2023-2024學(xué)年浙江省湖州市示范初中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年浙江省湖州市示范初中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足約束條件，則的最小值為（）A．2 B．24 C．16 D．142．單位正方體ABCD-，黑、白兩螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱(chēng)為“走完一段”．白螞蟻爬地的路線(xiàn)是AA1→A1D1→‥，黑螞蟻爬行的路線(xiàn)是AB→BB1→‥，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段所在直線(xiàn)必須是異面直線(xiàn)（iN*）.設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑、白兩螞蟻的距離是（）A．1 B． C． D．03．已知函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，，若，對(duì)任意恒有，在區(qū)間上有且只有一個(gè)使，則的最大值為（）A． B． C． D．5．已知拋物線(xiàn),過(guò)拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)為兩切線(xiàn)的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)若,則直線(xiàn)與的斜率之積為（）A． B． C． D．6．展開(kāi)式中x2的系數(shù)為()A．－1280 B．4864 C．－4864 D．12807．已知雙曲線(xiàn)C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的左支交于A、B兩點(diǎn).若，則雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．8．小王因上班繁忙，來(lái)不及做午飯，所以叫了外賣(mài).假設(shè)小王和外賣(mài)小哥都在12：00~12：10之間隨機(jī)到達(dá)小王所居住的樓下，則小王在樓下等候外賣(mài)小哥的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率是（）A． B． C． D．9．若某幾何體的三視圖（單位:cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（）A．36cm3 B．48cm3 C．60cm3 D．72cm310．如圖，在中，，且，則（）A．1 B． C． D．11．已知函數(shù)滿(mǎn)足=1，則等于（）A．- B． C．- D．12．復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是A． B．的共軛復(fù)數(shù)為C．的實(shí)部與虛部之和為1 D．在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則的最小值是______.14．已知是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，過(guò)作直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，且在第一象限，若，則直線(xiàn)的斜率是_________．15．已知是偶函數(shù)，則的最小值為_(kāi)__________.16．學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類(lèi)的，，，四件參賽作品，只評(píng)一件一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下：甲說(shuō)：“或作品獲得一等獎(jiǎng)”；乙說(shuō)：“作品獲得一等獎(jiǎng)”；丙說(shuō)：“，兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”；丁說(shuō)：“作品獲得一等獎(jiǎng)”．若這四位同學(xué)中有且只有兩位說(shuō)的話(huà)是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的周長(zhǎng)是否有最大值？如果有，求出這個(gè)最大值，如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）△的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且．(1)求角的大小(2)若,△的面積,求△的周長(zhǎng)．19．（12分）設(shè)為實(shí)數(shù),已知函數(shù),．（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（2）設(shè)為實(shí)數(shù),若不等式對(duì)任意的及任意的恒成立,求的取值范圍;（3）若函數(shù)（,）有兩個(gè)相異的零點(diǎn),求的取值范圍．20．（12分）某景點(diǎn)上山共有級(jí)臺(tái)階，寓意長(zhǎng)長(zhǎng)久久．甲上臺(tái)階時(shí)，可以一步走一個(gè)臺(tái)階，也可以一步走兩個(gè)臺(tái)階，若甲每步上一個(gè)臺(tái)階的概率為，每步上兩個(gè)臺(tái)階的概率為．為了簡(jiǎn)便描述問(wèn)題，我們約定，甲從級(jí)臺(tái)階開(kāi)始向上走，一步走一個(gè)臺(tái)階記分，一步走兩個(gè)臺(tái)階記分，記甲登上第個(gè)臺(tái)階的概率為，其中，且．（1）若甲走步時(shí)所得分?jǐn)?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求甲在登山過(guò)程中，恰好登上第級(jí)臺(tái)階的概率．21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．22．（10分）在某社區(qū)舉行的2020迎春晚會(huì)上，張明和王慧夫妻倆參加該社區(qū)的“夫妻蒙眼擊鼓”游戲，每輪游戲中張明和王慧各蒙眼擊鼓一次，每個(gè)人擊中鼓則得積分100分，沒(méi)有擊中鼓則扣積分50分，最終積分以家庭為單位計(jì)分.已知張明每次擊中鼓的概率為，王慧每次擊中鼓的概率為；每輪游戲中張明和王慧擊中與否互不影響，假設(shè)張明和王慧他們家庭參加兩輪蒙眼擊鼓游戲.（1）若家庭最終積分超過(guò)200分時(shí)，這個(gè)家庭就可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī)，問(wèn)張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī)的概率是多少？（2）張明和王慧他們家庭兩輪游戲得積分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

做出滿(mǎn)足條件的可行域，根據(jù)圖形即可求解.【詳解】做出滿(mǎn)足的可行域，如下圖陰影部分，根據(jù)圖象，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，由，解得，即，所以的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

