福建省廈門市湖里區(qū)2021-2022學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試卷(Word版含答案)

2/22021-2022學(xué)年福建省廈門市湖里區(qū)八年級(jí)第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題有10小題，每小題4分，共40分.每小題都有四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)正確）1．計(jì)算30的結(jié)果為（）A．﹣3 B．0 C．1 D．32．下列計(jì)算結(jié)果為6a3的是（）A．2a?3a3 B．2a?4a2 C．2a?3a2 D．2a?4a33．下列分式與相等的是（）A．﹣ B．﹣ C． D．4．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣1，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）5．已知多項(xiàng)式a2+b2+M可以運(yùn)用平方差公式分解因式，則單項(xiàng)式M可以是（）A．2ab B．﹣2ab C．3b2 D．﹣5b26．如圖，△ABC≌△BDE，AC和BC對(duì)應(yīng)邊分別是BE和DE，則下列與∠BFC相等的是（）A．∠BCF B．∠ABC C．∠DBC D．∠E7．已知∠AOB＝30°，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，點(diǎn)P1與點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱，點(diǎn)P2與點(diǎn)P關(guān)于OB對(duì)稱，則△P1OP2是（）A．含30°角的直角三角形 B．頂角是30°的等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形8．某工程隊(duì)在改造一條長1600米的人行步道，為盡量減少施工對(duì)交通的影響，施工時(shí)_____，若實(shí)際施工每天改造x米，可列方程＝+15，則橫線上的信息可以是（）A．每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)18米，結(jié)果提前15天完成 B．每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)18米，結(jié)果延期15天完成 C．每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)18米，結(jié)果延期15天完成 D．每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)18米，結(jié)果提前15天完成9．如圖，正方形ABCD的邊長為a，點(diǎn)O為對(duì)角線AC中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為對(duì)角線AC的三等分點(diǎn)，則圖中的兩個(gè)小正方形面積之和為（）A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)210．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（m+2n，﹣3）和N（﹣m﹣n，6），其中m＞﹣2n，點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線l（直線l上各點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等）對(duì)稱，則m與n的數(shù)量關(guān)系為（）A．m+3n＝6 B．m＝﹣n C．m+2n＝﹣3 D．m+2n＝6二、填空題（本大題有6小題，第11題8分，其余每小題8分，共28分）11．計(jì)算：（1）2a+3a＝；（2）（2x）3＝；（3）6m3÷2m3＝；（4）+＝．12．分式與的最簡公分母是．13．如圖，將一副三角板如圖疊放，且EF∥BC，則∠BFD＝度．14．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AD是角平分線，CD＝3cm，點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)A，B重合），則線段DP的長度范圍為．15．若a＝2021×589﹣588×2021，b＝2019×2018﹣2017×2020，則a與b的大小關(guān)系為．16．如圖，有一條筆直的河流，兩岸EF∥GH，在河岸EF的同側(cè)有一個(gè)管理處A和物資倉庫B，管理人員每天需要從管理處A出發(fā)，先到物資倉庫B領(lǐng)取物資，接著到達(dá)河岸EF上的C點(diǎn)，乘坐停放在C點(diǎn)的快艇，把物資送到對(duì)岸GH的對(duì)接點(diǎn)D，然后調(diào)頭返回河岸EF上的C點(diǎn)，再返回管理房A．