數(shù)學(xué)歸納法 省賽獲獎(jiǎng)

數(shù)學(xué)歸納法

你能證明這個(gè)猜想是正確的嗎？引例在數(shù)列{}中,

＝1,

(n∈),

（1）求，，的值；（2）試猜想該數(shù)列的通項(xiàng)公式．思考：這個(gè)游戲中，能使所有多米諾骨全部倒下的條件是什么？..\..\慢鏡頭記錄30000個(gè)骨牌倒下.flv多米諾骨牌（domino）是一種用木制、骨制或塑料制成的長(zhǎng)方形骨牌。玩時(shí)將骨牌按一定間距排列成行，輕輕碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就會(huì)產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，依次倒下。多米諾是一項(xiàng)集動(dòng)手、動(dòng)腦于一體的運(yùn)動(dòng)。一幅圖案由幾百、幾千甚至上萬(wàn)張骨牌組成。骨牌需要一張張擺下去，它不僅考驗(yàn)參與者的體力、耐力和意志力，而且還培養(yǎng)參與者的智力、想象力和創(chuàng)造力。多米諾是種文化。它起源于中國(guó)，有著上千年的歷史。任意相鄰的兩塊牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊牌倒下．第一項(xiàng)成立第k項(xiàng)成立，第k+1項(xiàng)成立．第一塊骨牌倒下1234kK+1…………n=1時(shí)如果n=k時(shí)猜想成立即……那么當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，即猜想成立證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題關(guān)鍵步驟如下：這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立

完成這兩個(gè)步驟后,就可以斷定：命題對(duì)從開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立

(2)假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立

證明當(dāng)時(shí),命題也成立（基礎(chǔ)）（依據(jù)）證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，等式是成立的（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，就是那么這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立由（1）和（2），可知等式對(duì)任何

都成立如果是等差數(shù)列，已知首項(xiàng)為公差為，那么對(duì)一切都成立例1試用數(shù)學(xué)歸納法證明例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+5+…+(2n-1)＝n2(2)假設(shè)n＝k時(shí)，等式成立，即(1)

n＝1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立；1+3+5+…+(2k-1)＝k2那么當(dāng)n＝k+1時(shí)，

∴由①、②可知對(duì)任何n∈N*時(shí)，等式都成立需要證明的式子是?1+3+5+…+(2k-1)+（2k+1）＝k2+（2k+1）＝（k+1）2這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立例題3用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝12＝1，右邊＝

等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，就是那么這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何n∈N＊都成立。變式：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

第二課時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的步驟及注意事項(xiàng)：①明確首取值n0并驗(yàn)證真假。（必不可少）②“假設(shè)n=k時(shí)命題正確”并寫(xiě)出命題形式。③分析“n=k+1時(shí)”命題是什么，并找出與“n=k”時(shí)命題形式的差別。弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)。④明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等，并用上假設(shè)。思考1：試問(wèn)等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立嗎？某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法給出了如下的證明，請(qǐng)問(wèn)該同學(xué)得到的結(jié)論正確嗎？解:設(shè)n＝k時(shí)成立，即這就是說(shuō)，n＝k+1時(shí)也成立2+4+6+…+2k＝k2+k+1則當(dāng)n=k+1時(shí)2+4+6+…+2k+2(k+1)＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1

所以等式對(duì)任何n∈N*都成立事實(shí)上，當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝2，右邊＝3左邊≠右邊，等式不成立該同學(xué)在沒(méi)有證明當(dāng)n=1時(shí)，等式是否成立的前提下，就斷言等式對(duì)任何n∈N*都成立，為時(shí)尚早下面是某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題

的過(guò)程.你認(rèn)為他的證法正確嗎?為什么?

(1).當(dāng)n=1時(shí),左邊=,右邊=(2).假設(shè)n=k時(shí)命題成立即那么n=k+1時(shí),

左邊

=右邊,即n=k+1時(shí),命題也成立.由(1)(2)知,對(duì)一切自然數(shù),命題均正確.

思考2證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝右邊＝②假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，那么n=k+1時(shí)等式成立這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何n∈N＊都成立即第二步的證明沒(méi)有在假設(shè)條件下進(jìn)行，因此不符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求思考3：下面是某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立的過(guò)程,它符合數(shù)學(xué)歸納法的證明要求嗎？為什么？（n∈N＊）nn2112121212132-=＋＋＋＋L

因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟，缺一不可。第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)。缺了第一步遞推失去基礎(chǔ)；缺了第二步，遞推失去依據(jù)，因此無(wú)法遞推下去。思考：步驟

(1)中n取的第一個(gè)值n0一定是1嗎？為什么？舉例說(shuō)明：用數(shù)學(xué)歸納法證明n邊形的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)是此時(shí)n取的第一值用數(shù)學(xué)歸納法證明某個(gè)命題時(shí)，左邊為1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，從n＝k到n＝k＋1左邊需增加的代數(shù)式為_(kāi)_______．[答案]

(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)[解析]

當(dāng)n＝k時(shí)，左邊＝1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋k(k＋1)(k＋2)(k＋3)．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋k(k＋1)(k＋2)(k＋3)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)，所以從n＝k到n＝k＋1左式應(yīng)增加(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)．練習(xí)1：練2：求證：當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除．[證明]

(1)顯然，當(dāng)n＝1時(shí)，命題成立，即x1＋y1能被x＋y整除．(2)假設(shè)當(dāng)n＝2k－1(k∈N*)時(shí)命題成立，即(x＋y)能整除x2k－1＋y2k－1則當(dāng)n＝2k＋1時(shí)，x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1)又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1∴(x＋y)能整除(x2k＋1＋y2k＋1)由(1)、(2)可知當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除.練習(xí)3：已知數(shù)列{an}中，a1=1，（1）計(jì)算a2，a3，a4（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明其正確性練習(xí)4：已知數(shù)列{an}中，a1=1，sn=2an-1（1）計(jì)算a2，a3，a4（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明其