根據(jù)規(guī)則，觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過(guò)幾段后又回到起點(diǎn)，得到每爬1步回到起點(diǎn)，周期為1．計(jì)算黑螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)以及計(jì)算白螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)，即可計(jì)算出它們的距離．【詳解】由題意,白螞蟻爬行路線(xiàn)為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即過(guò)1段后又回到起點(diǎn)，可以看作以1為周期，由，白螞蟻爬完2020段后到回到C點(diǎn)；同理,黑螞蟻爬行路線(xiàn)為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，黑螞蟻爬完2020段后回到D1點(diǎn)，所以它們此時(shí)的距離為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題，考查空間想象與推理能力，屬于中等題.3、B【解析】

可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以.【詳解】在上單調(diào)遞增，且，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性比大小等知識(shí)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.4、C【解析】

根據(jù)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組，求得的表達(dá)式（用表示），根據(jù)在上有且只有一個(gè)最大值，求得的取值范圍，求得對(duì)應(yīng)的取值范圍，由為整數(shù)對(duì)的取值進(jìn)行驗(yàn)證，由此求得的最大值.【詳解】由題意知，則其中，．又在上有且只有一個(gè)最大值，所以，得，即，所以，又，因此．①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去；③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取可使成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，成立；綜上所得的最大值為．故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)和最值，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.5、A【解析】

設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過(guò)A，B的切線(xiàn)的斜率，結(jié)合，可得x1x2＝﹣1．再寫(xiě)出OA，OB所在直線(xiàn)的斜率，作積得答案．【詳解】解：設(shè)A（），B（），由拋物線(xiàn)C：x2＝1y，得，則y′．∴，，由，可得，即x1x2＝﹣1．又，，∴．故選：A．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是解題的思路，由于與切線(xiàn)有關(guān)，所以一般先設(shè)切點(diǎn)，先設(shè)A,B,,再求切線(xiàn)PA,PB方程，求點(diǎn)P坐標(biāo)，再根據(jù)得到最后求直線(xiàn)與的斜率之積.如果先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，計(jì)算量就大一些.6、A【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的公式得到具體為：化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式得到可以第一個(gè)括號(hào)里出項(xiàng)，第二個(gè)括號(hào)里出項(xiàng)，或者第一個(gè)括號(hào)里出，第二個(gè)括號(hào)里出，具體為：化簡(jiǎn)得到-1280x2故得到答案為：A.【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略：(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫(xiě)出第項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫(xiě)出第項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出值，最后求出其參數(shù).7、D【解析】

設(shè)，利用余弦定理，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，由雙曲線(xiàn)的定義可知：因此再由雙曲線(xiàn)的定義可知：，在三角形中，由余弦定理可知：，因此雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)的定義的應(yīng)用，考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8、C【解析】

設(shè)出兩人到達(dá)小王的時(shí)間，根據(jù)題意列出不等式組，利用幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣(mài)小哥到達(dá)小王所居住的樓下的時(shí)間分別為，以12：00點(diǎn)為開(kāi)始算起，則有，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如圖所示：圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域，所以小王在樓下等候外賣(mài)小哥的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率為：.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.9、B【解析】試題分析：該幾何體上面是長(zhǎng)方體，下面是四棱柱；長(zhǎng)方體的體積，四棱柱的底面是梯形，體積為，因此總的體積.考點(diǎn)：三視圖和幾何體的體積.10、C【解析】

由題可,所以將已知式子中的向量用表示，可得到的關(guān)系，再由三點(diǎn)共線(xiàn)，又得到一個(gè)關(guān)于的關(guān)系，從而可求得答案【詳解】由，則，即，所以，又共線(xiàn)，則.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查的是平面向量基本定理的有關(guān)知識(shí)，結(jié)合圖形尋找各向量間的關(guān)系，屬于中檔題.11、C【解析】

設(shè)的最小正周期為，可得，則，再根據(jù)得，又，則可求出，進(jìn)而可得.【詳解】解：設(shè)的最小正周期為，因?yàn)椋?，所以，所以，又，所以?dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，整理得，因?yàn)?，，，則所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性，考查學(xué)生分析能力和計(jì)算能力，是一道難度較大的題目.12、D【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，求得，在根據(jù)復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的概念等即可得到結(jié)論．【詳解】由題意，則，的共軛復(fù)數(shù)為，復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限，故選D．【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù),加減運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的合并同類(lèi)項(xiàng),乘法法則類(lèi)似于多項(xiàng)式乘法法則，除法運(yùn)算則先將除式寫(xiě)成分式的形式,再將分母實(shí)數(shù)化，其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、共軛為．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】

