4.1.1數(shù)列的概念與簡單表示法課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

4.1.1數(shù)列的概念與簡單表示法第四章

數(shù)列2023/12/244.1數(shù)列的概念高二數(shù)學備課組引

入水星金星地球火星木星土星實際距離0.390.721.01.525.29.5···計算距離···情境：德國天文學家提丟斯(Titius,1729—1796)研究了一列數(shù)：3，6，12，24，48，96，192，···他由此得出太陽到行星平均距離的經(jīng)驗定律!注:表中數(shù)據(jù)的單位為天文單位,1個天文單位等于太陽到地球的距離.0，

天王星谷神星0.40.71.01.62.85.210.019.6如果你是天文學家，通過這列數(shù)，你有什么大膽的猜測？引

入像這樣如果用正整數(shù)表示事物發(fā)展過程的先后順序，并且把這樣的正整數(shù)看作自變量的取值，把事物的對應數(shù)值看作相應的函數(shù)值，那么數(shù)列就是定義在正整數(shù)集(或正整數(shù)集的有限子集)上的一類離散函數(shù).

對數(shù)列的研究源于現(xiàn)實生產(chǎn)、生活的需要.人們常用這樣的一列數(shù)有序地表達一類事物，或者記錄一個過程.按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.引

入數(shù)列特殊的數(shù)列概念表示方法等差數(shù)列等比數(shù)列數(shù)學歸納法基本原理簡單應用

本章我們將學習數(shù)列的概念和表示方法，并研究兩類特殊的數(shù)列—等差數(shù)列和等比數(shù)列，探究他們的取值規(guī)律，建立他們的通項公式和前n項和公式，并應用他們解決問題.我們還將學習數(shù)學歸納法，這是一種證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題的特殊方法.通項公式前n項和公式引

入

在現(xiàn)實生活和數(shù)學學習中，我們經(jīng)常需要根據(jù)問題的意義，通過對一些數(shù)據(jù)按特定順序排列的方法來刻畫研究對象.例如:1.王芳從1歲到17歲，每年生日那天測量身高，將這些身高數(shù)據(jù)(單位:cm)依次排成一列數(shù):

75,87,96,103,110,116,120,128,

138,145,153,158,160,162,163,165,168

①

問題1

它們之間能否交換位置？具有確定的順序嗎？它們之間不能交換位置.所以，①是具有確定順序的一列數(shù).記王芳第i歲時的身高為hi，那么h1=75，h2=87，…，h17=168.hi中的

i

反映了身高按歲數(shù)從1到17的順序排列時的確定位置，引

入

2.在兩河流域發(fā)掘的一塊泥版上，有一列依次表示一個月中從第1天到第15天每天月亮可見部分的數(shù):5,10,

20,40,80,96,

112,128,144,160,176,

192,

208,224,240②910111312141512456783同樣它們之間也不能交換位置.所以，②也是具有確定順序的一列數(shù).問題2

它們之間能否交換位置？具有確定的順序嗎？記第i天月亮可見部分的數(shù)為si，那么s1=5，s2=10，…，s15=240.si中的i反映了月亮可見部分的數(shù)按日期從1到15的順序排列時的確定位置，探究新知

③問題3

你能仿照上面的敘述，說明③也是具有確定順序的一列數(shù)嗎？它們之間不能交換位置.這也是具有確定順序的一列數(shù)追問上述例子的共同特征是什么？一列數(shù)順序探究新知

一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，1.數(shù)列的概念：數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號a1表示，首項（第1項）第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用a2表示······第2項第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用an表示，第n項數(shù)列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，….(n∈N*)

簡記作{an}.

問題4{an}與an的意思一樣嗎？

注:

右下角標表示這一項在數(shù)列中的位置序號{an}表示一個數(shù)列：a1，a2，a3，…，an，….；an表示數(shù)列{an}中的第n項.探究新知(1)“1,2,3,4,5”與“5,4,3,2,1”是同一個數(shù)列嗎？與“1,3,2,4,5呢？

——數(shù)列的有序性(2)數(shù)列中的數(shù)可以重復嗎？問題5數(shù)列與集合有什么區(qū)別？集合講究：無序性、互異性、確定性，——可重復數(shù)列講究：有序性、可重復性、確定性.（辨析數(shù)列的概念:）探究新知由于數(shù)列{an}中的每一項an與它的序號n有下面的對應關系:所以數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,···,n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an

，記為an=

f(n).

