高考數(shù)學B版真題及模擬：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)A組

自主命題·北京卷題組1.(2017北京,8,5分)根據(jù)有關資料,圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361,而可觀測宇宙中普通

物質的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與

最接近的是(參考數(shù)據(jù):lg3≈0.48)

()A.1033

B.1053

C.1073

D.1093

答案

D設

=

=t(t>0),∴3361=t·1080,∴361lg3=lgt+80,∴361×0.48=lgt+80,∴l(xiāng)gt=173.28-80=93.28,∴t=1093.28.故選D.2.(2011北京文,3,5分)如果lo

x<lo

y<0,那么

()A.y<x<1

B.x<y<1

C.1<x<y

D.1<y<x答案

D

lo

x<lo

y<lo

1,∵y=lo

x是(0,+∞)上的減函數(shù),∴x>y>1,故選D.3.(2015北京文,10,5分)2-3,

,log25三個數(shù)中最大的數(shù)是

.答案

log25解析∵2-3=

<1,1<

<2,log25>2,∴這三個數(shù)中最大的數(shù)為log25.4.(2012北京文,12,5分)已知函數(shù)f(x)=lgx.若f(ab)=1,則f(a2)+f(b2)=

.答案2解析∵f(x)=lgx,f(ab)=1,∴l(xiāng)g(ab)=1,則f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=2lga+2lgb=2lg(ab)=2.評析本題主要考查對數(shù)函數(shù)的運算,考查學生的運算求解能力.B組

統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點一指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.(2016課標全國Ⅲ,6,5分)已知a=

,b=

,c=2

,則

()A.b<a<c

B.a<b<cC.b<c<a

D.c<a<b答案

A因為a=

=

,c=2

=

,函數(shù)y=

在(0,+∞)上單調遞增,所以

<

,即a<c,又因為函數(shù)y=4x在R上單調遞增,所以

<

,即b<a,所以b<a<c,故選A.評析本題主要考查指數(shù)式的大小比較,屬中檔題.2.(2015江蘇,7,5分)不等式

<4的解集為

.答案{x|-1<x<2}解析不等式

<4可轉化為

<22,利用指數(shù)函數(shù)y=2x的性質可得,x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集為{x|-1<x<2}.3.(2015山東,14,5分)已知函數(shù)f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定義域和值域都是[-1,0],則a+b=

.答案-

解析①當a>1時,f(x)在[-1,0]上單調遞增,則

無解.②當0<a<1時,f(x)在[-1,0]上單調遞減,則

解得

∴a+b=-

.評析本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質及分類討論的思想.1.(2018天津,5,5分)已知a=log2e,b=ln2,c=lo

,則a,b,c的大小關系為

()A.a>b>c

B.b>a>cC.c>b>a

D.c>a>b考點二對數(shù)與對數(shù)函數(shù)答案

D本題主要考查對數(shù)的大小比較.由已知得c=log23,∵log23>log2e>1,b=ln2<1,∴c>a>b,故選D.方法總結比較對數(shù)的大?、偃舻讛?shù)為同一常數(shù),則可由對數(shù)函數(shù)的單調性直接進行判斷;若底數(shù)為同一字母,則需對底數(shù)

進行分類討論;②若底數(shù)不同,真數(shù)相同,則可以先用換底公式化為同底后,再進行比較;③若底

數(shù)與真數(shù)都不同,則常借助1,0等中間量進行比較.2.(2013浙江,3,5分)已知x,y為正實數(shù),則

()A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy

B.2lg(x+y)=2lgx·2lgyC.2lgx·lgy=2lgx+2lgy

D.2lg(xy)=2lgx·2lgy

答案

D2lg(xy)=2lgx+lgy=2lgx·2lgy,故選D.3.(2013課標全國Ⅱ,8,5分,0.678)設a=log36,b=log510,c=log714,則

()A.c>b>a

B.b>c>a

C.a>c>b

D.a>b>c答案

D由對數(shù)運算法則得a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由對數(shù)函數(shù)圖象得log32>

log52>log72,所以a>b>c,故選D.4.(2016課標全國Ⅰ,8,5分)若a>b>1,0<c<1,則

()A.ac<bc

B.abc<bacC.alogbc<blogac

D.logac<logbc答案

C解法一:由a>b>1,0<c<1,知ac>bc,A錯;∵0<c<1,∴-1<c-1<0,∴y=xc-1在x∈(0,+∞)上是減函數(shù),∴bc-1>ac-1,又ab>0,∴ab·bc-1>ab·ac-1,即abc>bac,B錯;易知y=logcx是減函數(shù),∴0>logcb>logca,∴l(xiāng)ogbc<logac,D錯;由logbc<logac<0,得-logbc>-logac>0,又a>b>1>0,∴-alogbc>-blogac>0,∴alogbc<blogac,故C正確.解法二:依題意,不妨取a=10,b=2,c=

