福建省龍巖市一級(jí)校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1福建省龍巖市一級(jí)校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，，所以.故選：D.2.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.3.在中，為的中點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.4.要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解析】，，，所以的圖象向右平移得到的圖象.故選：A.5.若直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】設(shè)直線與曲線相切的切點(diǎn)為，由函數(shù)，可得，可得，所以，可得，解得，則，即切點(diǎn)為，將切點(diǎn)代入，可得，所以，當(dāng)時(shí)，可得.故選：B.6.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中則下列結(jié)論不正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)遞推關(guān)系，可得數(shù)列的項(xiàng)為，進(jìn)而可得數(shù)列的前13項(xiàng)分別為：，所以，，，，故ABD正確，C錯(cuò)誤，故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋瑒t，因?yàn)?，則，兩式相加可得，則，又，所以，即，代入可得，，則，即，所以，則.故選：B.8.現(xiàn)有下列不等式關(guān)系：①；②；③；④．其中成立的個(gè)數(shù)為（）A0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)，故在上單調(diào)遞減，所以①錯(cuò)誤．由于，所以單調(diào)遞增，故，所以，所以②正確．由于，所以，故，所以③正確．設(shè)，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.設(shè)，則當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)，故進(jìn)而可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，所以④正確．故選：D.二、選擇題9.下列敘述正確的是（）A.不等式的解集為B.已知，且，則C.“”是“不等式成立”的必要不充分條件D.已知集合，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A中，由不等式，解得或，所以A不正確；對(duì)于B中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以B正確；對(duì)于C中，由不等式，解得，所以“”是“不等式成立”的必要不充分條件，所以C正確；對(duì)于D中，由集合，可得集合表示奇數(shù)構(gòu)成的集合，因?yàn)?，可得，所以，所以D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.點(diǎn)為圖象的一個(gè)對(duì)稱中心C.函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)镈.若的圖象在區(qū)間上只有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，則【答案】BC【解析】，，故A錯(cuò)；，所以是的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；由得，所以，，故C正確；令，解得，所以是的對(duì)稱軸，令，解得，所以是的對(duì)稱中心，因?yàn)樵趨^(qū)間上只有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，所以，解得，故D錯(cuò).故選：BC.11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若均為奇函數(shù)，則以下結(jié)論一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】對(duì)選項(xiàng)A：為奇函數(shù)，故，則，故，即，所以不一定為0，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：令，得，即，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，故，則，所以，為奇函數(shù)，所以，故，，又，所以的周期為4．又，所以為偶函數(shù)，不一定為，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：，D正確；故選：BD.12.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為且，則下列說法正確的是（）A.長(zhǎng)度分別為的三條線段可以圍成一個(gè)內(nèi)角為的三角形B.C.D.【答案】BC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋梢詷?gòu)造邊長(zhǎng)分別為，且一個(gè)內(nèi)角為的三角形，即內(nèi)角不可能為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)BC：設(shè)，其中，則，可知，設(shè)，即，當(dāng)時(shí)，構(gòu)成等邊三角形，記作，此時(shí)，可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為等比數(shù)列，可得，在等邊中，可知邊上的高為，在，可得，利用等面積可得，整理得，故B、C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)C知：當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤．故選：BC.三、填空題13.已知函數(shù)則______．【答案】14【解析】.故答案為：14.14.已知向量，若，則______．【答案】【解析】由得，所以，故，故，故答案為：15.已知函數(shù)的圖象如圖所示，是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為，且，則______．【答案】【解析】由圖象得，設(shè)，因?yàn)?，所以，令，即，結(jié)合圖象可得，，則，又，所以，，將代入中得，由圖可知，，解得，所以.故答案為：.16.已知且，則的最小值為______．【答案】8【解析】由得，即，所以，令得所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：8.四、解答題17.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，角所對(duì)的邊分別為，若，求的取值范圍．解：（1）化簡(jiǎn)得．令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由，得．因?yàn)?，所以，得，所以．因?yàn)椋?18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為等差數(shù)列，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，其中表示不小于的最小整數(shù)，如，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和．解：（1）為等差數(shù)列，公差，所以，即，所以，上式對(duì)仍然成立，所以．（2）由題意可知，記的前項(xiàng)和為，則.19.如圖，在正三棱錐中，分別為的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形為矩形．（2）若四邊形為正方形，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，取中點(diǎn)，連接和，因?yàn)闉檎忮F，所以．又因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以，所以四邊形為矩形．?）解：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.20.中國(guó)政府一直鼓勵(lì)國(guó)內(nèi)企業(yè)加強(qiáng)自主研發(fā)和技術(shù)創(chuàng)新，并為此提供了大量的資金和政策支持．這些政策措施為國(guó)內(nèi)科技企業(yè)提供了良好的發(fā)展環(huán)境，使得它們能夠在短時(shí)間內(nèi)取得顯著的突破．現(xiàn)某企業(yè)研發(fā)出一種新產(chǎn)品，計(jì)劃生產(chǎn)投入市場(chǎng)．已知該產(chǎn)品的固定研發(fā)成本為280萬元，此外，每生產(chǎn)一臺(tái)該產(chǎn)品需另投入550元．設(shè)該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品（）萬臺(tái)并委托一家銷售公司全部售完．根據(jù)銷售合同，當(dāng)時(shí)，銷售公司按零售價(jià)支付貨款給該企業(yè)；當(dāng)時(shí)，銷售公司按批發(fā)價(jià)支付貨款給該企業(yè)．已知該企業(yè)每銷售1萬臺(tái)該產(chǎn)品的收入為萬元，滿足（1）寫出該企業(yè)的年利潤(rùn)（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（單位：萬臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式．（利潤(rùn)銷售收入固定研發(fā)成本產(chǎn)品生產(chǎn)成本）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺(tái)時(shí)，該企業(yè)的利潤(rùn)最大？求出此時(shí)的最大利潤(rùn)．解：（1）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．所以.（2）當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，的最大值為，即當(dāng)時(shí)，取得最大值4萬元，此時(shí)銷售收入遠(yuǎn)小于投入，企業(yè)虧損，所以最大利潤(rùn)一定在時(shí)取得．此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即（負(fù)值舍去）時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最大值，且最大值為1170萬元，所以當(dāng)年產(chǎn)量為30萬臺(tái)時(shí)，該企業(yè)的利潤(rùn)最大，且此時(shí)的最大利潤(rùn)為1170萬元.21.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（1）求角A的大??；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，求的余弦值．解：（1）由已知得，即．由正弦定理得．因?yàn)樵谥?，，所以．因?yàn)?，所以．?）設(shè)，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，由（1）知，，，故，，故．，，所以，所以的余弦值為．22.設(shè)函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若在區(qū)間內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；