八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《勾股定理》單元測(cè)試卷附答案

八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《勾股定理》單元測(cè)試卷（附答案）

一、選擇題

1.若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為3cm、4cm,則該直角三角形斜邊上

的高為（）

5512

A.-cmB.—cmC.5cmD.—cm

2125

2.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,4、8、C是小正方形的頂點(diǎn)，則上4BC的

度數(shù)為（

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.如圖，在中，/C=90。，AB=13,BC=12,則/C等于

A.4B.5C.6D.7

4.如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角

形都是直角三角形.若正方形/、B、C、。的邊長(zhǎng)分別是2、4、1、2,則最

大正方形E的面積是（

A.9B.45C.25D.47

5.如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)/對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是一1,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是1,過點(diǎn)B作BC1

48.使BC=1,連接/C,以點(diǎn)/為圓心，4。為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)。，貝1點(diǎn)。

對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是（）1

A.V5-1B.V5+1C.V5_1_I_1_?

-3-2-101123

6.我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，根據(jù)凋髀算經(jīng)》的記載，勾股

定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”.三國(guó)時(shí)

代的蔣銘祖對(duì)《蔣銘祖算經(jīng)》勾股定理作出了詳細(xì)注釋，并給出了另外一種

證明.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）

7.已知△/BC中，/C=9°。，若a+/)=14cm,c=10cm,貝1△/BC的

面積是.（）

A.36cm2B.24cm2C.48cm2D.60cm2

8.如圖，以RtzkABC的三邊為直角邊分別向外作等腰直角三角形.若=

“，則圖中陰影部分的面積為（）

9.如圖，直線上有三個(gè)正方形a,c,b,若a,匕的面積分別為1和16,則c的

A.5B.15C.17D.16

10.如圖，RtAABO中,4=90°,/。=2,/B=1.以

BC=1,OB為直角邊，構(gòu)造RtZkOBC；再以CD=1,OC為

直角邊，構(gòu)造Rt△OCD；...?按照這個(gè)規(guī)律，在Rt△?！?中，

點(diǎn)”到。/的距離是()

A2V2Bc3VTU口

?361011

二、填空題

11.平面直角坐標(biāo)系上有點(diǎn)/(—3,4),則它到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為—

12.在△ABC中，/。=90。，C—2,則a2+Z)2+c2=

13.如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正

方形拼成的，若直角三角形斜邊長(zhǎng)為2,最短的邊長(zhǎng)為1,則圖中

陰影部分的面積為.

14.在△ABC中，/B=AC=10,BC=16,點(diǎn)。在BC邊上，連接4D,若40=

V37，則線段BD的長(zhǎng)為.

15.如圖，將矩形力BCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，BC'交AD于

點(diǎn)E,AD=8,AB=4,那么S^BED=.

16.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中

最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm,則正方形/、B、C、。的面積之和

cm*2

17.如圖1,四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方

形，這個(gè)圖形是我國(guó)漢代趙爽在注解倜髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙

爽弦圖”.連接四條線段得到如圖2的新的圖案，如果圖1中的直角三角形的長(zhǎng)

直角邊為5,短直角邊為3,圖2中陰影部分的面積為S,那么S的值

18.清代數(shù)學(xué)家梅文鼎在內(nèi)股舉隅》一書中，用四個(gè)全等的直角三角形拼

出正方形/BCD的方法證明了勾股定理（如圖）.連結(jié)CE,若CE=5,BE=4,

則正方形/BCD的邊長(zhǎng)為.

◎B

19.如圖所示，在Rt△ABC中，4=90。，BD平分4BC交/C于點(diǎn)。，且

AB=4,BD=5,則點(diǎn)。到BC的距離為

B

20.我國(guó)古代稱直角三角形為“勾股形”，并且直角邊中較短邊為勾，另一

直角邊為股，斜邊為弦如圖1所示，數(shù)學(xué)家劉徽(約公元225年-公元295年)將

勾股形分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，后人借助這種分割方法

所得的圖形證明了勾股定理.如圖2所示的長(zhǎng)方形是由兩個(gè)完全相同的“勾股

形”拼接而成，若a=4,b=6,則長(zhǎng)方形的面積為.