.易驗證A、B、D均是錯誤的,只有C正確.5.(2015陜西,9,5分)設f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(

),q=f

,r=

(f(a)+f(b)),則下列關系式中正確的是

()A.q=r<p

B.q=r>pC.p=r<q

D.p=r>q答案

C由題意得p=ln

,q=ln

,r=

(lna+lnb)=ln

=p,∵0<a<b,∴

>

,∴l(xiāng)n

>ln

,∴p=r<q.

答案

D解法一:令t=2x=3y=5z,∵x,y,z為正數(shù),∴t>1,則x=log2t=

,y=log3t=

,z=log5t=

.∴2x-3y=

-

=

=

>0,∴2x>3y.又∵2x-5z=

-

=

=

<0,∴2x<5z,∴3y<2x<5z.故選D.解法二:由2x=3y=5z,可設(

)2x=(

)3y=(

)5z=t,因為x,y,z為正數(shù),所以t>1,因為

=

=

,

=6.(2017課標全國Ⅰ,11,5分)設x,y,z為正數(shù),且2x=3y=5z,則

()A.2x<3y<5z

B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x

D.3y<2x<5z

=

,所以

<

;因為

=

=

,

=

,所以

>

,所以

<

<

.分別作出y=(

)x,y=(

)x,y=(

)x的圖象,如圖.

則3y<2x<5z,故選D.評析解法一:令t=2x=3y=5z,將指數(shù)式轉化為對數(shù)式,利用作差法,結合對數(shù)運算比較2x、3y、5

z的大小,起到了事半功倍的效果.解法二:指數(shù)式比較大小一般要先將指數(shù)式轉化為同底指數(shù)式或者是同冪指數(shù)式的形式.若化

為同底指數(shù)式,直接利用指數(shù)函數(shù)的單調性比較大小即可;若化為同冪指數(shù)式,一般要作出不同

底的指數(shù)函數(shù)的圖象來比較.7.(2016浙江,12,6分)已知a>b>1.若logab+logba=

,ab=ba,則a=

,b=

.答案4;2解析令logab=t,∵a>b>1,∴0<t<1,由logab+logba=

得,t+

=

,解得t=

或t=2(舍去),即logab=

,∴b=

,又ab=ba,∴

=(

)a,即

=

,亦即

=

,解得a=4,∴b=2.評析本題考查對數(shù)式、指數(shù)式的運算,注意logab=

,先求出logab=

是解題的突破口.C組

教師專用題組1.(2014遼寧,3,5分)已知a=

,b=log2

,c=lo

,則

()A.a>b>c

B.a>c>b

C.c>a>b

D.c>b>a答案

C由指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調性易知0<

<1,log2

<log21=0,lo

>lo

=1,故選C.2.(2016四川,5,5分)某公司為激勵創(chuàng)新,計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入

研發(fā)資金130萬元,在此基礎上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的

研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)()A.2018年

B.2019年

C.2020年

D.2021年答案

B設x年后研發(fā)資金超過200萬元,則130(1+12%)x>200?1.12x>

?xlg1.12>lg

?0.05x>0.19?x>3.8,故該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是2019年.評析熟練應用對數(shù)運算法則是解題的關鍵.3.(2014四川,9,5分)已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).現(xiàn)有下列命題:①f(-x)=-f(x);②f

=2f(x);③|f(x)|≥2|x|.其中的所有正確命題的序號是

()A.①②③

B.②③

C.①③

D.①②答案

A

f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-[ln(1+x)-ln(1-x)]=-f(x),①正確.f

=ln

-ln

=ln

-ln

,∵x∈(-1,1),∴f

=2ln(1+x)-2ln(1-x)=2[ln(1+x)-ln(1-x)]=2f(x),②正確.當x∈[0,1)時,|f(x)|=ln(1+x)-ln(1-x)=ln

,2|x|=2x,令g(x)=ln

-2x,則g'(x)=

≥0,∴g(x)在[0,1)上為增函數(shù),∴g(x)≥g(0)=0,即|f(x)|≥2|x|;當x∈(-1,0)時,|f(x)|=ln(1-x)-ln(1+x)=-ln