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條線路，使得管理員每天經(jīng)過的路程最短．若用作圖的方式來確定點(diǎn)C和點(diǎn)D，則確定點(diǎn)C和點(diǎn)D的步驟是：．三、解答題（本大題有9小題，共82分）17．計(jì)算：（1）（x+2）（x﹣1）；（2）（2x+y）2．18．化簡并求值：（1﹣）÷，選擇一個(gè)合適的m值代入求出分式的值．19．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，BC＝DE，AC＝DC，AB＝EC，∠ACB＝45°．求∠CFE的度數(shù)．20．解方程：．21．如圖，已知△ABC，點(diǎn)D在邊BC上，∠ADB＝2∠C．（1）尺規(guī)作圖：作出點(diǎn)D；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若∠A＝∠B+∠C，求證：點(diǎn)D是BC中點(diǎn)．22．廈門市山海健康步道全長約23公里，起于郵輪碼頭，終于觀音山夢幻沙灘．某周末，張華和李濤同學(xué)在此健康步道上同時(shí)向同一個(gè)方向散步，且張華在李濤的前方300米處．已知李濤走3步的距離，張華要走5步；李濤走4步的時(shí)間，張華能走3步．問李濤能否追上張華？如果能，他要走多遠(yuǎn)的路才能追上張華？23．經(jīng)過三角形一個(gè)頂點(diǎn)及其對(duì)邊上一點(diǎn)的直線，若能將此三角形分割成兩個(gè)等腰三角形，稱這個(gè)三角形為“鉆石三角形”，這條直線稱為這個(gè)三角形的“鉆石分割線”．例如，如圖，△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，若AD＝DC＝CB，則稱△ABC是“鉆石三角形”，直線CD是△ABC的“鉆石分割線”．（1）已知Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，則Rt△ABC“鉆石三角形”（填“是”或者“不是”）；（2）已知，△ABC是“鉆石三角形”，∠A＞∠B＞∠C，直線BD是△ABC的“鉆石分割線”，探求∠ABC與∠C之間的關(guān)系．24．已知一些兩數(shù)和的算式：1+7；2+6；4+4；3.5+4.5；2+5；…（1）觀察上述算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律；（2）通過計(jì)算上面各算式中兩個(gè)加數(shù)的乘積，請(qǐng)你提出一個(gè)合理的猜想；（3）我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)x都可以分解兩個(gè)正數(shù)的和，即x＝m+n（m，n是正數(shù)），在x的所有這種分解中，當(dāng)分解所得兩數(shù)m，n的乘積最大時(shí)，我們稱正數(shù)m，n是正整數(shù)x的最佳分解，記為：Jmax（x）＝mn．①填空：Jmax（8）＝；Jmax（10）＝；②若x＝a，求Jmax（x）的值（用含a的式子表示），并說明理由．25．如圖，等邊△ABC中，過頂點(diǎn)A在AB邊的右側(cè)作射線AP，∠BAP＝α（0°＜α＜180°）．點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于直線AP對(duì)稱，連接AE，BE，且BE交射線AP于點(diǎn)D，過C，E兩點(diǎn)作直線交射線AP于點(diǎn)F．（1）當(dāng)α＝40°時(shí)，求∠AEC的度數(shù)；（2）在α變化過程中，∠AFE的大小是否發(fā)生變化？如果變化，寫出變化的范圍；如果不變化，求∠AFE的大?。唬?）探究線段AF，CF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

參考答案一、選擇題（本大題有10小題，每小題4分，共40分.每小題都有四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)正確）1．計(jì)算30的結(jié)果為（）A．﹣3 B．0 C．1 D．3【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．解：原式＝1，故選：C．2．下列計(jì)算結(jié)果為6a3的是（）A．2a?3a3 B．2a?4a2 C．2a?3a2 D．2a?4a3【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，從而作出判斷．解：A、原式＝6a4，故此選項(xiàng)不符合題意；B、原式＝8a3，故此選項(xiàng)不符合題意；C、原式＝6a3，故此選項(xiàng)符合題意；D、原式＝8a4，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．