2.數(shù)列與函數(shù)的關系序號項探究新知2.數(shù)列與函數(shù)的關系序號項也就是說，當自變量從1開始，按照從小到大的順序依次取值時，對應的一列函數(shù)值f(1)，f(2),···,f(n),···就是數(shù)列{an}.另一方面，對于函數(shù)y=f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意義，那么f(1)，f(2),···,f(n),···構成了一個數(shù)列{f(n)}.以前我們學過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù).記為an=

f(n).(n∈N*)

問題6數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，它與以前我們學過的函數(shù)有什么區(qū)別？探究新知問題7從函數(shù)角度看數(shù)列①，這個數(shù)列中的項的大小隨序號如何變化？1.王芳從1歲到17歲，每年生日那天測量身高，將這些身高數(shù)據(jù)(單位:cm)依次排成一列數(shù):

75,87,96,103,110,116,120,128,

138,145,153,158,160,162,163,165,168

①與函數(shù)類似，我們可以定義數(shù)列的單調性：探究新知遞增數(shù)列：從第2項起,每一項都大于它的前一項的數(shù)列.遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列.擺動數(shù)列:從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的

數(shù)列.

常數(shù)列：各項相等的數(shù)列.(1)按項的變化趨勢分：(2)按項的個數(shù)分：有窮數(shù)列：個數(shù)有限的的數(shù)列無窮數(shù)列：個數(shù)無限的的數(shù)列對任意n∈N*，總有an+1>an(或an+1-an>0).對任意n∈N*，總有an+1<an(或an+1-an<0).課堂練習1．下列說法中，正確的是(

)A．數(shù)列1，3，5，7可表示為{1，3，5，7}B．數(shù)列1，0，－1，－2與數(shù)列－2，－1，0，1是相同的數(shù)列C．數(shù)列的項可以相等D．數(shù)列a，b，c和數(shù)列c，b，a一定不是同一數(shù)列CC探究新知

與其他函數(shù)一樣，數(shù)列也可以用表格和圖象來表示.例如，數(shù)列①可以表示為下表.

它的圖象如圖所示.2.圖象法1.列表法｛3.通項公式法數(shù)列的表示法：數(shù)列用圖象表示時的特點——一群孤立的點探究新知

如果數(shù)列{an}的第n項an與序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式，簡稱通項.

例如數(shù)列：1,4,9,16,

···的通項公式是

填空：(1)2，4，

，16，32，

，128，…，通項公式為________;問題8數(shù)列5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240有通項公式嗎？為什么？探究新知

如果數(shù)列{an}的第n項an與序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式，簡稱通項.

注意：①通項公式的主要作用是“知序號可求項”如：數(shù)列{n2}的第11項是121.②一些數(shù)列的通項公式不是唯一的；如：數(shù)列1，-1，1，-1，…

③不是每一個數(shù)列都能寫出它的通項公式.如：1，24，8，3，19課堂練習答案：√，×，√.1.判斷正誤.(1)數(shù)列1，1，1，…是無窮數(shù)列.()(2)所有的自然數(shù)構成的數(shù)列均為遞增數(shù)列.()(3)有些數(shù)列沒有通項公式.()答案：5.

答案：20.

例題講解例1根據(jù)下列數(shù)列{an}的通項公式，寫出數(shù)列的前5項，并畫出它們的圖象.課堂練習1.寫出下列數(shù)列的前10項，并作出它們的圖象:(1)所有正整數(shù)的倒數(shù)按從大到小的順序排列成的數(shù)列;

(2)當自變量x依次取1,2,3,???時，函數(shù)f(x)=2x+1的值構成的數(shù)列;課堂練習2.根據(jù)數(shù)列{an}的通項公式填表:n12???5?????????nan??????153???273???3(3+4n)21336912223.除數(shù)函數(shù)(divisorfunction)y=d(n)(n∈N*)的函數(shù)值等于n的正因數(shù)的個數(shù),例如,d(1)=1,d(4)=3.寫出數(shù)列d(1),

d(2)

,???,d(n),???的前10項.例題講解例2根據(jù)下列數(shù)列的前4項，寫出數(shù)列的一個通項公式:探究新知常見數(shù)列通項公式求法：(1)常見數(shù)列：正整數(shù)列，奇數(shù)列，偶數(shù)列，平方數(shù)列等直接寫通項公式；(2)分數(shù)列：觀察分子、分母的特點后寫通項公式；(3)指數(shù)數(shù)列：觀察底數(shù)、指數(shù)的特點后寫通項公式；(4)各項符號一正一負：探究新知常見數(shù)列通項公式：

課堂練習4.根據(jù)下列數(shù)列的前5項，寫出數(shù)列的一個通項公式:例題講解例3如果數(shù)列{an}的通項公式為an=n2+2n，那么120是不是這個數(shù)列的項?如果是