高考數(shù)學(xué)B版真題及模擬：不等式及解法

不等式及其解法高考理數(shù)

(北京市專用)A組

自主命題·北京卷題組1.(2018北京,8,5分)設(shè)集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},則

()A.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(2,1)∈AB.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(2,1)?AC.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí),(2,1)?AD.當(dāng)且僅當(dāng)a≤

時(shí),(2,1)?A答案

D本題主要考查不等式組的解法,元素與集合的關(guān)系.若(2,1)∈A,則有

解得a>

.結(jié)合四個(gè)選項(xiàng),只有D說法正確.故選D.易錯(cuò)警示注意區(qū)分集合條件中的“或”與“且”.本題容易把三個(gè)不等式的中間聯(lián)結(jié)詞認(rèn)

為是“或”而錯(cuò)選A.2.(2016北京,5,5分)已知x,y∈R,且x>y>0,則

()A.

-

>0

B.sinx-siny>0C.

-

<0

D.lnx+lny>0答案

C解法一:函數(shù)y=

在(0,+∞)上為減函數(shù),∴當(dāng)x>y>0時(shí),

<

,即

-

<0,故C正確;函數(shù)y=

在(0,+∞)上為減函數(shù),∴由x>y>0?

<

?

-

<0,故A錯(cuò)誤;函數(shù)y=sinx在(0,+∞)上不單調(diào),當(dāng)x>y>0時(shí),不能比較sinx與siny的大小,故B錯(cuò)誤;x>y>0?/xy>1?/ln(xy)>0?

/lnx+lny>0,故D錯(cuò)誤.解法二:取x=1,y=

可排除A、D;取x=π,y=

知B錯(cuò)誤.故選C.思路分析解法一:利用函數(shù)的單調(diào)性來判斷,得出正確選項(xiàng).解法二:利用特值法驗(yàn)證.評(píng)析本題考查比較大小,可以借助函數(shù)的單調(diào)性解決,對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力有一定要求.3.(2017北京,13,5分)能夠說明“設(shè)a,b,c是任意實(shí)數(shù).若a>b>c,則a+b>c”是假命題的一組整數(shù)a,

b,c的值依次為

.答案-1,-2,-3(答案不唯一)解析答案不唯一,如:a=-1,b=-2,c=-3,滿足a>b>c,但不滿足a+b>c.B組

統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一不等式的概念和性質(zhì)1.(2018課標(biāo)全國Ⅲ,12,5分)設(shè)a=log0.20.3,b=log20.3,則

()A.a+b<ab<0

B.ab<a+b<0C.a+b<0<ab

D.ab<0<a+b答案

B本題考查不等式及對(duì)數(shù)運(yùn)算.解法一:∵a=log0.20.3>log0.21=0,b=log20.3<log21=0,∴ab<0,排除C.∵0<log0.20.3<log0.20.2=1,log20.3<log20.5=-1,即0<a<1,b<-1,∴a+b<0,排除D.∵

=

=

=log20.2,∴b-

=log20.3-log20.2=log2

<1,∴b<1+

?ab<a+b,排除A.故選B.解法二:易知0<a<1,b<-1,∴ab<0,a+b<0,∵

+

=log0.30.2+log0.32=log0.30.4<1,即

<1,∴a+b>ab,∴ab<a+b<0.故選B.方法總結(jié)比較代數(shù)式大小的常用方法(1)作差法:其基本步驟為作差、變形、判斷符號(hào)、得出結(jié)論.用作差法比較大小的關(guān)鍵是判斷

差的正負(fù).變形常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等方法.(2)作商法:即通過判斷商與1的大小關(guān)系,得出結(jié)論.要特別注意當(dāng)商與1的大小確定后,必須對(duì)

