用以及提取公因式的能力．熟練掌握分解因式的方法是解題的關(guān)鍵.31．分解因式：ab+b【答案】b+a+2【分析】先分組，b2+ab+2b-b-a-2，然后提出公因式【詳解】解：ab+==b=b+a+2【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．32．因式分解：m2【答案】(m-n+1)【分析】先分組，然后根據(jù)完全平方公式因式分解，最后根據(jù)平方差公式因式分解即可求解．【詳解】解：m==(m-n+1)【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．33．因式分解：x2【答案】(x-2y+1)(x+2y-1)【分析】先分組，然后根據(jù)完全平方公式，平方差公式進(jìn)行因式分解即可求解．【詳解】解：x2x==(x-2y+1)(x+2y-1)．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．34．因式分解：2b【答案】(2b-1)(【分析】根據(jù)分組分解法及提取公因式法直接求解即可得到答案；【詳解】解：原式=(2==(2b-1)(b【點(diǎn)睛】本題考查提取公因式法及分組分解法因式分解，解題的關(guān)鍵是正確分組，提取公因式．35．因式分解：x2【答案】(x+2+a)(x+2-a)【分析】分組，利用完全平方公式以及平方差公式分解即可求解．【詳解】解：x===(x+2+a)(x+2-a)．【點(diǎn)睛】本題考查的是因式分解，掌握完全平方公式以及平方差公式是解題的關(guān)鍵．【類型5配方法】36．閱讀材料：分解因式：x解：原式==(=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)，此方法是抓住二次項(xiàng)和一次項(xiàng)的特點(diǎn)，然后加一項(xiàng)，使這三項(xiàng)為完全平方式，我們稱這種方法為“配方法”.此題用“配方法”分解因式，請(qǐng)?bào)w會(huì)“配方法”的特點(diǎn)，然后用“配方法”分解因式4【答案】2x+3【分析】根據(jù)材料提供的方法利用完全平法公式和平方差公式分解因式．【詳解】解：4=4===2x+3【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式和平方差公式，理解題目材料是解題的關(guān)鍵．37．對(duì)于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成x+a2的形式．但對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax-8a2x2像這樣，先添一適當(dāng)項(xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱為“配方法”．閱讀以上材料，解決下列問(wèn)題．(1)分解因式：a2(2)當(dāng)a為何值時(shí)，二次三項(xiàng)式a2【答案】(1)a+2(2)a=-2時(shí)，二次三項(xiàng)式a2+4a+5【分析】（1）利用配方法進(jìn)行因式分解即可；（2）利用配方法求最值即可．【詳解】（1）解：原式====a+2（2）∵a2又a+22∴當(dāng)a=-2時(shí)，二次三項(xiàng)式a2+4a+5取得最小值，最小值為【點(diǎn)睛】本題考查因式分解．熟練掌握配方法，是解題的關(guān)鍵．38．閱讀與思考：“配方法”是指將一個(gè)式子或一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的形式．巧妙地運(yùn)用“配方法”能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．例如：x====x+5(1)【解決問(wèn)題】運(yùn)用配方法將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：x2(2)【深入研究】試說(shuō)明多項(xiàng)式x2(3)【拓展運(yùn)用】已知a，b，c分別是△ABC的三邊，且a2-2ab+2b2【答案】(1)x(2)證明見(jiàn)解析(3)△ABC為等邊三角形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)示例即可求解；（2）將多項(xiàng)式配成完全平方+常數(shù)的形式，利用平方的非負(fù)性即可求證；（3）將2b2分成【詳解】（1）解：x====x+1（2）解：x=x-3∵x-3∴x-3∴多項(xiàng)式x2（3）解：△ABC為等邊三角形．理由如下：∵a∴a∴a-b∴a-b=0，b-c=0．∴a=b=c．∴△ABC為等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查配方法的應(yīng)用．掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)形式是解題關(guān)鍵．39．閱讀材料：我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a例如：分解因式x2原式=x根據(jù)以上材料，利用多項(xiàng)式的配方解答下列問(wèn)題．(1)利用配方法分解因式：x2(2)當(dāng)x為何值時(shí)，多項(xiàng)式x2(3)已知正數(shù)a，b，c滿足a2+b【答案】(1)(x+3)(x-9)(2)當(dāng)x=-3時(shí)，多項(xiàng)式x2+6x-9(3)12【分析】（1）根據(jù)題意配方后因式分解即可；（2）配方后利用偶次冪的非負(fù)性求解即可；（3）配方后利用偶次冪的非負(fù)性求解即可．