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文檔簡介
2023-2024學(xué)年山東省青州市數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(其中),求得的回歸方程是,則下列說法正確的是()A.至少有一個樣本點落在回歸直線上B.若所有樣本點都在回歸直線上,則變量同的相關(guān)系數(shù)為1C.對所有的解釋變量(),的值一定與有誤差D.若回歸直線的斜率,則變量x與y正相關(guān)2.如圖所示,為了測量、兩座島嶼間的距離,小船從初始位置出發(fā),已知在的北偏西的方向上,在的北偏東的方向上,現(xiàn)在船往東開2百海里到達處,此時測得在的北偏西的方向上,再開回處,由向西開百海里到達處,測得在的北偏東的方向上,則、兩座島嶼間的距離為()A.3 B. C.4 D.3.若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在虛軸上,則實數(shù)a為()A. B.2 C. D.4.設(shè),則““是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必條件5.已知F為拋物線y2=4x的焦點,過點F且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點,則||FA|﹣|FB||的值等于()A. B.8 C. D.46.已知盒中有3個紅球,3個黃球,3個白球,且每種顏色的三個球均按,,編號,現(xiàn)從中摸出3個球(除顏色與編號外球沒有區(qū)別),則恰好不同時包含字母,,的概率為()A. B. C. D.7.如圖,棱長為的正方體中,為線段的中點,分別為線段和棱上任意一點,則的最小值為()A. B. C. D.8.已知橢圓:的左、右焦點分別為,,點,在橢圓上,其中,,若,,則橢圓的離心率的取值范圍為()A. B.C. D.9.設(shè)復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.已知函數(shù).下列命題:①函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱;②函數(shù)是周期函數(shù);③當(dāng)時,函數(shù)取最大值;④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有公共點,其中正確命題的序號是()A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④11.網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A.1 B. C.3 D.412.一個組合體的三視圖如圖所示(圖中網(wǎng)格小正方形的邊長為1),則該幾何體的體積是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,,,,則________,的面積為________.14.展開式中項系數(shù)為160,則的值為______.15.若函數(shù)為偶函數(shù),則.16.齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬,田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽,則田忌的馬獲勝的概率為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線的頂點為原點,其焦點關(guān)于直線的對稱點為,且.若點為的準(zhǔn)線上的任意一點,過點作的兩條切線,其中為切點.(1)求拋物線的方程;(2)求證:直線恒過定點,并求面積的最小值.18.(12分)在四棱椎中,四邊形為菱形,,,,,,分別為,中點..(1)求證:;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.19.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,求實數(shù)的取值范圍;(2)證明:,恒成立.20.(12分)已知.(1)求不等式的解集;(2)記的最小值為,且正實數(shù)滿足.證明:.21.(12分)已知橢圓:的離心率為,直線:與以原點為圓心,以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點,過點的直線交橢圓于,兩點,直線,分別交直線于,兩點.(1)求橢圓的方程;(2)以線段為直徑的圓是否過定點?若是,寫出所有定點的坐標(biāo);若不是,請說明理由.22.(10分)橢圓:的左、右焦點分別是,,離心率為,左、右頂點分別為,.過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)經(jīng)過點的直線與橢圓相交于不同的兩點、(不與點、重合),直線與直線相交于點,求證:、、三點共線.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
對每一個選項逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)中心點,但樣本點可能全部不在回歸直線上﹐故A錯誤;所有樣本點都在回歸直線上,則變量間的相關(guān)系數(shù)為,故B錯誤;若所有的樣本點都在回歸直線上,則的值與相等,故C錯誤;相關(guān)系數(shù)r與符號相同,若回歸直線的斜率,則,樣本點分布應(yīng)從左到右是上升的,則變量x與y正相關(guān),故D正確.故選D.【點睛】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì),意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.2、B【解析】
先根據(jù)角度分析出的大小,然后根據(jù)角度關(guān)系得到的長度,再根據(jù)正弦定理計算出的長度,最后利用余弦定理求解出的長度即可.【詳解】由題意可知:,所以,,所以,所以,又因為,所以,所以.故選:B.【點睛】本題考查解三角形中的角度問題,難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問題的關(guān)鍵.3、D【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由實部為求得值.【詳解】解:在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在虛軸上,,即.故選D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎(chǔ)題.4、B【解析】