3．下列分式與相等的是（）A．﹣ B．﹣ C． D．【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．解：＝＝﹣，故選：B．4．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣1，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答．解：點(diǎn)P（﹣1，2）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）．故選：A．5．已知多項(xiàng)式a2+b2+M可以運(yùn)用平方差公式分解因式，則單項(xiàng)式M可以是（）A．2ab B．﹣2ab C．3b2 D．﹣5b2【分析】利用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．解：多項(xiàng)式a2+b2+M可以運(yùn)用平方差公式分解因式，則單項(xiàng)式M可以是﹣5b2．故選：D．6．如圖，△ABC≌△BDE，AC和BC對(duì)應(yīng)邊分別是BE和DE，則下列與∠BFC相等的是（）A．∠BCF B．∠ABC C．∠DBC D．∠E【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠DBE，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)解答即可．解：∵△ABC≌△BDE，AC和BC對(duì)應(yīng)邊分別是BE和DE，∴∠A＝∠DBE，∴∠BFC＝∠A+∠ABF＝∠DBE+∠ABF＝∠ABC，故選：B．7．已知∠AOB＝30°，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，點(diǎn)P1與點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱，點(diǎn)P2與點(diǎn)P關(guān)于OB對(duì)稱，則△P1OP2是（）A．含30°角的直角三角形 B．頂角是30°的等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，結(jié)合等邊三角形的判定求解．解：∵P為∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)分別為P1、P2，∴OP＝OP1＝OP2且∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴故△P1OP2是等邊三角形．故選：C．8．某工程隊(duì)在改造一條長1600米的人行步道，為盡量減少施工對(duì)交通的影響，施工時(shí)_____，若實(shí)際施工每天改造x米，可列方程＝+15，則橫線上的信息可以是（）A．每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)18米，結(jié)果提前15天完成 B．每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)18米，結(jié)果延期15天完成 C．每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)18米，結(jié)果延期15天完成 D．每天比原計(jì)劃少鋪設(shè)18米，結(jié)果提前15天完成【分析】根據(jù)題意和題目中的方程可知，實(shí)際每天改造人行步道x米，則原計(jì)劃每天改造人行步道（x﹣18）米，實(shí)際比原計(jì)劃提前25天，從而可以選出符合題意的選項(xiàng)．解：由題意可得，題中用“_____”表示的缺失的條件應(yīng)補(bǔ)為：每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)18米，結(jié)果提前15天完成，故選：A．9．如圖，正方形ABCD的邊長為a，點(diǎn)O為對(duì)角線AC中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為對(duì)角線AC的三等分點(diǎn)，則圖中的兩個(gè)小正方形面積之和為（）A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)2【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠FAM＝∠EAO＝45°，得到△AFM與△AEO是等腰直角三角形，求得AC＝a，根據(jù)正方形的面積公式即可得到結(jié)論．解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠FAM＝∠EAO＝45°，∴△AFM與△AEO是等腰直角三角形，∵正方形ABCD的邊長為a，∴AC＝a，∵點(diǎn)M，N分別為對(duì)角線AC的三等分點(diǎn)，∴AM＝MN＝CN＝×a＝a，∴AM＝FM＝a，AE＝EO＝AD＝a，∴圖中的兩個(gè)小正方形面積之和＝FM2+OE2＝（a）2+（a）2＝a2，故選：D．