函數(shù)值域求法總結(jié)及練習(xí)題

PAGE第3頁共4頁函數(shù)值域求法1．重難點(diǎn)歸納．(1)求函數(shù)的值域．此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖像法、換元法、不等式法等無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域．(2)函數(shù)的綜合性題目．此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識(shí)相結(jié)合的題目此類問題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強(qiáng)的運(yùn)算能力在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會(huì)成為熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并可以逐漸加強(qiáng)．(3)運(yùn)用函數(shù)的值域解決實(shí)際問題．2．值域的概念和常見函數(shù)的值域．函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則，不論采用什么方法球函數(shù)的值域均應(yīng)考慮其定義域．常見函數(shù)的值域：一次函數(shù)的值域?yàn)镽．二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)的值域?yàn)椋幢壤瘮?shù)的值域?yàn)椋笖?shù)函數(shù)的值域?yàn)椋畬?duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽．正，余弦函數(shù)的值域?yàn)?，正，余切函?shù)的值域?yàn)镽．3．求函數(shù)值域（最值）的常用方法．一、觀察法（根據(jù)函數(shù)圖象、性質(zhì)能較容易得出值域(最值)的簡單函數(shù)）1、求的值域．2、求函數(shù)的值域．二、配方法（當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí)，可利用配方法求值域）1、求函數(shù)的值域．2、若，試求的最大值。三、反表示法（分子、分母只含有一次項(xiàng)的函數(shù)，也可用于其它易反解出自變量的函數(shù)類型）對(duì)于存在反函數(shù)且易于求得其反函數(shù)的函數(shù)，可以利用“原函數(shù)的定義域和值域分別為其反函數(shù)的值域和定義域”這一性質(zhì)，先求出其反函數(shù)，進(jìn)而通過求其反函數(shù)的定義域的方法求原函數(shù)的值域。1、求函數(shù)的值域．2、求函數(shù)的值域．四、判別式法（分子、分母中含有二次項(xiàng)的函數(shù)類型，此函數(shù)經(jīng)過變形后可以化為的形式，再利用判別式加以判斷）1、求函數(shù)的值域．解：由于本題的分子、分母均為關(guān)于x的二次形式，因此可以考慮使用判別式法，將原函數(shù)變形為：整理得：當(dāng)時(shí)，上式可以看成關(guān)于的二次方程，該方程的范圍應(yīng)該滿足，即此時(shí)方程有實(shí)根即△，△．注意：判別式法解出值域后一定要將端點(diǎn)值（本題是）代回方程檢驗(yàn)．將分別代入檢驗(yàn)得不符合方程，所以．2、求函數(shù)的值域．五、換元法（通過簡單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是無理函數(shù)、三角函數(shù)（用三角代換）等）1、求函數(shù)的值域．解：由于題中含有不便于計(jì)算，但如果令：注意從而得：變形得即：．注意：在使用換元法換元時(shí)一定要注意新變量的范圍，否則將會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤．六、數(shù)形結(jié)合法（對(duì)于一些能夠準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖像的函數(shù)來說，可以先畫出其函數(shù)圖像，然后利用函數(shù)圖像求其值域）1、求函數(shù)的值域。分析：此題首先是如何去掉絕對(duì)值，將其做成一個(gè)分段函數(shù)．在對(duì)應(yīng)的區(qū)間內(nèi)，畫出此函數(shù)的圖像，如圖1所示，易得出函數(shù)的值域?yàn)椋?、不等式?、求函數(shù)的值域．解答：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．注意：在使用此法時(shí)一定要注意的前提條件是a＞0，b＞0，且能取到a＝b．八、部分分式法（分離常數(shù)法）（分式且分子、分母中有相似的項(xiàng)，通過該方法可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為為(常數(shù))的形式）1、求函數(shù)的值域．解答：觀察分子、分母中均含有項(xiàng)，可利用部分分式法；則有．不妨令：從而．注意：在本題中應(yīng)排除，因?yàn)樽鳛榉帜浮Ｋ怨?、如對(duì)于函數(shù)，利用恒等變形，得到：，容易觀察得出此函數(shù)的值域?yàn)椋?、單調(diào)性法（利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域）練習(xí)1．求下列函數(shù)的值域①．②．③y＝．④．⑤．