四川省成都市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

成都重點(diǎn)中學(xué)高2026屆高一上期數(shù)學(xué)12月考試一．單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．化為弧度是（）A． B． C． D．2．不等式的解集是（）A． B．，2 C． D．3．已知函數(shù)，，則（）A． B． C． D．34．已知，，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的，對(duì)應(yīng)值表，那么函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)至少有（）1234567A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)6．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．7．某市一天內(nèi)的氣溫（單位：）與時(shí)刻（單位：時(shí)）之間的關(guān)系如圖所示，令表示時(shí)間段內(nèi)的溫差（即時(shí)間段內(nèi)最高溫度與最低溫度的差），與之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示，則下列圖象最接近的是（）．A． B．C． D．8．若定義在上的函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足：①為奇函數(shù)；②對(duì)任意的，，且，都有，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì)．已知函數(shù)具有性質(zhì)，則不等式的解集為（）A． B．C． D．二．多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說(shuō)法中正確的有（）A．命題：，，則命題的否定是，B．“”是“”的必要不充分條件C．命題“，”是真命題D．“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件10．下列結(jié)論正確的是（）A．是第三象限角B．若圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)為，則該扇形的面積為C．若角的終邊上有一點(diǎn)，則D．若角為銳角，則角為鈍角11．《九章算術(shù)》中“勾股容方”問(wèn)題：“今有勾五步，股十二步，問(wèn)勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問(wèn)題的一般解法：如圖1，用對(duì)角線(xiàn)將長(zhǎng)和寬分別為和的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長(zhǎng)為，寬為內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)．由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3．設(shè)為青斜邊的中點(diǎn)，作直黃角三角形的內(nèi)接正方形對(duì)角線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則下列推理正確的是（）圖1圖2圖3①由圖1和圖2面積相等得；②由可得；③由可得；④由可得．A．① B．② C．③ D．④12．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C．存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)D．存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式的解集為第II卷（非選擇題）三．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上．13．計(jì)算：________．14．已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_______．15．已知，分別是關(guān)于的方程，的根，則________16．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意實(shí)數(shù)，，都有，且當(dāng)時(shí)，．若，對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．四．解答題：本題共6小題．17題10分，18—22題每題12分，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．設(shè)為實(shí)數(shù)，，集合，．（1）若，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．已知點(diǎn)在角的終邊上，且．（1）求和的值；（2）求的值．19．杭州亞運(yùn)會(huì)田徑比賽于2023年10月5日收官．在最后兩個(gè)競(jìng)技項(xiàng)目男女馬拉松比賽中，中國(guó)選手何杰以2小時(shí)13分02秒奪得男子組冠軍，這是中國(guó)隊(duì)亞運(yùn)史上首枚男子馬拉松金牌．人類(lèi)長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)一般分為兩個(gè)階段，第一階段為前1小時(shí)的穩(wěn)定階段，第二階段為疲勞階段．現(xiàn)一60kg的復(fù)健馬拉松運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行4小時(shí)長(zhǎng)跑訓(xùn)練，假設(shè)其穩(wěn)定階段作速度為的勻速運(yùn)動(dòng)，該階段每千克體重消耗體力（表示該階段所用時(shí)間）．疲勞階段由于體力消耗過(guò)大變?yōu)榈臏p速運(yùn)動(dòng)（表示該階段所用時(shí)間），疲勞階段速度降低，體力得到一定恢復(fù)，該階段每千克體重消耗體力．已知該運(yùn)動(dòng)員初始體力為，不考慮其他因素，所用時(shí)間為（單位：h），請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)寫(xiě)出該運(yùn)動(dòng)員剩余體力關(guān)于時(shí)間的函數(shù)；（2）該運(yùn)動(dòng)員在4小時(shí)內(nèi)何時(shí)體力達(dá)到最低值，最低值為多少？20．我們知道，函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)．（1）利用上述結(jié)論，證明：函數(shù)的圖像關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)圖形；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性（無(wú)需證明），并解關(guān)于的不等式：．21．定義：對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋瑒t稱(chēng)區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“倒值映射區(qū)間”．已知一個(gè)定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求的解析式；（2）求函數(shù)在內(nèi)的“倒值映射區(qū)間”；（3）求函數(shù)在定義域內(nèi)的所有“倒值映射區(qū)間”．22．已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，若有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案1．A 2．C 3．A 4．D5．B 6．D 7．D 8．B9．AD 10．BC 11．ABCD 12．BD12．【解析】，函數(shù)的定義域?yàn)?，A，當(dāng)時(shí)，，而，在上都單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；B，因?yàn)椋虼撕瘮?shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，B正確；C，對(duì)實(shí)數(shù)，由A知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上最多一個(gè)零點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性，函數(shù)在上最多一個(gè)零點(diǎn)，因此函數(shù)在上最多兩個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；D，當(dāng)時(shí)，，而，對(duì)稱(chēng)性及A知，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得，即的解集為，所以存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式的解集為，D正確．故選：BD13．14．或15．202316．16【解析】取，則有，所以，取，，則有，所以為奇函數(shù)，任意，，，則，因?yàn)?，所以，令，，則有，即，所以在定義域上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，令，，，所以，所以，因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，所以對(duì)任意恒成立，分離變量可得，因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)任意恒成立，，解得，故答案為：．17．解：（1）， 2分，3分 5分（2）易知恒成立，即或 8分解得或所以 10分18．（1）由三角函數(shù)的定義知：則于是， 3分得 6分（2）已知終邊過(guò)點(diǎn)得， 8分于是有 12分（如果用（1）問(wèn)的正余弦值計(jì)算，亦可）19．解：（1）根據(jù)題意代入與公式可得； 6分（2）①穩(wěn)定階段中單調(diào)遞減，此過(guò)程中最小值； 8分②疲勞階段，則有； 10分當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“”成立， 11分所以疲勞階段中體力最低值為5200kJ，由于，因此，在時(shí)，運(yùn)動(dòng)員體力有最小值5200kJ． 12分20．解：（1）證明：由題意，只需證明為奇函數(shù)，又易知函數(shù)定義域?yàn)椋?，，，所以為奇函?shù)，所以的圖像關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)圖形． 6分（2）易知為增函數(shù)，且，對(duì)任意的恒成立，所以為減函數(shù)．又由（1）知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，即，所以原不等式等價(jià)于， 8分所以，即，由解得，，當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式解集為． 12分21．解：（1）是定義在上的奇函數(shù)，則， 1分當(dāng)時(shí)，則，，又是奇函數(shù)，則， 3分所以 4分（2）設(shè)，函數(shù)，因?yàn)樵谏线f減，且在上的值域?yàn)椋越獾?，所以函?shù)在內(nèi)的“倒值映射區(qū)間”為． 8分（3）因?yàn)樵跁r(shí)，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為，其中且，，所以則，只考慮或，①當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，則，所以，，則，由（2）知，此時(shí)的“倒值映射區(qū)間”為； 10分②當(dāng)時(shí)，可知因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，則，所以，，當(dāng)，在上遞減，且在上的值域?yàn)椋越獾茫缘摹暗怪涤成鋮^(qū)間”為； 11分綜上，