10．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（m+2n，﹣3）和N（﹣m﹣n，6），其中m＞﹣2n，點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線l（直線l上各點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等）對(duì)稱，則m與n的數(shù)量關(guān)系為（）A．m+3n＝6 B．m＝﹣n C．m+2n＝﹣3 D．m+2n＝6【分析】直線l上各點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等，于是得到直線l的解析式為y＝x，即直線l為第一和第三象限的角平分線，推出點(diǎn)M（m+2n，﹣3）在第四象限，得到N（﹣m﹣n，6）在第二象限，且點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)N到x軸的距離相等，于是得到結(jié)論．解：∵直線l上各點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等，∴直線l的解析式為y＝x，即直線l為第一和第三象限的角平分線，∵m＞﹣2n，∴m+2n＞0，∴點(diǎn)M（m+2n，﹣3）在第四象限，∵點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線l（直線l上各點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等）對(duì)稱，∴N（﹣m﹣n，6）在第二象限，且點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)N到x軸的距離相等，∴m+2n＝6，故選：D．二、填空題（本大題有6小題，第11題8分，其余每小題8分，共28分）11．計(jì)算：（1）2a+3a＝5a；（2）（2x）3＝8x3；（3）6m3÷2m3＝3；（4）+＝1．【分析】（1）根據(jù)合并同類項(xiàng)法則化簡；（2）根據(jù)冪的乘方和積的乘方化簡；（3）根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則化簡；（4）根據(jù)分式的加減法法則化簡．解：（1）2a+3a＝5a；（2）（2x）3＝8x3；（3）6m3÷2m3＝3；（4）+＝＝1．故答案為：（1）5a；（2）8x3；（3）3；（4）1．12．分式與的最簡公分母是6a2．【分析】確定最簡公分母的方法是：（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個(gè)因式；（3）同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母．解：分式與的最簡公分母是：2×3?a2＝6a2．故答案為：6a2．13．如圖，將一副三角板如圖疊放，且EF∥BC，則∠BFD＝15度．【分析】首先根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠BFE＝45°，再利用角的和差可得答案．解：由題意得，∠ABC＝45°，∠DFE＝30°，∵EF∥BC，∴∠BFE＝∠ABC＝45°，∴∠BFD＝45°﹣30°＝15°．故答案為：15．14．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AD是角平分線，CD＝3cm，點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)A，B重合），則線段DP的長度范圍為3≤DP＜6．【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠CAD＝∠BAD＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AD＝2CD＝6（cm），過D作DP⊥AB于P，PD＝AD＝3（cm），于是得到結(jié)論．解：如圖，∵∠CAB＝60°，AD是角平分線，∴∠CAD＝∠BAD＝30°，∵∠ACB＝90°，CD＝3cm，∴AD＝2CD＝6（cm），過D作DP⊥AB于P，∴∠APD＝90°，∴PD＝AD＝3（cm），∴線段DP的長度范圍為3≤DP＜6，故答案為：3≤DP＜6．15．若a＝2021×589﹣588×2021，b＝2019×2018﹣2017×2020，則a與b的大小關(guān)系為a＞b．【分析】先把a(bǔ)提取公因式進(jìn)行因式分解求出a，再把b利用乘法分配律化簡得出b的值，最后比較大?。猓骸遖＝2021×589﹣588×2021＝2021×（589﹣588）＝2021×1＝2021．