解出兩個不等式的解集,根據(jù)充分條件和必要條件的定義,即可得到本題答案.【詳解】由,得,又由,得,因為集合,所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B【點睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷,其中涉及到絕對值不等式和一元二次不等式的解法.5、C【解析】
將直線方程代入拋物線方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的定義即可得出的值.【詳解】F(1,0),故直線AB的方程為y=x﹣1,聯(lián)立方程組,可得x2﹣6x+1=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2=6,x1x2=1.由拋物線的定義可知:|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,∴||FA|﹣|FB||=|x1﹣x2|=.故選C.【點睛】本題考查了拋物線的定義,直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.6、B【解析】
首先求出基本事件總數(shù),則事件“恰好不同時包含字母,,”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母,,”,記事件“恰好不同時包含字母,,”為,利用對立事件的概率公式計算可得;【詳解】解:從9個球中摸出3個球,則基本事件總數(shù)為(個),則事件“恰好不同時包含字母,,”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母,,”記事件“恰好不同時包含字母,,”為,則.故選:B【點睛】本題考查了古典概型及其概率計算公式,考查了排列組合的知識,解答的關(guān)鍵在于正確理解題意,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
取中點,過作面,可得為等腰直角三角形,由,可得,當(dāng)時,最小,由,故,即可求解.【詳解】取中點,過作面,如圖:則,故,而對固定的點,當(dāng)時,最小.此時由面,可知為等腰直角三角形,,故.故選:D【點睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于中檔題.8、C【解析】
根據(jù)可得四邊形為矩形,設(shè),,根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理可得,再分析的取值范圍,進而求得再求離心率的范圍即可.【詳解】設(shè),,由,,知,因為,在橢圓上,,所以四邊形為矩形,;由,可得,由橢圓的定義可得,①,平方相減可得②,由①②得;令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故選:C【點睛】本題主要考查了橢圓的定義運用以及構(gòu)造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.9、A【解析】
由復(fù)數(shù)的除法運算可整理得到,由此得到對應(yīng)的點的坐標(biāo),從而確定所處象限.【詳解】由得:,對應(yīng)的點的坐標(biāo)為,位于第一象限.故選:.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在象限的求解,涉及到復(fù)數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確;由周期函數(shù)特點知②錯誤;函數(shù)定義域為,最值點即為極值點,由知③錯誤;令,在和兩種情況下知均無零點,知④正確.【詳解】由題意得:定義域為,,為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,①正確;為周期函數(shù),不是周期函數(shù),不是周期函數(shù),②錯誤;,,不是最值,③錯誤;令,當(dāng)時,,,,此時與無交點;當(dāng)時,,,,此時與無交點;綜上所述:與無交點,④正確.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點個數(shù)問題的求解;本題綜合性較強,對于學(xué)生的分析和推理能力有較高要求.11、A【解析】
采用數(shù)形結(jié)合,根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐,然后根據(jù)錐體體積公式,可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知:該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐,長度如上圖所以所以所以故選:A【點睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積,熟悉常見圖形的三視圖:比如圓柱,圓錐,球,三棱錐等;對本題可以利用長方體,根據(jù)三視圖刪掉沒有的點與線,屬中檔題.12、C【解析】
根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體,幾何體是圓柱中挖去一個三棱柱,從而解得幾何體的體積.【詳解】由幾何體的三視圖可得,幾何體的結(jié)構(gòu)是在一個底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個底面腰長為的等腰直角三角形、高為2的棱柱,故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積,即,故選C.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題、組合幾何體的體積問題,解題的關(guān)鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體,然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)求出其體積.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用余弦定理可求得的值,進而可得出的值,最后利用三角形的面積公式可得出的面積.【詳解】由余弦定理得,則,因此,的面積為.故答案為:;.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形,同時也考查了三角形面積的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、-2【解析】