根據(jù)，利用基本不等式可求得函數(shù)最值.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號(hào)成立.時(shí)，取得最小值.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式，構(gòu)造基本不等式的形式是解題關(guān)鍵.14、【解析】

作出準(zhǔn)線(xiàn)，過(guò)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，利用拋物線(xiàn)的定義把拋物線(xiàn)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，利用平面幾何知識(shí)計(jì)算出直線(xiàn)的斜率．【詳解】設(shè)是準(zhǔn)線(xiàn)，過(guò)作于，過(guò)作于，過(guò)作于，如圖，則，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴直線(xiàn)斜率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，解題關(guān)鍵是利用拋物線(xiàn)的定義，把拋物線(xiàn)上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，用平面幾何方法求解．15、2【解析】

由偶函數(shù)性質(zhì)可得，解得，再結(jié)合基本不等式即可求解【詳解】令得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：2【點(diǎn)睛】考查函數(shù)的奇偶性、基本不等式，屬于基礎(chǔ)題16、B【解析】

首先根據(jù)“學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)四件參賽作品只評(píng)一件一等獎(jiǎng)”，故假設(shè)分別為一等獎(jiǎng)，然后判斷甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的說(shuō)法的正確性，即可得出結(jié)果．【詳解】若A為一等獎(jiǎng)，則甲、丙、丁的說(shuō)法均錯(cuò)誤，不滿(mǎn)足題意；若B為一等獎(jiǎng)，則乙、丙的說(shuō)法正確，甲、丁的說(shuō)法錯(cuò)誤，滿(mǎn)足題意；若C為一等獎(jiǎng)，則甲、丙、丁的說(shuō)法均正確，不滿(mǎn)足題意；若D為一等獎(jiǎng)，則乙、丙、丁的說(shuō)法均錯(cuò)誤，不滿(mǎn)足題意；綜上所述，故B獲得一等獎(jiǎng)．【點(diǎn)睛】本題屬于信息題，可根據(jù)題目所給信息來(lái)找出解題所需要的條件并得出答案，在做本題的時(shí)候，可以采用依次假設(shè)為一等獎(jiǎng)并通過(guò)是否滿(mǎn)足題目條件來(lái)判斷其是否正確．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）有最大值，最大值為3.【解析】

（Ⅰ）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；（Ⅱ）由正弦定理可得，則，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】（Ⅰ）由得再由正弦定理得因此，又因?yàn)?，所?（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)有最大值，且最大值為3，理由如下：由正弦定理得，所以，所以.因?yàn)?，所以，所以?dāng)即時(shí)，取到最大值2，所以的周長(zhǎng)有最大值，最大值為3.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.18、（I）；（II）．【解析】

試題分析：（I）由已知可得；（II）依題意得：的周長(zhǎng)為．試題解析：（I）∵，∴．∴，∴，∴，∴，∴．（II）依題意得：∴，∴，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為．考點(diǎn)：1、解三角形；2、三角恒等變換．19、（1）函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為．（2）（3）【解析】

（1）據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出;（2）分離參數(shù),可得對(duì)任意的及任意的恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可求出的范圍;（3）先求導(dǎo),再分類(lèi)討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性以及最值得關(guān)系即可求出的范圍【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí),因?yàn)?當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),．所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為．（2）由,得,由于,所以對(duì)任意的及任意的恒成立,由于,所以,所以對(duì)任意的恒成立,設(shè),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以．（3）由,得,其中．①若時(shí),則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意;②若時(shí),令,得．由第（2）小題,知：當(dāng)時(shí),,所以,所以,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)椋?存在,使得,即,①且當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,所以．②設(shè),,則,所以函數(shù)在單調(diào)遞增,由于,所以當(dāng)時(shí),．所以,②式中的,又由①式,得．由第（1）小題可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,即．當(dāng)時(shí),（ⅰ）由于,所以得,又因?yàn)?且函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)的圖象在上不間斷,所以函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn);（ⅱ）由于,令,設(shè),,由于時(shí),,,所以設(shè),即．由①式,得,當(dāng)時(shí),,且,同理可得函數(shù)在上也恰有一個(gè)零點(diǎn)．綜上,．【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求不等式恒成立問(wèn)題,以及考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是綜合性較強(qiáng)的題.20、見(jiàn)解析【解析】

（1）由題可得的所有可能取值為，，，，且，，，，所以的分布列為所以的數(shù)學(xué)期望．（2）由題可得，所以，又，，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（3）由（2）可得．21、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

(1)取的中點(diǎn),連接,根據(jù)中位線(xiàn)的方法證明四邊形是平行四邊形.再證明與從而證明平面,從而得到平面即可.(2)