b＝2019×2018﹣2017×2020＝2019×（2017+1）﹣2017×（2019+1）＝2019×2017+2019﹣2017×2019﹣2017＝2019﹣2017＝2．故答案為：a＞b．16．如圖，有一條筆直的河流，兩岸EF∥GH，在河岸EF的同側(cè)有一個(gè)管理處A和物資倉庫B，管理人員每天需要從管理處A出發(fā)，先到物資倉庫B領(lǐng)取物資，接著到達(dá)河岸EF上的C點(diǎn)，乘坐停放在C點(diǎn)的快艇，把物資送到對(duì)岸GH的對(duì)接點(diǎn)D，然后調(diào)頭返回河岸EF上的C點(diǎn)，再返回管理房A．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條線路，使得管理員每天經(jīng)過的路程最短．若用作圖的方式來確定點(diǎn)C和點(diǎn)D，則確定點(diǎn)C和點(diǎn)D的步驟是：作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)T，連接BT交EF于點(diǎn)C，作CD⊥GH于點(diǎn)D，連接AC，點(diǎn)C，點(diǎn)D即為所求．【分析】作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)T，連接BT交EF于點(diǎn)C，作CD⊥GH于點(diǎn)D，連接AC，點(diǎn)C，點(diǎn)D即為所求．解：如圖，點(diǎn)C，點(diǎn)D即為所求．故答案為：作點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)T，連接BT交EF于點(diǎn)C，作CD⊥GH于點(diǎn)D，連接AC，點(diǎn)C，點(diǎn)D即為所求．三、解答題（本大題有9小題，共82分）17．計(jì)算：（1）（x+2）（x﹣1）；（2）（2x+y）2．【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則求出即可；（2）根據(jù)完全平方公式解答即可．解：（1）原式＝x2﹣x+2x﹣2＝x2+x﹣2；（2）原式＝4x2+2?2x?y+y2＝4x2+4xy+y2．18．化簡并求值：（1﹣）÷，選擇一個(gè)合適的m值代入求出分式的值．【分析】先將原式小括號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行通分計(jì)算，然后再算括號(hào)外面的除法，最后根據(jù)分式有意義的條件選取合適的m的值，代入求值即可．解：原式＝（）＝＝；∵m≠±2且m≠3，∴當(dāng)m＝1時(shí)，原式＝＝﹣．19．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，BC＝DE，AC＝DC，AB＝EC，∠ACB＝45°．求∠CFE的度數(shù)．【分析】證明△ABC≌△CED（SSS）．由三角形外角的性質(zhì)得出∠ACB＝∠CDE＝45°，則可得出答案．解：在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（SSS）．∴∠ACB＝∠CDE＝45°，∴∠CFE＝∠ACB+∠CDE＝90°．20．解方程：．【分析】本題的最簡公分母是3（x+1），方程兩邊都乘最簡公分母，可把分式方程轉(zhuǎn)換為整式方程求解．解：方程兩邊都乘3（x+1），得：3x﹣2x＝3（x+1），解得：x＝﹣，經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣是方程的解，∴原方程的解為x＝﹣．21．如圖，已知△ABC，點(diǎn)D在邊BC上，∠ADB＝2∠C．（1）尺規(guī)作圖：作出點(diǎn)D；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若∠A＝∠B+∠C，求證：點(diǎn)D是BC中點(diǎn)．【分析】（1）法一：作線段AB的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D．法二：作∠CAD＝∠C，邊AD交BC于點(diǎn)D即可；（2）法一：根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)即可證明；法二：根據(jù)∠CAD＝∠C，利用三角形內(nèi)角和定理即可證明．解：（1）如圖，點(diǎn)D即為所求；法一：作線段AB的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D．法二：作∠CAD＝∠C，邊AD交BC于點(diǎn)D．（2）連接AD，∵∠ADB＝2∠C，∠ADB＝∠CAD+∠C，∴∠C＝∠CAD，∴AD＝CD．法一：∵∠BAC＝∠B+∠C，∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°．∵∠DAB＝90°﹣∠CAD，∠B＝90°﹣∠C，∴∠DAB＝∠B，∴AD＝BD．