商式分子、分母的正負(fù)進(jìn)行判斷,這是用作商法比較大小時(shí)最容易漏掉的關(guān)鍵步驟.(3)單調(diào)性法:利用有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.(4)特值驗(yàn)證法:對(duì)于一些給出取值范圍的題目,可采用特值驗(yàn)證法比較大小.2.(2016課標(biāo)全國Ⅰ,8,5分)若a>b>1,0<c<1,則

(

)A.ac<bc

B.abc<bacC.alogbc<blogac

D.logac<logbc答案

C解法一:由a>b>1,0<c<1,知ac>bc,A錯(cuò);∵0<c<1,∴-1<c-1<0,∴y=xc-1在x∈(0,+∞)上是減函數(shù),∴bc-1>ac-1,又ab>0,∴ab·bc-1>ab·ac-1,即abc>bac,B錯(cuò);易知y=logcx是減函數(shù),∴0>logcb>logca,∴l(xiāng)ogbc<logac,D錯(cuò);由logbc<logac<0,得-logbc>-logac>0,又a>b>1>0,∴-alogbc>-blogac>0,∴alogbc<blogac,故C正確.解法二:依題意,不妨取a=10,b=2,c=

.易驗(yàn)證A、B、D均是錯(cuò)誤的,只有C正確.3.(2014四川,4,5分)若a>b>0,c<d<0,則一定有

()A.

>

B.

<

C.

>

D.

<

答案

D解法一:

?

<

<0?

<

<0?

?

>

?

<

.解法二:依題意取a=2,b=1,c=-2,d=-1,代入驗(yàn)證得A、B、C均錯(cuò),只有D正確.評(píng)析本題考查不等式的基本性質(zhì),由c<d<0轉(zhuǎn)化出

與

的大小關(guān)系時(shí)易出錯(cuò).當(dāng)然,本題用特值法驗(yàn)證較易排除錯(cuò)誤選項(xiàng).4.(2014山東,5,5分)已知實(shí)數(shù)x,y滿足ax<ay(0<a<1),則下列關(guān)系式恒成立的是

()A.

>

B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>siny

D.x3>y3

答案

D∵ax<ay,0<a<1,∴x>y,∴x3>y3.1.(2013廣東,9,5分)不等式x2+x-2<0的解集為

.考點(diǎn)二不等式的解法答案{x|-2<x<1}解析

由x2+x-2<0得(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1,故不等式的解集為{x|-2<x<1}.2.(2013江蘇,11,5分)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-4x,則不等式f(x)>x的解集

用區(qū)間表示為

.答案(-5,0)∪(5,+∞)解析∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(0)=0.當(dāng)x<0時(shí),-x>0,f(-x)=x2+4x.又f(x)為奇函數(shù),即f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x2-4x(x<0),∴f(x)=

(1)當(dāng)x>0時(shí),由f(x)>x得x2-4x>x,解得x>5;(2)當(dāng)x=0時(shí),f(x)>x無解;(3)當(dāng)x<0時(shí),由f(x)>x得-x2-4x>x,解得-5<x<0.綜上得不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為(-5,0)∪(5,+∞).評(píng)析本題考查函數(shù)的性質(zhì)、求函數(shù)解析式及解不等式等知識(shí),考查學(xué)生的分類意識(shí)與運(yùn)算

求解能力.C組

教師專用題組1.(2016浙江,8,5分)已知實(shí)數(shù)a,b,c.

()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,則a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,則a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,則a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,則a2+b2+c2<100答案

D利用特值法驗(yàn)證.令a=3,b=3,c=-11.5,排除A;令a=4,b=-15.5,c=0,排除B;令a=11,b=-10.