【詳解】（1）解：x2=(x=(x-3)=(x-3+6)(x-3-6)=(x+3)(x-9)；（2）解：x2=(x=(x+3)∴當(dāng)x+3=0，即x=-3時(shí)，多項(xiàng)式x2+6x-9有最小值，最小值為（3）解：∵a2∴a2即(a-3)2∴a-3=0，b-4=0，c-5=0，解得a=3，b=4，c=5，∴a+b+c=12．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法，因式分解，偶次冪的非負(fù)性．解題的關(guān)鍵在于對(duì)理解題意并正確的求解．40．觀察下列分解因式的過(guò)程：x2解：原式=====像這種通過(guò)增減項(xiàng)把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成完全平方形式的方法稱為配方法．(1)請(qǐng)你運(yùn)用上述配方法分解因式：x2(2)已知△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a【答案】(1)(x+5y)(x-y)(2)13【分析】（1）原式利用完全平方公式變形后分解，再利用平方差公式分解即可；（2）運(yùn)用配方法，求出a、b，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出c即可求解．【詳解】（1）解：x==(x+2y+3y)(x+2y-3y)=(x+5y)(x-y)（2）解：aa(a-4)2∵a-4≥0,b-3≥0∴a=4,b=3，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：4-3＜∴1＜∵△ABC的三邊長(zhǎng)a，∴c=2，∴△ABC周長(zhǎng)的最大值為：4+3+6=13【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【類型6拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法】41．我們面對(duì)沒(méi)有學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)題時(shí)，方法可以創(chuàng)新，但在創(chuàng)新中要遵循法則和運(yùn)算律，才能正確解答，下面介紹一種分解因式的新方法——拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法：把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開(kāi)或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原式適合于已學(xué)過(guò)的方法進(jìn)行分解．例題：用拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法分解因式x3解：添加兩項(xiàng)-x原式====請(qǐng)你結(jié)合自己的思考和理解完成下列各題：(1)分解因式：x2(2)分解因式x3(3)分解因式：x4【答案】(1)x-1(2)x-1(3)x-2【分析】（1）根據(jù)例題用拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法分解因；（2）根據(jù)例題用拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法分解因；（3）根據(jù)例題用拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法分解因；【詳解】（1）解：x==x=x-1（2）x======（3）x======【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，理解題意，正確的增項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．42．對(duì)于二次三項(xiàng)式x2x2+2ax-3a2=x+a+2ax+a-2a像這樣把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做添（拆）項(xiàng)法．請(qǐng)用以上方法分解因式：(1)x(2)x(3)能否根據(jù)以上方法確定式子y2+2y+3【答案】(1)x+4a(2)x(3)有最小值2【分析】（1）根據(jù)題中定義求解；（2）化成x4（3）把y2【詳解】（1）解：由題意得：x=（2）解：x4（3）解：y2∴二次函數(shù)有最小值2；【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下的運(yùn)算，運(yùn)用平方差公式和完全平方公式求解即可．43．閱讀材料，解答問(wèn)題：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)多項(xiàng)式的因式分解還有別的方法．下面再介紹一種方法：“添（拆）項(xiàng)分組分解法”．例題：x3+8=x3=x=x＝________（兩組有公因式，再提公因式）(1)請(qǐng)將上面的例題補(bǔ)充完整；(2)仿照上述方法，因式分解：64x(3)若a，b，c是△ABC三邊長(zhǎng)，滿足3a【答案】(1)x+(2)8x(3)△ABC是等腰三角形，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）運(yùn)用提公因式法分解即可；（2）需要添項(xiàng)，64x4=8x（3）仿照例題運(yùn)用拆項(xiàng)分組分解法，把19拆成3和16，然后湊成兩個(gè)完全平方式，再利用平方式的非負(fù)性進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）解：x===x+2故答案為：x+2x（2）解：64=64===8（3）解：∵3a∴3a∴3a∴3a-1∴a-1=0，b-2=0，∴a=1，b=2．