上海市寶山區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一模）數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

上海市寶山區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一模）數(shù)學(xué)模擬試題考生注意：1．本試卷共21題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．本試卷包括試題卷和答題紙兩部分，答題紙另頁(yè)，正反面；3．在本試題卷上答題無(wú)效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題；4．可使用符合規(guī)定的計(jì)算器答題．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分），要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得分，否則一律得零分．1．函數(shù)的定義域是.2．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若則4．設(shè)，則方程的解集為5．在一次為期天的博覽會(huì)上，主辦方統(tǒng)計(jì)了每天的參觀人數(shù)（單位：千人），得到樣本的莖葉圖（如下圖），則該樣本的第百分位數(shù)是6．設(shè)為常數(shù)，若，則函數(shù)的圖象必定不經(jīng)過(guò)第象限7．設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為．8．若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，則的值為；9．如圖，在圓錐中，為底面圓的直徑，，點(diǎn)在底面圓周上，且.若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為10．隨著我國(guó)國(guó)民教育水平的提高，越來(lái)越多的有志青年報(bào)考研究生.現(xiàn)階段，我國(guó)研究生入學(xué)考試科目為思政、外語(yǔ)和專業(yè)課三門，錄取工作將這樣進(jìn)行：在每門課均及格（分）的考生中，按總分進(jìn)行排序，擇優(yōu)錄取.振華同學(xué)剛剛完成報(bào)考，尚有11周復(fù)習(xí)時(shí)間，下表是他每門課的復(fù)習(xí)時(shí)間和預(yù)計(jì)得分.設(shè)思政、外語(yǔ)和專業(yè)課分配到的周數(shù)分別為，則自然數(shù)數(shù)組時(shí)，振華被錄取的可能性最大.科目周數(shù)012345678910思政2040556572788082838485外語(yǔ)3045535862656870727475專業(yè)課507085909395969696969611．已知函數(shù)，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則12．設(shè)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13～14題每題4分，第15～16題每題5分），每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)論代號(hào)涂黑，選對(duì)得相應(yīng)滿分，否則一律得零分.13．“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件14．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)可能相同B．一組數(shù)據(jù)中比中位數(shù)大的數(shù)和比中位數(shù)小的數(shù)一樣多C．平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量D．極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差都是描述一組數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計(jì)量15．已知是復(fù)數(shù)，是其共軛復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A． B．若，則的最大值為C．若，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限 D．若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則16．已知集合是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若，則當(dāng)且僅當(dāng)其中且，或其中且.現(xiàn)有如下兩個(gè)①；②集合.則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．①是真命題，②是真命題； B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題； D．①是假命題，②是假命題.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對(duì)應(yīng)的題號(hào)）內(nèi)寫出必要的步驟．17．一個(gè)盒子中裝有張卡片，卡片上分別寫有數(shù)字、、、．現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取卡片．(1)若一次抽取張卡片，事件表示“張卡片上數(shù)字之和大于”，求；(2)若第一次抽取張卡片，放回后再抽取張卡片，事件表示“兩次抽取的卡片上數(shù)字之和大于”，求；(3)若一次抽取張卡片，事件表示“張卡片上數(shù)字之和是的倍數(shù)”，事件表示“張卡片上數(shù)字之積是的倍數(shù)”.驗(yàn)證、是獨(dú)立的．18．在中，角的對(duì)邊分別為.(1)若，求角的大??；(2)若邊上的高等于，求的最大值.19．如圖，在直三棱柱中，，，且分別是的中點(diǎn).(1)證明：；(2)求三棱錐的體積；(3)求直線與平面所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）20．以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形的面積；(3)過(guò)圓上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上）作橢圓的兩條切線.記的斜率分別為，求證.21．已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)，①若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并寫出函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，分別為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1．【分析】利用真數(shù)大于零列不等式求解即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得，即函數(shù)的定義域是，故答案為.本題主要考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.2．【分析】利用平面向量的數(shù)量積與向量垂直的關(guān)系，結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，，所以，解?故1.3．【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得答案.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，所以，故8.4．