,2|x|=-2x,令h(x)=2x-ln

,則h'(x)=

<0,∴h(x)在(-1,0)上為減函數(shù),∴h(x)>0,即|f(x)|>2|x|.∴當x∈(-1,1)時,|f(x)|≥2|x|,③正確.評析對于③|f(x)|≥2|x|,易誤認為可直接畫圖象判定.事實上利用圖象很難解決,通過分類討

論解決較為方便.4.(2015福建,14,4分)若函數(shù)f(x)=

(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),則實數(shù)a的取值范圍是

.答案(1,2]解析當x≤2時,f(x)=-x+6,f(x)在(-∞,2]上為減函數(shù),∴f(x)∈[4,+∞).當x>2時,若a∈(0,1),則f(x)

=3+logax在(2,+∞)上為減函數(shù),f(x)∈(-∞,3+loga2),顯然不滿足題意,∴a>1,此時f(x)在(2,+∞)上

為增函數(shù),f(x)∈(3+loga2,+∞),由題意可知(3+loga2,+∞)?[4,+∞),則3+loga2≥4,即loga2≥1,∴1

<a≤2.A組

2016—2018年高考模擬·基礎題組考點一指數(shù)式與對數(shù)式的大小比較1.(2018北京通州一模,4)設a=lo

,b=log3

,c=

,那么

()A.c>b>a

B.c>a>b

C.a>b>c

D.a>c>b答案

D

b=-log32<0,0<c=

<30=1,a=log36>log33=1,故選D.2.(2018北京順義二模,6)若a=log3

,b=log39.1,c=20.8,則a,b,c的大小關系為

()A.a<b<c

B.b<a<c

C.a<c<b

D.c<a<b答案

C∵a=log3

<0,b=log39.1>log39=2,0<c=20.8<21,∴a<c<b,故選C.3.(2016北京東城期末,4)已知m∈(0,1),令a=logm2,b=m2,c=2m,則a,b,c的大小關系為

()A.b<c<a

B.b<a<cC.a<b<c

D.c<a<b答案

C∵0<m<1,∴a=logm2<0,0<b=m2<1,c=2m>1,∴a<b<c,故選C.4.(2017北京朝陽期中)若a=log2.10.6,b=2.10.6,c=log0.50.6,則a,b,c的大小關系是

()A.a>b>c

B.b>c>aC.c>b>a

D.b>a>c答案

B易得a=log2.10.6<0,b=2.10.6>1,0<c=log0.50.6<1,∴b>c>a.故選B.5.(2016北京海淀一模,11)在三個數(shù)

,

,log32中,最小的數(shù)是

.答案

解析∵

=

>

,log32>log3

=log3

=

,∴這三個數(shù)中,

最小.1.(2018北京朝陽二模,6)已知函數(shù)f(x)=

則“a≤0”是“函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調遞增”的

()A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件考點二指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質答案

A解法一:證明充分性:當a≤0時,當x∈[0,+∞)時,f(x)=2x,由指數(shù)函數(shù)的性質可知,f(x)=2x在[0,+∞)上單調遞增,即充分性成立.證明必要性:如圖,令2x=x2(x≥0),則x=2或x=4,因為函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調遞增,所以a≤2或a≥4,所以a的值

不一定小于或等于0,故必要性不成立.故選A.

解法二(特殊值法):令a=-1或a=3即可選出答案.2.(2016北京海淀期中)如圖,點O為坐標原點,點A(1,1).若函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)及y=logbx(b>0,且

b≠1)的圖象與線段OA分別交于點M,N,且M,N恰好是線段OA的兩個三等分點,則a,b滿足

(

)

A.a<b<1

B.b<a<1C.b>a>1

D.a>b>1答案

A由圖象知,函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與y=logbx(b>0,且b≠1)均為減函數(shù),所以0<a<1,0<b

<1.因為點A的坐標為(1,1),所以線段OA的方程為y=x(0≤x≤1),因為函數(shù)y=ax的圖象經(jīng)過點M,

所以它的反函數(shù)y=logax的圖象也過點M,由對數(shù)函數(shù)的圖象和性質可知a<b,所以a<b<1.故選A.3.(2017北京西城一模,14)函數(shù)f(x)=2x+log2|x|的零點個數(shù)為

.答案2解析令y=2x,y=-log2|x|,在同一直角坐標系中作出函數(shù)y=2x與y=-log2|x|的圖象,如圖:

由圖象可知,函數(shù)f(x)=2x+log2|x|的零點個數(shù)為2.4.(2016北京石景山一模,13)已知函數(shù)f(x)=

且關于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一個實根,則實數(shù)a的取值范圍是

.答案(1,+∞)解析如圖,在同一直角坐標系中作出y=f(x)與y=-x+a的圖象,其中a表示直線y=-x+a在y軸上的

截距,由圖可知,當a>1時,直線y=-x+a與函數(shù)f(x)的圖象只有一個交點.