∵a，b，∴b-a＜∴1＜又∵c為整數(shù)，∴c=2，∴b=c=2，∴△ABC是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，需要學(xué)生必須掌握完全平方公式和平方差公式的特征，才能靈活運(yùn)用到解題中去．44．閱讀理解：對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax+a2，能直接用公式法進(jìn)行因式分解，得到x2+2ax+a2=x======像這樣把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做添（拆）項(xiàng)法．請(qǐng)用上述方法將下列各式進(jìn)行因式分解．(1)x2(2)a4【答案】(1)x+3a(2)a【分析】（1）將式子x2+2ax-3a2，添項(xiàng)（2）將式子a4+4，添項(xiàng)4a【詳解】（1）解：x=x2=x+a2=x+a+2ax+a-2a（2）解：a=a4+4a2【點(diǎn)睛】本題是因式分解及因式分解的應(yīng)用，除了一般因式分解的方法以外，還可以利用添（拆）項(xiàng)法把一此復(fù)雜的式子進(jìn)行因式分解；同時(shí)可以利用因式分解求式子的最大值和最小值．45．【閱讀理解】對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax+a2，能直接用公式法進(jìn)行因式分解，得到我們可以采用這樣的方法：在二次三項(xiàng)式x2+2ax-3a2中先加上一項(xiàng)x====像這樣把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做添（拆）項(xiàng)法．(1)【問(wèn)題解決】請(qǐng)用上述方法將二次三項(xiàng)式x2(2)【拓展應(yīng)用】二次三項(xiàng)式x2(3)運(yùn)用材料中的添（拆）項(xiàng)法分解因式：a4【答案】(1)x+4a(2)二次三項(xiàng)式x2-4x+7有最小值(3)a【分析】（1）仿照題干所給示例進(jìn)行分解因式即可；（2）仿照題意將原多項(xiàng)式變?yōu)?x-2（3）仿照題干所給示例求解即可．【詳解】（1）解：x=====x+4a（2）解：x==x-2∵x-22∴x-22∴二次三項(xiàng)式x2-4x+7有最小值（3）解：a====a【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，偶次方的非負(fù)性，掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵．【類型7雙十字相乘法】46．用雙十字相乘法分解因式例：20x2+9xy-18y2-18x+33y-14．∵4×6+5×(-3)=9，4×(-7)+5×2=-18，-3×(-7)+2×6=33，∴20x2+9xy-18y2-18x+33y-14=(4x-3y+2)(5x+6y-7)．雙十字相乘法的理論根據(jù)是多項(xiàng)式的乘法，在使用雙十字相乘法時(shí)，應(yīng)注意它帶有試驗(yàn)性質(zhì)，很可能需要經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)才能得到正確答案．分解因式6x2-5xy-6y2-2xz-23yz-20z2=【答案】(2x-3y-4z)(3x+2y+5z)【分析】結(jié)合題意畫(huà)出圖形，即可得出結(jié)論.【詳解】6x2-5xy-6y2-2xz-23yz-20z2∵2×2+3×(-3)=-5，2×5z+3×(-4z)=-2z，-3×5z+2×（-4z）=-23z，∴6x2-5xy-6y2-2xz-23yz-20z2=(2x-3y-4z)(3x+2y+5z).故答案為(2x-3y-4z)(3x+2y+5z).【點(diǎn)睛】對(duì)于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法來(lái)分解，如圖2，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）.47．“十字相乘法”能把二次三項(xiàng)式分解因式，而對(duì)于形如ax2+bxy+cy2如圖1，首先對(duì)前三項(xiàng)ax2+bxy+cy2進(jìn)行“十字相乘”：將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，使得mq+np=b；其次對(duì)cy2+ey+f進(jìn)行“十字相乘”：f分解成例：分解因式：x解：如圖2，首先對(duì)前三項(xiàng)進(jìn)行“十字相乘”：a=1=1×1,c=-3=(-1)×3,b=2=1×3+1×(-1)；其次對(duì)-3y2+y+2進(jìn)行“十字相乘”最后驗(yàn)證d=3=1×2+1×1，∴x請(qǐng)同學(xué)們通過(guò)閱讀上述材料，完成下列問(wèn)題：（1）分解因式：x2-2xy-3完成下列填空：x2①首先因式分解：x2x3②再因式分解：-63y-2③驗(yàn)證第四項(xiàng)x：x=3?x+(-2)?x④寫(xiě)出結(jié)果：__________．（2）因式分解：x2（3）已知x，y為整數(shù)，且滿足6x2-7xy-3y2【答案】（1）(x+y)(x-3y)，(x+3y-2)(x-2y+3)；（2）(x+2y-1)(x-5y+2)；（3）x=0,y=2．