5,c=0,排除C,故選D.2.(2013陜西,10,5分)設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù),則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,有

()A.[-x]=-[x]

B.[2x]=2[x]C.[x+y]≤[x]+[y]

D.[x-y]≤[x]-[y]答案

D

A不成立,如[-π]=-4,-[π]=-3;B不成立,如x=1.6時(shí),[2x]=3,2[x]=2;C不成立,如x=y=1.6,則

[x+y]=3,[x]+[y]=2.由排除法知選D.3.(2015山東,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是

()A.(-∞,4)

B.(-∞,1)C.(1,4)

D.(1,5)答案

A①當(dāng)x<1時(shí),原不等式等價(jià)于1-x-(5-x)<2,即-4<2,∴x<1.②當(dāng)1≤x≤5時(shí),原不等式等價(jià)于x-1-(5-x)<2,即x<4,∴1≤x<4.③當(dāng)x>5時(shí),原不等式等價(jià)于x-1-(x-5)<2,即4<2,無解.綜合①②③知x<4.4.(2014浙江,6,5分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,則

()A.c≤3

B.3<c≤6C.6<c≤9

D.c>9答案

C由

得

解得

則有f(-1)=c-6,由0<f(-1)≤3,得6<c≤9.5.(2014課標(biāo)Ⅰ,9,5分,0.70)不等式組

的解集記為D.有下面四個(gè)命題:p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命題是

()A.p2,p3

B.p1,p2C.p1,p4

D.p1,p3

答案

B設(shè)x+2y=m(x+y)+n(x-2y),則

解得

∵

∴

(x+y)≥

,-

(x-2y)≥-

,∴x+2y=

(x+y)-

(x-2y)≥0.故命題p1,p2正確,p3,p4錯(cuò)誤.故選B.6.(2017山東,7,5分)若a>b>0,且ab=1,則下列不等式成立的是

()A.a+

<

<log2(a+b)

B.

<log2(a+b)<a+

C.a+

<log2(a+b)<

D.log2(a+b)<a+

<

答案

B本題主要考查利用不等式的性質(zhì)比較大小.特值法:令a=2,b=

,可排除A,C,D.故選B.解題反思比較兩數(shù)(代數(shù)式)大小的常用方法:①作差法;②作商法;③單調(diào)性法,適用于指數(shù)

式、對(duì)數(shù)式等的大小比較;④中間值法,常用的中間值有0,1和-1等;⑤特值法,此方法可在選擇

題中使用.7.(2013四川,14,5分)已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-4x.那么,不等式f(x+2)<5

的解集是

.答案(-7,3)解析∵f(x)是偶函數(shù),∴f(x)=f(|x|).又x≥0時(shí),f(x)=x2-4x,∴不等式f(x+2)<5?f(|x+2|)<5?|x+2|2-4|x+2|<5?(|x+2|-5)(|x+2|+1)<0?|x+2|-5<0?|x+2|<5?-5<x+2<5?-7<x<3.故解集為(-7,3).評(píng)析本題綜合考查函數(shù)的奇偶性以及不等式等知識(shí),考查靈活應(yīng)用知識(shí)的能力及轉(zhuǎn)化與化

歸思想.A組

2016—2018年高考模擬·基礎(chǔ)題組(時(shí)間:10分鐘分值:20分)選擇題(每題5分,共20分)1.(2018北京東城一模,3)已知a,b∈R,且a>b,則下列不等式一定成立的是

()A.a2-b2>0

B.cosa-cosb>0C.

-

<0

D.e-a-e-b<0答案

D∵a>b,∴-a<-b.由y=ex在R上單調(diào)遞增可知,e-a<e-b,∴e-a-e-b<0,故選D.2.(2018北京海淀二模,3)已知x>y>0,則

()A.

>

B.

>

C.cosx>cosy

D.ln(x+1)>ln(y+1)答案

D

f(x)=

在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故A錯(cuò)誤;f(x)=

在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故B錯(cuò)誤;f(x)=cosx在(0,+∞)上不單調(diào),故C錯(cuò)誤;f(x)=ln(x+1)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,故D正確,故選D.3.(2017北京豐臺(tái)期末,2)已知a>b>0,則下列不等式一定成立的是

()A.a2<ab

B.

>

C.|a|<|b|

D.