表示該二項式的展開式的第r+1項,令其指數(shù)為3,再代回原表達式構(gòu)建方程求得答案.【詳解】該二項式的展開式的第r+1項為令,所以,則故答案為:【點睛】本題考查由二項式指定項的系數(shù)求參數(shù),屬于簡單題.15、1【解析】試題分析:由函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù),.考點:函數(shù)的奇偶性.【方法點晴】本題考查導(dǎo)函數(shù)的奇偶性以及邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力、特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想,具有一定的綜合性和靈活性,屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化思想,將函數(shù)為偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)為奇函數(shù),然后再利用特殊與一般思想,?。?6、.【解析】分析:由題意結(jié)合古典概型計算公式即可求得題中的概率值.詳解:由題意可知了,比賽可能的方法有種,其中田忌可獲勝的比賽方法有三種:田忌的中等馬對齊王的下等馬,田忌的上等馬對齊王的下等馬,田忌的上等馬對齊王的中等馬,結(jié)合古典概型公式可得,田忌的馬獲勝的概率為.點睛:有關(guān)古典概型的概率問題,關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù).(1)基本事件總數(shù)較少時,用列舉法把所有基本事件一一列出時,要做到不重復(fù)、不遺漏,可借助“樹狀圖”列舉.(2)注意區(qū)分排列與組合,以及計數(shù)原理的正確使用.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析,最小值為4【解析】
(1)根據(jù)焦點到直線的距離列方程,求得的值,由此求得拋物線的方程.(2)設(shè)出的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程,由此判斷出直線恒過拋物線焦點.求得三角形面積的表達式,進而求得面積的最小值.【詳解】(1)依題意,解得(負(fù)根舍去)∴拋物線的方程為(2)設(shè)點,由,即,得∴拋物線在點處的切線的方程為,即∵,∴∵點在切線上,①,同理,②綜合①、②得,點的坐標(biāo)都滿足方程.即直線恒過拋物線焦點當(dāng)時,此時,可知:當(dāng),此時直線直線的斜率為,得于是,而把直線代入中消去得,即:當(dāng)時,最小,且最小值為4【點睛】本小題主要考查點到直線的距離公式,考查拋物線方程的求法,考查拋物線的切線方程的求法,考查直線過定點問題,考查拋物線中三角形面積的最值的求法,考查運算求解能力,屬于難題.18、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)證明,得到平面,得到證明.(2)以點為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,平面的一個法向量為,平面的一個法向量為,計算夾角得到答案.【詳解】(1)因為四邊形是菱形,且,所以是等邊三角形,又因為是的中點,所以,又因為,,所以,又,,,所以,又,,所以平面,所以,又因為是菱形,,所以,又,所以平面,所以.(2)由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知,,,以點為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,設(shè)平面的一個法向量為,則:,據(jù)此可得平面的一個法向量為,設(shè)平面的一個法向量為,則:,據(jù)此可得平面的一個法向量為,,平面與平面所成銳二面角的余弦值.【點睛】本題考查了線線垂直,二面角,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.19、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)將不等式化為,利用零點分段法,求得不等式的解集.(2)將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證,恒成立,由的最小值為,得到只要證,即證,利用絕對值不等式和基本不等式,證得上式成立.【詳解】(1)∵,∴,即當(dāng)時,不等式化為,∴當(dāng)時,不等式化為,此時無解當(dāng)時,不等式化為,∴綜上,原不等式的解集為(2)要證,恒成立即證,恒成立∵的最小值為-2,∴只需證,即證又∴成立,∴原題得證【點睛】本題考查絕對值不等式的性質(zhì)、解法,基本不等式等知識;考查推理論證能力、運算求解能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化,分類與整合思想.20、(1)或;(2)見解析【解析】
(1)根據(jù),利用零點分段法解不等式,或作出函數(shù)的圖像,利用函數(shù)的圖像解不等式;(2)由(1)作出的函數(shù)圖像求出的最小值為,可知,代入中,然后給等式兩邊同乘以,再將寫成后,化簡變形,再用均值不等式可證明.【詳解】(1)解法一:1°時,,即,解得;2°時,,即,解得;3°時,,即,解得.綜上可得,不等式的解集為或.解法二:由作出圖象如下:由圖象可得不等式的解集為或.(2)由所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,正實數(shù)滿足,則,即,(當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號)故,得證.【點睛】此題考查了絕對值不等式的解法,絕對值不等式的性質(zhì)和均值不等式的運用,考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.21、(1);(2)是,定點坐標(biāo)為或【解析】
(1)根據(jù)相切得到,根據(jù)離心率得到,得到橢圓方程.(2)設(shè)直線的方程為,點、的坐標(biāo)分別為,,聯(lián)立方程得到,,計算點的坐標(biāo)
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