【分析】（1）利用十字相乘法進(jìn)行因式分解即可得；（2）參照材料中，將二元二次式進(jìn)行因式分解的方法即可得；（3）先將6x2-7xy-3y2【詳解】解：（1）因?yàn)閤yx-3y所以x2根據(jù)①②③可得：x3則x2故答案為：(x+y)(x-3y)，(x+3y-2)(x-2y+3)；（2）首先因式分解：x2x2再因式分解：-10y2y-1-5y驗(yàn)證第四項(xiàng)x：x=2?x+(-1)?x，則x2（3）同（2）的方法可得：6x∵6x∴(3x+y-1)(2x-3y+5)=-1，∵x,y為整數(shù)，∴3x+y-1和2x-3y+5也是整數(shù)，∴3x+y-1=12x-3y+5=-1或解得x=0y=2或x=-則x=0,y=2．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，讀懂閱讀材料中的十字相乘法是解題關(guān)鍵．48．閱讀下面材料，解答后面的問(wèn)題：“十字相乘法”能將二次三項(xiàng)式分解因式，對(duì)于形如ax2+bxy+cy2的關(guān)于x，y的二次三項(xiàng)式來(lái)說(shuō)，方法的關(guān)鍵是將x2項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1，a2的積，即a=a1?a2，將y2項(xiàng)系數(shù)c例：分解因式：x解：如圖1，其中1=1×1，-8=(-4)×2，而-2=1×(-4)+1×2所以x而對(duì)于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的關(guān)于x，y的二元二次式也可以用十字相乘法來(lái)分解．如圖2．將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成fk乘積作為第三列，如果mq+np=b，mk+nj=d，即第1、2列，第2、3例：分解因式x解：如圖3，其中1=1×1，-3=(-1)×3，2=1×2而2=1×3+1×(-1)，1=(-1)×2+3×1，3=1×2+1×1所以x請(qǐng)同學(xué)們通過(guò)閱讀上述材料，完成下列問(wèn)題：（1）分解因式：①6x2②2x2（2）若關(guān)于x，y的二元二次式x2+7xy-18y【答案】（1）(2x-7y)(3x-6y)；(2x+3y-5)(x-2y+3)；（2）61或【分析】（1）結(jié)合題意畫(huà)出圖形，即可得出結(jié)論；（2）用十字相乘法把能分解的幾種情況全部列出求出m的值即可．【詳解】解：（1）①如下圖，其中6=2×3,42=-7×(-6),-33=2×(-6)+3×(-7)，所以，6x②如下圖，其中2=2×1,-6=3×(-2),-15=-5×3，而-1=-2×2+1×3,19=3×3+(-5)×(-2),1=2×3+(-5)×1，所以，2x（2）如下圖，其中1=1×1,-18=9×(-2),-40=-5×8，而7=-2×1+1×9,-3=1×5+(-8)×1,m=9×5+(-8)×(-2)=61或m=9×(-8)+(-2)×5=-82，∴若關(guān)于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-3x+my-40可以分解成兩個(gè)一次因式的積，m【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是因式分解-十字相乘法，讀懂題意，掌握十字相乘法分解因式的步驟是解此題的關(guān)鍵．49．“十字相乘法”能把二次三項(xiàng)式分解因式，對(duì)于形如ax2+bxy+cy2的關(guān)于x，y的二次三項(xiàng)式來(lái)說(shuō)，方法的關(guān)鍵是把x2項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1，a2的積，即a＝a1?a2，把y2項(xiàng)系數(shù)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1，c2的積，即c＝c1?c2，并使a1?c2+a2?c1正好等于xy項(xiàng)的系數(shù)b，那么可以直接寫(xiě)成結(jié)果：ax2+bxy+cy2＝（a1x+c1y）（a2x+c2y）．例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．解：如圖1，其中1＝1×1，﹣8＝（﹣4）×2，而﹣2＝1×2+1×（﹣4）．∴x2﹣2xy﹣8y2＝（x﹣4y）（x+2y）而對(duì)于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法來(lái)分解，如圖2，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解：如圖3，其中1＝1×1，﹣3＝（﹣1）×3，2＝1×2；而2＝1×3+1×（﹣1），1＝（﹣1）×2+3×1，3＝1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2＝（x﹣y+1）（x+3y+2）請(qǐng)同學(xué)們通過(guò)閱讀上述材料，完成下列問(wèn)題：（1）分解因式：①6x2﹣17xy+12y2＝②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12＝③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y＝（2）若關(guān)于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成兩個(gè)一次因式的積，求m的值．【答案】（1）①（3x﹣4y