【分析】分區(qū)間討論，去掉絕對(duì)值號(hào)即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，原方程可得，解得，又，故方程的解為；當(dāng)時(shí)，原方程可得，解得，故無(wú)解；當(dāng)時(shí)，原方程可得，解得；當(dāng)時(shí)，原方程可得，解得，所以.綜上，方程的解集為.故5．【分析】求解個(gè)數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)即第項(xiàng)與第項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).【詳解】，由莖葉圖知從小到大排列第項(xiàng)數(shù)據(jù)為，第項(xiàng)數(shù)據(jù)為，則該樣本的第百分位數(shù)是與的平均數(shù)，即，故答案為.6．二【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象的平移可得.【詳解】已知,則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，過(guò)定點(diǎn)，且，函數(shù)的圖象是由函數(shù)函數(shù)向下平移個(gè)單位，作出函數(shù)的圖象，可知圖象必定不經(jīng)過(guò)第二象限.故二.7．【分析】根據(jù)已知條件及分段函數(shù)分段處理的原則即可求解.【詳解】由題意知，；當(dāng)時(shí)，有，解得(舍去)；當(dāng)時(shí)，有，解得(舍去)或．所以實(shí)數(shù)的值是：．故答案為.8．-8【分析】把展開(kāi)求得的系數(shù)，再結(jié)合已知條件求得的值．【詳解】，且有，，故．本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】將三角形和三角形展開(kāi)在同一個(gè)平面，然后利用余弦定理求得正確答案.【詳解】連接，依題意平面，而平面，所以，，是的中點(diǎn)，則，由于，所以，則三角形是等邊三角形，三角形是等腰直角三角形，將三角形和三角形展開(kāi)在同一個(gè)平面，如下圖所示，連接，交于，在三角形中，由余弦定理得，所以的周長(zhǎng)最小值為.故10．【分析】根據(jù)題意，分別保證各科及格，再由得分效益最大求解.【詳解】首先保證各學(xué)科均及格，則思政、外語(yǔ)、專業(yè)課分別需要3周，4周，2周，還有剩余復(fù)習(xí)時(shí)間3周，剩余時(shí)間復(fù)習(xí)一周思政可提高7分，復(fù)習(xí)外語(yǔ)可提高3分，復(fù)習(xí)專業(yè)課可提高15分，故先安排一周復(fù)習(xí)專業(yè)課，剩余2周，若再?gòu)?fù)習(xí)專業(yè)課一周可提高5分，從得分效益來(lái)看，先安排一周復(fù)習(xí)思政，剩一周再?gòu)?fù)習(xí)思政可提高6分，故安排復(fù)習(xí)思政，綜上，安排5周思政復(fù)習(xí)，4周外語(yǔ)復(fù)習(xí)，2周專業(yè)課復(fù)習(xí)，總分最高，故11．【分析】利用倒序相加法，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性以及等比數(shù)列的性質(zhì)即可求得正確答案.【詳解】函數(shù)，可看成向左平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到,因?yàn)榈膶?duì)稱中心為，所以的對(duì)稱中心為，所以，因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列滿足，所以，所以，所以，①，②，則①②相加得：即，所以.故答案為.12．【分析】通過(guò)轉(zhuǎn)化可得的最小值為到距離平方的最小值，利用導(dǎo)數(shù)求出切線即可得．【詳解】由題可設(shè)，，則則即，即的最小值為到距離平方的最小值，其中點(diǎn)在曲線上，在直線上，的最小值為在曲線上與直線平行的切線的切點(diǎn)到直線的距離，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)榍€導(dǎo)數(shù)，則，解得，所以切點(diǎn)為，所以，所以.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到距離平方的最小值，從而結(jié)合導(dǎo)數(shù)的意義即可得解.13．A【分析】根據(jù)不等式利用充分條件與必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論.【詳解】可得，則充分性成立，得出或，則必要性不成立，則“”是“”的充分非必要條件，故選：A.14．B【分析】A選項(xiàng)，可舉出實(shí)例；B選項(xiàng)，可舉出反例；CD選項(xiàng)，根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)，極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義進(jìn)行判斷.【詳解】A選項(xiàng)，例如，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)相同，均為2，A正確；B選項(xiàng)，例如，中位數(shù)為2，這組數(shù)據(jù)中比中位數(shù)大的數(shù)只有1個(gè)，比中位數(shù)小的數(shù)有2個(gè)，兩者不一樣多，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，C正確；D選項(xiàng)，極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差都是描述一組數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計(jì)量，D正確.故選：B15．B【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式計(jì)算判斷A；利用復(fù)數(shù)的幾何意義判斷B；求出復(fù)數(shù)判斷C；利用復(fù)數(shù)相等求出判斷D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由知，在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，可看作該單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，因?yàn)閳A心到的距離為，則該單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大值為，B正確；對(duì)于C，，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，依題意，，整理得，而，因此，解得，D錯(cuò)誤．故選：B.16．C【分析】根據(jù)集合的定義即可判斷①是假命題，根據(jù)集合的定義先判斷，，再由，有，，且，所以，可判斷②是真命題.【詳解】因?yàn)槿?，則當(dāng)且僅當(dāng)其中且，或其中且，且集合是由某些正整數(shù)組成的集合，所以，，因?yàn)椋瑵M足其中且，所以，因?yàn)?，且，，所以，故①是假命題；記，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，，所以；下面討論元素與集合的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，所以，當(dāng)時(shí)，，，，所以，當(dāng)時(shí)，，，，所以，依次類推，當(dāng)時(shí)，，，，所以，下面討論時(shí)，集合中元素與集合的關(guān)系，因?yàn)椋?，，且，所以，綜上所述，，有，即，故②是真命題.故選：C.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于判斷，，，，再根據(jù)集合的定義求解.17．(1)(2)(3)事件與事件是獨(dú)立【分析】（1）利用古典概型的概率求解；（2）利用古典概型的概率求解；

