江蘇省南京市鼓樓區(qū)2023-2024學年高一上學期期中測試數學試卷（解析版）

PAGEPAGE1江蘇省南京市鼓樓區(qū)2023-2024學年高一上學期期中測試數學試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為全集，集合，所以.故選：B.2.已知函數則（）A. B. C.35 D.53【答案】C【解析】由題意知，所以.故選：C.3.是的（）A充分且不必要條件 B.必要且不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】因為，且，所以，所以是的充要條件.故選：C.4.學校宿舍與辦公室相距.某同學有重要材料要送交給老師，從宿舍出發(fā)，先勻速跑步來到辦公室，停留，然后勻速步行返回宿含.在這個過程中，這位同學行進的速度和行走的路程都是時間的函數，則速度函數和路程函數的示意圖分別是下面四個圖象中的（）②③④A.①② B.③④ C.①④ D.②③【答案】A【解析】設行進的速度為m/min，行走的路程為Sm，則，且，由速度函數及路程函數的解析式可知，其圖象分別為①②.故選：A.5.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，因此AB錯，C表達方式錯，D正確．故選：D．6.已知函數是定義在上的偶函數，且在上單調遞減，則（）A. B.C. D.在上單調遞減【答案】B【解析】函數是定義在上的偶函數，且在上單調遞減，所以函數在上單調遞增，取，滿足條件，但，故A錯誤；由偶函數及單調性知成立，故B正確；因為函數定義域為，故無意義，故不成立，故C錯誤；取，滿足題意，但在上單調遞增，故D錯誤.故選：B.7.已知：當時，成立，若是的小數部分，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，由于，所以，故.故選：C.8.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對于，因為函數在上單調遞減，且，所以，即；對于，因為函數在上單調遞增，且，所以，即；對于，因為函數在上單調遞增，且，所以，即；綜上所述，故選：D.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合通目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.若，，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】選項A，時，左邊為正，右邊為負，錯誤；選項B，由根式的定義知正確；選項C，由冪的乘法法則知正確；選項D，由對數運算法則，一般不等于，錯誤.故選：BC．10.若，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由題，對于A，，所以A正確；對于B，，所以B正確；對于C，令滿足，但，所以C錯誤；對于D，因為，所以不同時為0，則，所以D正確.故選：ABD.11.在教材的“閱讀”材料中談到如下內容.德國數學家康托爾根據人們在計數時運用的“一一對應”思想給出了兩個集合“等勢”的概念：若兩個無限集的元素之間能建立起一一對應，則稱這兩個集合等勢.由此，下列四組無限集合中等勢的有（）A.和 B.和 C.和 D.和【答案】AC【解析】對于A，對任意，可建立到的一一對應；所以A正確；對于C，對任意時對應中的，時對應中的，可建立一一對應；所以C正確；對于，整數集與實數集，自然數集與實數集，之間都無法建立一一對應，所以錯誤.故選：AC.12.關于函數的下列四個說法中，正確的是（）A.若對一切實數成立，則是增函數B.若對一切實數成立，則C.若對一切實數成立，則的圖象關于軸對稱D.若對一切實數成立，其中且，則是奇函數或偶函數【答案】BC【解析】若，其中表示不超過的最大整數，顯然，即對一切實數成立，但不是增函數，故A錯；由可得，所以，故B正確；由可得，即，所以函數為偶函數，圖象關于y軸對稱，故C正確；若，滿足，但函數是非奇非偶函數，故D錯誤.故選：BC.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.命題“，”的否定是________________.【答案】，【解析】根據全稱命題的否定可知：命題“，”的否定是命題“，”.故答案為：，.14.函數的定義域為_____________.【答案】【解析】要使函數有意義須，所以函數的定義域為.故答案為：.15.若正數，，滿足，，則的最大值是______.【答案】【解析】由題意，所以，當且僅當時等號成立，，即的最小值是.故答案為：．16.已知函數是奇函數，不等式組的解集為，且，滿足，，則______，______.【答案】0【解析】的定義域為，又函數是奇函數，所以定義域關于對稱，從而，即，當時，，，故；，不等式組等價于，因為其解集為，是開區(qū)間，所以函數在不單調，所以；又，所以，因此，是的兩個正根，即，所以，解得，又因為，所以，即，解得或（舍）.故答案為：0.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知集合，.（1）若，求；（2）若，求的取值范圍.解：（1）因為，所以，所以.（2），若，則，所以的取值范圍為.18.（1）求值：；（2）已知，用表示式子：.解：（1）.（2），因為，所以，所以，所以.19.隨著中國經濟高速增長，旅游成了眾多家庭的重要生活方式，A，兩地景區(qū)自2010年開始，采取了不同的政策：A地提高景區(qū)門票價格到120元/人，地取消了景區(qū)門票.政策實施后，A地的游客人次近似于直線上升（線性增長），地的游客人次近似于指數增長（如圖所示）.已知：①2011年度，A地的游客人次為600萬，地的游客人次為300萬；②從2011年度開始，A地游客人次的年增加量近似為10萬人次，地游客人次的年增長率近似為20%；③平均每位游客出游一次可給當地帶來500元收入（不含門票）；（1）填空：2014年度，地的年度游客人次近似為______萬；（2）從2011年度開始，分別估計多少年后，A地，地的年度旅游收入開始超過50億元？（3）結合（2），談談你的看法.（附參考數據：，，，，，）解：（1）2014年度，地的年度游客人次為萬.（2）設從2011年度開始，估計年后，A地的年度旅游收入為（單位：萬元），則，得，令，得，解得，所以，估計21年后，A地的年度旅游收入開始超過50億元，由題意，年后，地的年度旅游收入為萬元，，，，所以，估計7年后，地的年度旅游收入開始超過50億元，或者令，得，因為，，結合圖像，所以，估計7年后，地的年度旅游收入開始超過50億元.（3）指數增長讓地的游客人次增長很快，取消門票，反而有利于促進消費，拉動經濟增長：或者，地景區(qū)的政策更有利于地方經濟的長遠發(fā)展；或者，一段時間后，地景區(qū)的收入明顯超過A地景區(qū)，不同的政策有不同的結果．20.已知，命題：，命題：函數在上存在零點.（1）若是真命題，求的取值范圍；（2）若，中有一個為真命題，另一個為假命題，求的取值范圍.解：（1）因為真命題，所以成立，解得.（2）若為真命題，則函數在上存在零點，則方程在上有解，因為，該方程在有解時兩解同號，所以方程在上有兩個正根，則，得，若為真命題，為假命題，得，若為假命題，為真命題，得，所以的取值范圍為或.21.已知函數是定義在上的奇函數，當時，.（1）求在上的取值范圍；（2）求的函數關系式；（3）設，若對于任意，都存在，使得，求正數的取值范圍.解：（1）因為的對稱軸為，所以函數在單調遞減，在單調遞增，因為，所以在上的值域為.（2）因為是定義在上的奇函數，所以；設，則，所以；又因為是定義在上的奇函數，所以，所以（3）因為，所以，所以，當時，，因為在上遞增，所以在上遞增，所以，所以，所以，所以，當時，，因為在上遞減，在上遞增，此時，因為，，所以，所以不符合題意，綜上，.22.已知函數.（1）求；（2）當時，試運用函數單調性的定義判定的單調性；（3）設，若在時有解，求的取值范圍.解：（1）因為，所以.（2