高中數(shù)學(xué) 數(shù)列方法總結(jié)及練習(xí)題

PAGEPAGE4數(shù)列求和的方法1、公式法：①等差數(shù)列求和公式：②等比數(shù)列求和公式：常見(jiàn)的數(shù)列的前n項(xiàng)和：，1+3+5+……+(2n-1)=，等.2、倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和。這一種求和的方法稱(chēng)為倒序相加法.例1、求值：例2、設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知，且構(gòu)成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．令求數(shù)列的前項(xiàng)和例2：已知，求的前n項(xiàng)和.2已知，求的前n項(xiàng)和.3、錯(cuò)位相減法：類(lèi)似于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法。若數(shù)列各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得到，即數(shù)列是一個(gè)“差·比”數(shù)列，則采用錯(cuò)位相減法.例2、已知，求數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn.小結(jié)：錯(cuò)位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比；②將兩個(gè)等式相減；③利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求和.例3、求和：求和：3.求數(shù)列，，，…，，…的前n項(xiàng)和S3.求數(shù)列前n項(xiàng)的和.例4、設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，（Ⅰ）求，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．4、裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱(chēng)為裂項(xiàng)相消法。適用于類(lèi)似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無(wú)理數(shù)列等。用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見(jiàn)的裂項(xiàng)方法：（1），特別地當(dāng)時(shí)，（2），特別地當(dāng)時(shí)例1、數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求它的前n項(xiàng)和例2.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為求它的前n項(xiàng)的和.在數(shù)列{an}中，，又，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.5、分組求和法：有一類(lèi)數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例4、求和：解：例2、求和：例3：求數(shù)列，的前項(xiàng)和．鞏固訓(xùn)練設(shè)為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知S7=7,S15=75.記Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求Tn.2.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，求它的前n項(xiàng)和.已知數(shù)列答案：為等比數(shù)列，∴應(yīng)運(yùn)用錯(cuò)位求和方法：18.設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…．（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通項(xiàng)公式。解：(Ⅰ)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝EQ\f(1,2)．當(dāng)n＝2時(shí)，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－EQ\f(1,2)，于是(a2－EQ\f(1,2))2－a2(a2－EQ\f(1,2))－a2＝0，解得a1＝EQ\f(1,6)．(Ⅱ)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由(Ⅰ)知S1＝a1＝EQ\f(1,2)，S2＝a1＋a2＝EQ\f(1,2)＋EQ\f(1,6)＝EQ\f(2,3)．由①可得S3＝EQ\f(3,4)．由此猜想Sn＝EQ\f(n,n＋1)，n＝1，2，3，…．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．(i)n＝1時(shí)已知結(jié)論成立．(ii)假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即Sk＝EQ\f(k,k＋1)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由①得Sk＋1＝EQ\f(1,2－S\S\do(k))，即Sk＋1＝EQ\f(k＋1,k＋2)，故n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立．綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝EQ\f(n,n＋1)對(duì)所有正整數(shù)n都成立．于是當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝EQ\f(n,n＋1)－EQ\f(n－1,n)＝EQ\f(1,n(n＋1))，又n＝1時(shí)，a1＝EQ\f(1,2)＝EQ\f(1,1×2)，所以｛an｝的通項(xiàng)公式an＝EQ\f(n,n＋1)，n＝1，2，3，…．設(shè)（1）求的反函數(shù)（2）若（3）若答案：（1）（2）是公差為9的等差數(shù)列，（3）32.已知數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和，（I）求之間的關(guān)系式，并求的通項(xiàng)公式；（II）求證32.（I）①，而②，①—②得的等差數(shù)列，（II）34．已知數(shù)列{}滿足：的前n項(xiàng)和.答案．當(dāng)而①①②，①－②得36．?dāng)?shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿足 （I）求與的關(guān)系式，并求{}的通項(xiàng)公式； （II）求和36．（I）（II）41設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列．（1）求a1的值；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：（1）相減得：成等差數(shù)列（2）得對(duì)均成立得：22、已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）若數(shù)列滿足，證明：是等差數(shù)列；（I）： 是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。 即 （II）證法一： ① ② ②－①，得 即=3\*GB3③ =4\*GB3④ ④－③，得 即 是等差數(shù)列。設(shè)｛an｝為等差數(shù)列，Sn為｛an｝的前n項(xiàng)和，S7＝7，S15＝75，已知Tn為數(shù)列｛eq\f(Sn,n)｝的前n項(xiàng)數(shù)，求Tn．12.解：設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d，則Sn＝na1＋eq\f(1,2)n（n－1）d．∵S7＝7，S15＝75，∴eq\b\lc\{(\a\vs2(7a1＋21d＝7,15a1＋105d＝75))，∴eq\b\lc\{(\a\vs2(a1＝－2,d＝1))∴eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(1,2)·（n－1）d＝－2＋eq\f(1,2)·（n－1）∴eq\f(Sn+1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(1,2)∴數(shù)列｛eq\f(Sn,n)｝是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為－2，公差為eq\f(1,2)，∴Tn＝n·(－2)＋eq\f(n（n－1）,2)·eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)n2－eq\f(9,4)n．14．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，．（１）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（２）求．解：（１）設(shè)數(shù)列的公差為ｄ，由題意得方程組，解得，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為，即．（２）∵，∴．∴．16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，（1）求證：是等差數(shù)列；（2）求的表達(dá)式．解：（1）證明：∵，，∴．，∴是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）知，當(dāng)（），，又∵n=1時(shí)，，∴．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=，n∈N﹡，數(shù)列{bn}滿足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.（1）求an，bn；（2）求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn.【解析】（1）由Sn=，得當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n2時(shí)，，n∈N﹡.由an=4log2bn＋3，得bn=2n-1，n∈N﹡.（2）由（1）知，n∈N﹡所以，，，n∈N﹡.32、設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，.求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解（1）當(dāng)時(shí)，。因?yàn)?，所以，求得。?）當(dāng)時(shí)，，所以①所以②②①得，所以，即，求