∴CD＝BD，即點(diǎn)D是BC中點(diǎn)．法二：∵∠BAC＝∠B+∠C＝∠BAD+∠CAD，∴∠BAD＝∠B，∴AD＝BD．∴CD＝BD，即點(diǎn)D是BC中點(diǎn)．22．廈門市山海健康步道全長約23公里，起于郵輪碼頭，終于觀音山夢幻沙灘．某周末，張華和李濤同學(xué)在此健康步道上同時(shí)向同一個(gè)方向散步，且張華在李濤的前方300米處．已知李濤走3步的距離，張華要走5步；李濤走4步的時(shí)間，張華能走3步．問李濤能否追上張華？如果能，他要走多遠(yuǎn)的路才能追上張華？【分析】若李濤一步走a米，一步走t秒，則張華一步走a米，一步走t秒．故V李＝m/s，V張＝a÷t＝m/s．設(shè)李濤走x米可追上張華．由散步時(shí)間相等列出方程并解答．解：若李濤一步走a米，一步走t秒，則張華一步走a米，一步走t秒．所以，V李＝m/s，V張＝a÷t＝m/s．設(shè)李濤走x米可追上張華．則＝．解得x＝．答：李濤走米可追上張華．23．經(jīng)過三角形一個(gè)頂點(diǎn)及其對(duì)邊上一點(diǎn)的直線，若能將此三角形分割成兩個(gè)等腰三角形，稱這個(gè)三角形為“鉆石三角形”，這條直線稱為這個(gè)三角形的“鉆石分割線”．例如，如圖，△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，若AD＝DC＝CB，則稱△ABC是“鉆石三角形”，直線CD是△ABC的“鉆石分割線”．（1）已知Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，則Rt△ABC是“鉆石三角形”（填“是”或者“不是”）；（2）已知，△ABC是“鉆石三角形”，∠A＞∠B＞∠C，直線BD是△ABC的“鉆石分割線”，探求∠ABC與∠C之間的關(guān)系．【分析】（1）如圖，取BC的中點(diǎn)D連接AD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AD＝CD＝BD，求得△ACD和△ABD是等腰三角形，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意得到△BCD與△ABD是等腰三角形，且腰相等，求得CD＝BD，設(shè)∠C＝x，則∠DBC＝∠C＝x，∠ADB＝∠C+∠DBC＝2x．在△ABD當(dāng)AB＝BD時(shí)，如圖1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠ADB＝2x．求得∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3x，于是得到結(jié)論，在△ABD當(dāng)AB＝AD時(shí)，如圖2，推出△ADB是等邊三角形，得到∠ADB＝∠ABD＝2x＝60°，∠C＝x＝30°，求得∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，在△ABD當(dāng)AD＝BD時(shí)，如圖3，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠ABD＝＝90°﹣x，求得∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，于是得到結(jié)論．解：（1）是，理由：如圖，取BC的中點(diǎn)D連接AD，∵∠A＝90°，∴AD＝CD＝BD，∴△ACD和△ABD是等腰三角形，∴Rt△ABC“鉆石三角形”，故答案為：是；（2）∵△ABC是鉆石三角形，直線BD是鉆石分割線，∴△BCD與△ABD是等腰三角形，且腰相等，∵BC＞AC＞AB，∴在△BCD中，BC最大，不可能為腰．∴CD＝BD，設(shè)∠C＝x，則∠DBC＝∠C＝x，∠ADB＝∠C+∠DBC＝2x．在△ABD當(dāng)AB＝BD時(shí)，如圖1，∴∠A＝∠ADB＝2x．∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3x，即3∠C+∠ABC＝180°，且45°＞∠C＞36°；在△ABD當(dāng)AB＝AD時(shí)，如圖2，∵△BCD與△ABD的腰相等，∴AB＝AD＝BD＝CD，∴△ADB是等邊三角形，∴∠ADB＝∠ABD＝2x＝60°，∠C＝x＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴AC是最大邊，這與BC是最大邊矛盾，∴不合題意，舍去；在△ABD當(dāng)AD＝BD時(shí)，如圖3，∴∠A＝∠ABD＝＝90°﹣x，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴AC是最大邊，這與BC是最大邊矛盾，∴不合題意，舍去；綜上所述，3∠C+∠ABC＝180°，且45°＞∠C＞36°．解法二：∵△ABC是鉆石三角形，直線BD是鉆石分割線，∴△BCD與△ABD是等腰三角形，且腰相等，∵BC＞AC＞AB，∴在△BCD中，BC最大，不可能為腰．∴CD＝BD，∴△ABD的一條腰為BD．