（3）利用古典概型的概率分別求得，，判斷.【詳解】（1）解：若一次抽取張卡片，共包含、、、共個(gè)基本事件.其中事件包含個(gè)基本事件

所以；（2）若第一次抽取張卡片，放回后再抽取張卡片，共包含個(gè)基本事件，其中事件包含3個(gè)基本事件

所以（3）一次抽取張卡片,共包含個(gè)基本事件，事件，所以事件，所以

當(dāng)同時(shí)發(fā)生，即張卡片上數(shù)字之和是的倍數(shù)同時(shí)積是的倍數(shù)，只有一種取法，所以

因?yàn)椋?/p>

所以事件與事件是獨(dú)立的．18．(1)或(2)【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可得解；（2）利用三角形面積公式與余弦定理得到，從而將轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的表達(dá)式，進(jìn)而得解.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，又，則，所以，因?yàn)?，所以?（2）由三角形面積公式得，即，又由余弦定理，得，從而有，所以.當(dāng)，即時(shí)，有最大值，即的最大值為.19．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）結(jié)合題意先通過(guò)線線垂直得到面,進(jìn)而得到；（2）利用等體積法，轉(zhuǎn)化為求的體積即可;（3）利用上問(wèn)求出點(diǎn)到面的距離為，借助線面角的定義即可求出線面角.【詳解】（1）證明：在直三棱柱中中，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn),所以,由直三棱柱中面,所以面，因?yàn)樵诿鎯?nèi)，所以,因?yàn)樵谥?，，且是的中點(diǎn),所以,因?yàn)?且在面內(nèi)，所以面,因?yàn)樵诿鎯?nèi),所以.（2）等腰中，，從而，所以，由面，且所以，

又因?yàn)?，所以三棱錐的體積為.（3）由（2），令點(diǎn)到面的距離為，則有，中，，,從而.

所以，

設(shè)直線與平面所成角為，則,所以直線與平面所成角的大小為.20．(1)(2)面積為.(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由已知條件列方程組，結(jié)合，解出a和b，即可得橢圓的方程；（2）設(shè)，由可得軌跡方程，再求面積即可；（3）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相切，與橢圓方程聯(lián)立，利用得出的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，進(jìn)而可求出為定值.【詳解】（1）由題設(shè)知橢圓中，得由得

所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，由得化簡(jiǎn)得.

表示的是以為圓心，為半徑的圓，其面積為.（3）設(shè)，且設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相切，聯(lián)立化簡(jiǎn)得

由得

點(diǎn)在直線上，得代入上式化簡(jiǎn)得因?yàn)槭菣E圓的兩條切線，所以是上面方程的兩根由韋達(dá)定理得.

由得所以

又所以.21．(1)；(2)①單調(diào)區(qū)間見(jiàn)解析，，②.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即得.（2）①把代入，求出的導(dǎo)數(shù)，確定的解集得單調(diào)區(qū)間，結(jié)合極大值、極小值求出的范圍；②由導(dǎo)數(shù)求出，構(gòu)造函數(shù)并借助導(dǎo)數(shù)探討不等式恒成立即可.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，得，而，所以切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，①當(dāng)時(shí)，，，由，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；極大值，極小值，