<

答案

D∵a>b>0,∴

<

.故選D.評(píng)析本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì).4.(2017北京東城期末,5)已知x,y∈R,且x>y>0,則

()A.tanx-tany>0

B.xsinx-ysiny>0C.lnx+lny>0

D.2x-2y>0答案

D對(duì)于A,當(dāng)x=

,y=

時(shí),tanx=tan

=-

,tany=tan

=

,A項(xiàng)顯然不成立;對(duì)于B,當(dāng)x=π,y=

時(shí),xsinx-ysiny=πsinπ-

sin

=-

,B項(xiàng)顯然不成立;對(duì)于C,由lnx+lny>0,即ln(xy)>ln1,可得xy>1,而由x>y>0,不一定得到xy大于1,C項(xiàng)顯然不成立.

故選D.B組

2016—2018年高考模擬·綜合題組(時(shí)間:12分鐘分值:20分)一、選擇題(每題5分,共15分)1.(2018北京通州摸底,6)已知a,b∈R,a>b>0,則下列不等式一定成立的是

()A.

>

B.tana>tanbC.|log2a|>|log2b|

D.a·2-b>b·2-a

答案

D由不等式的性質(zhì)知,若a>b>0,則

<

,故A錯(cuò)誤;若a=

,b=

,則tana<tanb,故B錯(cuò)誤;令a=2,b=

,知C錯(cuò)誤;由不等式的性質(zhì)易知D正確.2.(2018北京石景山一模,7)設(shè)a,b∈R,則“a>b”是“a|a|>b|b|”的

()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案

C解法一:若a>b,①當(dāng)a>b≥0時(shí),不等式a|a|>b|b|等價(jià)于a·a>b·b,此時(shí)成立.②當(dāng)0>a>b時(shí),不等式a|a|>b|b|等價(jià)于-a·a>-b·b,即a2<b2,此時(shí)成立.③當(dāng)a≥0>b時(shí),不等式a|a|>b|b|等價(jià)于a·a>-b·b,即a2>-b2,此時(shí)成立.故充分性成立.若a|a|>b|b|,①當(dāng)a>0,b>0時(shí),a|a|>b|b|去掉絕對(duì)值易得,(a-b)(a+b)>0,因?yàn)閍+b>0,所以a-b>0,即a>b.②當(dāng)a>0,b<0時(shí),a|a|>b|b|去掉絕對(duì)值易得,a2+b2>0,此時(shí)a>b.③當(dāng)a<0,b<0時(shí),a|a|>b|b|去掉絕對(duì)值易得,(a-b)(a+b)<0,因?yàn)閍+b<0,所以a-b>0,即a>b.故必要性

成立.綜上,“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要條件,故選C.解法二:構(gòu)造函數(shù)f(x)=x|x|,則f(x)在R上為奇函數(shù),f(x)=

∴f(x)在R上單調(diào)遞增,∴a>b的充要條件為f(a)>f(b),即a|a|>b|b|.故選C.解后反思解法一:根據(jù)不等式的性質(zhì),結(jié)合充要條件的判斷方法和步驟,細(xì)心思考和計(jì)算便可

得到答案.解法二:從構(gòu)造函數(shù)的角度出發(fā),避免了對(duì)不等式的討論,方法更加精煉,注意體會(huì).3.(2017北京海淀二模,8)已知兩個(gè)半徑不等的圓盤疊放在一起(有一軸穿過它們的圓心),兩圓

盤上分別有互相垂直的兩條直徑將其分為四個(gè)區(qū)域,小圓盤上所寫的實(shí)數(shù)分別記為x1,x2,x3,x4,

大圓盤上所寫的實(shí)數(shù)分別記為y1,y2,y3,y4,如圖所示.將小圓盤逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)i(i=1,2,3,4)次,每次轉(zhuǎn)動(dòng)

90°,記Ti(i=1,2,3,4)為轉(zhuǎn)動(dòng)i次后各區(qū)域內(nèi)兩數(shù)乘積之和