設(shè)∠C＝x，則∠DBC＝∠C＝x，∠ADB＝∠C+∠DBC＝2x．①在△ABD的另一條腰為AB時(shí)，即AB＝BD，如圖1，∴∠A＝∠ADB＝2x．∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3x，即3∠C+∠ABC＝180°，且45°＞∠C＞36°，②在△ABD的另一條腰為AD時(shí)，即AD＝BD，如圖3，∴∠A＝∠ABD＝＝90°﹣x，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴AC是最大邊，這與BC是最大邊矛盾，∴不合題意，舍去．綜上所述，3∠C+∠ABC＝180°，且45°＞∠C＞36°．24．已知一些兩數(shù)和的算式：1+7；2+6；4+4；3.5+4.5；2+5；…（1）觀察上述算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律；（2）通過計(jì)算上面各算式中兩個(gè)加數(shù)的乘積，請(qǐng)你提出一個(gè)合理的猜想；（3）我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)x都可以分解兩個(gè)正數(shù)的和，即x＝m+n（m，n是正數(shù)），在x的所有這種分解中，當(dāng)分解所得兩數(shù)m，n的乘積最大時(shí)，我們稱正數(shù)m，n是正整數(shù)x的最佳分解，記為：Jmax（x）＝mn．①填空：Jmax（8）＝16；Jmax（10）＝25；②若x＝a，求Jmax（x）的值（用含a的式子表示），并說明理由．【分析】（1）根據(jù)題意總結(jié)規(guī)律即可；（2）先計(jì)算，然后總結(jié)規(guī)律得出猜想；（3）①由（2）的猜想得出即可；②由（2）的猜想得出的規(guī)律計(jì)算即可．解：（1）規(guī)律：①每個(gè)算式的兩個(gè)加數(shù)都是正數(shù)；②每個(gè)算式的計(jì)算結(jié)果都為8；（2）1×7＝7；2×6＝12；4×4＝16；3.5×4.5＝15.75；2×5＝14；…，猜想：當(dāng)兩個(gè)數(shù)和相等時(shí)，兩個(gè)數(shù)相差越少積越大；（3）①由（2）知，當(dāng)m＝n時(shí)有Jmax（x），∴Jmax（8）＝4×4＝16，Jmax（10）＝5×5＝25，故答案為：16，25；②若x＝a，Jmax（x）＝＝，理由如下：由（2）知當(dāng)m＝n時(shí)有Jmax（x），即若x＝a，則當(dāng)m＝n＝a時(shí)有Jmax（x），∴Jmax（x）＝＝．25．如圖，等邊△ABC中，過頂點(diǎn)A在AB邊的右側(cè)作射線AP，∠BAP＝α（0°＜α＜180°）．點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于直線AP對(duì)稱，連接AE，BE，且BE交射線AP于點(diǎn)D，過C，E兩點(diǎn)作直線交射線AP于點(diǎn)F．（1）當(dāng)α＝40°時(shí)，求∠AEC的度數(shù)；（2）在α變化過程中，∠AFE的大小是否發(fā)生變化？如果變化，寫出變化的范圍；如果不變化，求∠AFE的大??；（3）探究線段AF，CF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到BD＝DE，BE⊥AP，求得AB＝BC＝AC＝AE，得到∠AEC＝∠ACE＝；（1）當(dāng)∠BAP＝α＝40°時(shí)，如圖1．得到∠BAD＝∠EAD＝40°，求得∠CAE＝∠BAD+∠EAD﹣∠BAC＝20°，于是得到∠AEC＝∠ACE＝80°；（2）①當(dāng)30°＜α≤90°時(shí)，60°＜2α≤180°，D，F(xiàn)在射線AP上，如圖1．得到∠BAD＝∠EAD＝α，求得∠CAE＝∠BAD+∠EAD﹣∠BAC＝2α﹣60°，于是得到∠AFE＝180°﹣∠AEC﹣∠EAD＝60°；②當(dāng)90°＜α＜120°時(shí)，180°＜2α＜240°，D，F(xiàn)在點(diǎn)A的兩側(cè)，如圖2．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到BD＝DE，BE⊥AP，求得∠BAD＝∠EAD，AB＝AE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠EAP＝∠BAP＝α，AB＝AC，求得∠CAE＝2α﹣60°，于是得到∠AFE＝180°﹣∠AEC﹣∠EAP＝60°；（3）連接BF，在FA上截取FH＝FC，連接CH．由（2）知∠AFE＝60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠HFC＝∠FHC＝∠HCF＝60°，HF＝FC＝HC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BF＝EF，∠FDE＝90°，于是得到EF＝2DF＝BF；①當(dāng)30°＜α