21.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和仇斜邊長(zhǎng)為c

(1)已知a=12,6=5,求c；

(2)已知a=3,c=4,求b;

(3)已知c=10,匕=9,求a.

22.如圖，在中，ZACB=90°,BC=15,AC=20,CD是邊上的

高.求:

(1)4B的長(zhǎng)；

(2)的面積;

(3)CD的長(zhǎng).

c

23.做4個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊分別為a,b,斜邊為c,

再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，把它們按如圖的方式拼成正方形，請(qǐng)用這個(gè)圖證

明勾股定理.

24.勾股定理是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要定理之一，這個(gè)定理的驗(yàn)證方法有很多,

你能驗(yàn)證它嗎？請(qǐng)你根據(jù)所給圖形選擇一種方法畫出驗(yàn)證勾股定理的方法并

寫出驗(yàn)證過程.

圖一圖二

25.數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽

象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀，從而可以幫助我們快速解題，初中數(shù)學(xué)里的一些代

數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋.

(1)如圖1,是一個(gè)重要的乘法公式的幾何解釋，請(qǐng)你寫出這個(gè)公式

(2)如圖2,在中，ZACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,以

2△/BC的三邊長(zhǎng)向外作正方形的面積分別為Si，S2,S3,試猜想S],S2,S3

之間存在的等量關(guān)系為

(3)如圖3,如果以Rt△4BC的三邊長(zhǎng)a,dc為直徑向外作半圓，那么第(2)問

的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由.

26.(本小題8.0分)

用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個(gè)正方形.它是

美麗的弦圖.其中四個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為a,b(a<b),斜邊長(zhǎng)為c.

(1)結(jié)合圖①，求證：a*2+b2=c2；

(2)如圖②，將這四個(gè)全等的直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得到圖形

ABCDEFGH.若該圖形的周長(zhǎng)為24,OH=3,求該圖形的面積；

(3)如圖③，將八個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接成正方形PQMN,記正方形

PQMN、正方形/BCD、正方形的面積分別為Si、S2、S3,若S]+S2+S3=18,

則S2=

參考答案

1、D；2、B；3、B；4、C；5、/；6、D；7、B；

8、D；9,C；10,B；11、5；12、8；13、4一28;14、

7或9；15、10；16、49；17、16；18、舊；19、3；20、

48

21、解：(1)???直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和九斜邊長(zhǎng)為c,a=12,b=5,

；.c=Va2+b2=V122+52=13;

(2)、?直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b,斜邊長(zhǎng)為c,a=3,c=4,

:.b=Vc2—a2=V42—32=V7;

(3)???直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b,斜邊長(zhǎng)為c,c=10,b=9,

:.a=Vc2—b2=V102—92=V19.

22、解：(1)???在△/BC中，2cB=90°,BC=15,AC=20,

：-AB=y/BC2+AC2=V152+202=25.

⑵?.?在△ABC中，4cB=90°,BC=15,AC=20,

11

???S^ABC=&BC,AC=-x20x15=150.

(3)???CD是4B邊上的高.

：?S^ABC=548,CD=150.

-x25-CD=150.

2

???CD=12.

23、證明：根據(jù)題意得，(a+匕>=4x

整理，得a?+2ab+b2=2ab+c2.

所以a?+b2=c2.

24、解：則由圖形可知：(a+b)2—4x工出?=a2+爐+2ab—?

2

4x=c2,卜

整理得：。2+匕2=c2.答案不唯一.|

ab

25、解：(l)(a+b)2=a?+2ab+爐；

(2)Si+S2=S3;

(3)成立.

理由如下：設(shè)直角三角形兩條直角邊分別為a,