廣西桂林、柳州、賀州、崇左四市2024屆高三上學(xué)期跨市聯(lián)合適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1廣西桂林、柳州、賀州、崇左四市2024屆高三上學(xué)期跨市聯(lián)合適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，故?fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故選：B.2.已知集合，若，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以或，若，則，此時(shí)，不滿足集合的互異性；若，則，此時(shí)，符合題意；若，則，此時(shí)，不滿足集合的互異性.綜上，.故選：C.3.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C.4 D.10【答案】A【解析】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，解得，所以.故選：A4.已知是拋物線上的兩點(diǎn)，且直線經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)，若，則（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】C【解析】.故選：C.5.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)的圖象大致如圖所示，則的極大值點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由的圖象知，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和，故的極大值點(diǎn)為.故選：D6.在四面體中，，則四面體外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，，所?又，所以，故.取的中點(diǎn)，則到四面體四個(gè)頂點(diǎn)的距離均為2，即四面體外接球的半徑為2，則四而體外接球的體積為.故選：D.7.某工廠新購(gòu)置并安裝了先進(jìn)的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)該設(shè)備過(guò)濾后排放，以減少對(duì)空氣的污染.已知過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物數(shù)量（單位：）與過(guò)濾時(shí)間（單位：）的關(guān)系為（，是正常數(shù)）.若經(jīng)過(guò)過(guò)濾后減少了的污染物，在此之后為了使得污染物減少到原來(lái)的還需要的時(shí)長(zhǎng)大約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榻?jīng)過(guò)過(guò)濾后減少了的污染物，所以，解得.當(dāng)時(shí)，，解得.故還需要大約93h.故選：8.已知，且，則必有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所?令，則，則在上為單調(diào)增函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以?則，所以，即，則A正確，B錯(cuò)誤，CD無(wú)法確定其與1的大小關(guān)系，故選：A.二、選擇題9.若點(diǎn)在圓的外部，則的取值可能為（）A. B.1 C.4 D.7【答案】BC【解析】由題設(shè)，在圓外，則，解得.故選：BC10.某地發(fā)起“尋找綠色合伙人——低碳生活知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，選取了人參與問(wèn)卷調(diào)查，將他們的成績(jī)進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），得到如圖所示的頻率分布直方圖，且成績(jī)落在的人數(shù)為10，則（）A.B.C.若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則問(wèn)卷調(diào)查成績(jī)的平均數(shù)低于70D.問(wèn)卷調(diào)查成績(jī)的80%分位數(shù)的估計(jì)值為85【答案】ABD【解析】由圖可知.，解得，則成績(jī)?cè)诘念l率為0.1，由，得，A，B正確；問(wèn)卷調(diào)查成績(jī)的平均數(shù)為，C不正確.因?yàn)椋詥?wèn)卷調(diào)查成績(jī)的分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)問(wèn)卷調(diào)查成績(jī)的分位數(shù)為，則，解得，D正確.故選：ABD.11.若數(shù)列滿足，則稱為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是“平方遞推數(shù)列” D.是“平方遞推數(shù)列”【答案】BC【解析】對(duì)A，因?yàn)槭恰捌椒竭f推數(shù)列”，所以.又，所以，則，所以不是等差數(shù)列，A不正確.對(duì)B，因?yàn)?，所以是等比?shù)列，B正確.對(duì)C，因?yàn)?，所以以是“平方遞推數(shù)列”，C正確.對(duì)D，因?yàn)?，所以不是“平方遞推數(shù)列”，D不正確.故選：BC.12.某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組甲、乙、丙三人分別構(gòu)建了如圖所示的正四棱臺(tái)①，②，③，從左往右.若上底面邊長(zhǎng)、下底面邊長(zhǎng)、高均依次遞增，記正四棱臺(tái)①，②，③的側(cè)棱與底面所成的角分別為，，，正四棱臺(tái)①，②，③的側(cè)面與底面所成的角分別為，，，則（）①②③A. B.C. D.【答案】BD【解析】作正四棱臺(tái)，連接，作點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，則在線段上，過(guò)作交于點(diǎn)，，如圖所示，由圖可知側(cè)棱與底面所成的角為，因?yàn)榈酌?，平面，所以，又因?yàn)?，且平面，平面，，所以平面，而平面，所以，所以為平面與平面的夾角，即為四棱臺(tái)側(cè)面與底面所成的角，令圖①四棱臺(tái)高為，上下底面邊長(zhǎng)分別為，則，同理可得，所以，B正確；，同理可得，所以，D正確；對(duì)于A：，同理可得，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于C：，同理可得，所以，C錯(cuò)誤，故選：BD.三、填空題13.已知向量，，若，則______.【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，即，解?故答案為：.14.一排6個(gè)座位坐了2個(gè)三口之家，若同一家人座位相鄰，則不同的坐法種數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）【答案】72【解析】由題可知，同一家人座位相鄰，將6個(gè)座位分成兩組，每組3個(gè)座位，同一家人相鄰的不同坐法種數(shù)為.故答案為：72.15.已知函數(shù)在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為______.【答案】【解析】由，得，由，得.因?yàn)樵谏嫌星覂H有2個(gè)零點(diǎn)，所以，解得.故答案為：.16.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與相交于兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的離心率為___________.【答案】【解析】如圖，記的左焦點(diǎn)為，根拈對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形.因?yàn)?，所以，所以四邊形為矩?設(shè)，則，解得或（舍去），所以.由，得，則，則的離心率為：.故答案為：.四、解答題17.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求面積的最大值.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可?又，所以.又因?yàn)椋?又，可得，故.（2）因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.又可知，所以面積的最大值為.18.如圖，在三棱錐中，平面，，，分別為，的中點(diǎn)，且，，.（1）證明：平面平面，（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以又，，平面，平面所以平面因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，則平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由，，，得，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則即令，得，.則.設(shè)平面的法向量為，則即令，得，.則.，即平面與平面夾角的余弦值為.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，由，得.當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，兩式相減得，即.故是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而.即的通項(xiàng)公式為（2）由（1）可知，則，即20.為了促進(jìn)消費(fèi)，某商場(chǎng)針對(duì)會(huì)員客戶推出會(huì)員積分兌換商品活動(dòng)：每位會(huì)員客戶可在價(jià)值80元，90元，100元的，，三種商品中選擇一種使用積分進(jìn)行兌換，每10積分可兌換1元.已知參加活動(dòng)的甲、乙兩位客戶各有1000積分，且甲兌換，，三種商品的概率分別為，，，乙兌換，，三種商品的概率分別為，，，且他們兌換何種商品相互獨(dú)立.（1）求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；（2）記為兩人兌換商品后的積分總余額，求的分布列與期望解：（1）由題可知，甲、乙兩人兌換同一種商品的概率為；（2）由題意，兌換，，三種商品所需的積分分別為800，900，1000，則取值可能為0，100，200，300，400，，，，，，則的分布列為0100200300400.21.已知橢圓：的焦距為，且.（1）求的方程；（2）A是的下頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，直線的斜率小于0，的重心為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線斜率的最大值.解：（1）由題可知，解得故的方程為；（2）設(shè)的方程為，，.聯(lián)立方程組整理得，則，得，.設(shè)，因?yàn)椋?，，所以，?dāng)，即（滿足）時(shí)，取得最大值，且最大值為.22.已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求a的值（2）若方程恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，所?由，，得曲線在處的切線方程為.因?yàn)樵撉芯€經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得.（2）令，則令，則.若，則恒成立，在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，即方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根，不符合題意.若，則由，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則.令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則.若，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程不