B組

2016—2018年高考模擬·綜合題組(時間:20分鐘分值:35分)一、選擇題(每題5分,共25分)1.(2018北京豐臺二模,6)設下列函數(shù)的定義域為(0,+∞),則值域為(0,+∞)的函數(shù)是

()A.y=ex-x

B.y=ex+lnxC.y=x-

D.y=ln(x+1)答案

D

A項,函數(shù)y=ex-x,y'=ex-1,令ex-1>0可知函數(shù)在(0,+∞)上單調遞增,所以值域為(1,+∞),

故排除A.B項,函數(shù)y=ex+lnx,當x→0時,lnx→-∞,而ex→1,所以y→-∞,可排除B;C項,函數(shù)y=x-

可看作關于

的二次函數(shù),即y=(

)2-

,易得值域為

,可排除C,故選D.解題關鍵熟練掌握指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質是解本題的關鍵.2.(2018北京一七一中學期中,2)已知集合A=

,集合B={x|lgx>0},則A∪B=

()A.{x|x>0}

B.{x|x>1}C.{x|x>1}∪{x|x<0}

D.?答案

A由

<1=

,得x>0,∴A={x|x>0},由lgx>0=lg1,得x>1,∴B={x|x>1},則A∪B={x|x>0},故選A.3.(2018北京西城期末,8)在標準溫度和大氣壓下,人體血液中氫離子的物質的量的濃度(單位

mol/L,記作[H+])和氫氧根離子的物質的量的濃度(單位mol/L,記作[OH-])的乘積等于常數(shù)10-14.

已知pH值的定義為pH=-lg[H+],健康人體血液的pH值保持在7.35~7.45之間,那么健康人體血液

中的

=

()(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.30,lg3≈0.48)A.

B.

C.

D.

答案

C本題考查對數(shù)的運算法則.由題可得pH=-lg[H+]∈(7.35,7.45),且[H+]·[OH-]=10-14,lg

=lg

=lg([H+]2·1014)=2lg[H+]+14,又因為7.35<-lg[H+]<7.45,所以-7.45<lg[H+]<-7.35,所以-0.9<2lg[H+]+14<-0.7,即-0.9<lg

<-0.7.因為lg

=-lg2≈-0.30,所以A項錯,因為lg

=-lg3≈-0.48,所以B項錯,因為lg

=-(lg2+lg3)≈-0.78,所以C項正確,因為lg

=-1,所以D項錯.故選C.4.(2016北京西城二模,7)如圖,點A,B在函數(shù)y=log2x+2的圖象上,點C在函數(shù)y=log2x的圖象上,若

△ABC為等邊三角形,且直線BC∥y軸,設點A的坐標為(m,n),則m=

()

A.2

B.3

C.

D.

答案

D由題圖可知|BC|=2,∵△ABC為等邊三角形,且直線BC∥y軸,A(m,n),∴C(m+

,n-1),有

解得m=

.故選D.思路分析先由函數(shù)圖象得到三角形的邊長,再利用等邊三角形的性質和A點坐標表示C點坐

標,將點A,C的坐標代入函數(shù)中,求出m的值.5.(2017北京海淀期中,8)如圖,A是函數(shù)f(x)=2x的圖象上的動點,過點A作直線平行于x軸,交函數(shù)g

(x)=

的圖象于點B,若函數(shù)f(x)=2x的圖象上存在點C使得△ABC為等邊三角形,則稱A為函數(shù)f(x)=2x的圖象上的好位置點.則函數(shù)f(x)=2x的圖象上的好位置點的個數(shù)為

()

A.0

B.1

C.2

D.大于2答案

B設點A,B的縱坐標為m(m>0),則A(log2m,m),B(log2m-2,m),∴|AB|=log2m-log2m+2=2,設C(x,2x),∵△ABC是等邊三角形,且|AB|=2,∴點C到直線AB的距離為

,∴|m-2x|=

,易得點C的橫坐標