江蘇省泰州市聯(lián)盟五校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

PAGEPAGE1江蘇省泰州市聯(lián)盟五校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由拋物線(xiàn)得：焦點(diǎn)在x軸上，開(kāi)口向右，p=2，所以其準(zhǔn)線(xiàn)方程為，故選：B2.已知，，若，則實(shí)數(shù)（）A0或1 B. C.1 D.0或【答案】C【解析】因?yàn)椋?，或，又?dāng)時(shí)，不存在故舍，所以.故選：C.3.設(shè)為實(shí)數(shù)，若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，可得，解得.故選：D4.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝6，S4＝12，則S7＝（）A.30 B.36 C.42 D.48【答案】C【解析】設(shè){an}首項(xiàng)為，公差為d.因S3＝6，S4＝12，則.則.故選：C5.已知圓，過(guò)點(diǎn)（1，2）的直線(xiàn)被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.4【答案】B【解析】圓化為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)和直線(xiàn)垂直時(shí)，圓心到過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的距離最大，所求的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)根據(jù)弦長(zhǎng)公式得最小值為.故選：B.6.設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，都有，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所?故選：B.7.已知橢圓與雙曲線(xiàn)共焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨設(shè)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為，則雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為，由雙曲線(xiàn)實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，可得橢圓的長(zhǎng)半軸為，半焦距為，設(shè)橢圓與雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)為，且分別為雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為，第三象限的交點(diǎn)為，，則，可得，且兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，則在以為直徑的圓上，所以，即，所以，則雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：D8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線(xiàn)l：y＝2x－4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點(diǎn)M，使MA＝2MO，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍是（）A. B.[0,1]C. D.【答案】A【解析】設(shè)，因?yàn)閳A心在直線(xiàn)y＝2x－4上，所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1，設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A＝2MO，所以，化簡(jiǎn)得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以點(diǎn)M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上，由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|2－1|≤|CD|≤2＋1，即，由得5a2－12a＋8≥0，解得a∈R；由≤3得5a2－12a≤0，解得0≤a≤，所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知雙曲線(xiàn)，則（）A.雙曲線(xiàn)的離心率為B.雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)為C.雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為D.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為【答案】AC【解析】由雙曲線(xiàn)，可得，則，對(duì)于A中，雙曲線(xiàn)的離心率為，所以A正確；對(duì)于B中，雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)為，所以B不正確；對(duì)于C中，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以C正確；對(duì)于D中，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，所以D不正確.故選：AC.10.已知直線(xiàn)：，則（）A.直線(xiàn)的傾斜角為B.直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為C.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為2D.直線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為【答案】ACD【解析】對(duì)于A：因?yàn)橹本€(xiàn)：的斜率為，所以直線(xiàn)的傾斜角為，故A正確；對(duì)于B：令，則；令，則；所以直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，故C正確；對(duì)于D：設(shè)在直線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)上，則關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在直線(xiàn)上，則有，即，所以直線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為，故D正確；故選：ACD11.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且，則下列命題正確的是（）A. B.該數(shù)列的公差d<0C.a7=0 D.S12>0【答案】BCD【解析】由可得，，可得可得，所以等差數(shù)列的公差，故選項(xiàng)B正確.所以為正，，從第8項(xiàng)起均為負(fù).故選項(xiàng)C正確.所以，故選項(xiàng)A不正確.,故選項(xiàng)D正確.故選：BCD12.已知圓M：，以下四個(gè)命題表述正確的是（）A.若圓與圓M恰有一條公切線(xiàn)，則m=-8B.圓與圓M的公共弦所在直線(xiàn)為C直線(xiàn)與圓M恒有兩個(gè)公共點(diǎn)D.點(diǎn)P為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，直線(xiàn)AB與MP交于點(diǎn)C，若Q，則CQ的最大值為【答案】BCD【解析】由題意得：與內(nèi)切，其中圓心為，半徑為，則，解得：，A錯(cuò)誤；與相減得：，且兩圓相交，故圓與圓M的公共弦所在直線(xiàn)為，B正確；變形為，令，解得：，所以直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，由于，點(diǎn)在圓M內(nèi)，故與圓M恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，C正確；設(shè)，，由題意可知：四點(diǎn)共圓，且為直徑，故圓心為，半徑為，所以此圓的方程為，整理得，與相減得：，即為直線(xiàn)AB的方程，直線(xiàn)MP的方程為，整理得，聯(lián)立與，得到，故，由，解得：，將代入中，得，故，代入中，得到，軌跡為以為圓心，為半徑的圓（不含點(diǎn)M），所以CQ的最大值為，即，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.過(guò)點(diǎn)，且平行于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】由題意設(shè)直線(xiàn)方程為，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則，，所以直線(xiàn)方程為．故答案為：．14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以?故答案為：.15.設(shè)，為實(shí)數(shù)，已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)的橢圓與雙曲線(xiàn)有相同的焦距，則__________．【答案】【解析】將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，即橢圓的焦距為，因?yàn)楸硎倦p曲線(xiàn)，則或，當(dāng)時(shí)，雙曲線(xiàn)的焦距為；當(dāng)時(shí)，雙曲線(xiàn)的焦距為；綜上所述：.故答案為：16.若曲線(xiàn)：與曲線(xiàn)：有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________【答案】【解析】由，得，則曲線(xiàn)表示圓心為，半徑為1的圓，因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，顯然與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，表示直線(xiàn)，則兩曲線(xiàn)只有兩個(gè)交點(diǎn)，不合題意，所以，因?yàn)橹本€(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，所以要使兩曲線(xiàn)有四個(gè)不同的交點(diǎn)，只需與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且，由方程組消去，得關(guān)于的一元二次方程，再令，化簡(jiǎn)得，解得，因?yàn)?，所以，故答案為?四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知橢圓的焦點(diǎn)為，該橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（5,2）（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓上的點(diǎn)滿(mǎn)足，求y0的值.解：（1）依題意，設(shè)所求橢圓方程為其半焦距c=6.因?yàn)辄c(diǎn)P（5,2）在橢圓上，所以所以故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）由得即代入橢圓方程得：，故.18.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）當(dāng)，時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，為常數(shù).所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2），，，，.19.已知兩直線(xiàn)，（1）求直線(xiàn)和的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)有兩條，求的取值范圍；（3）若直線(xiàn)與，不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）聯(lián)立方程組，即直線(xiàn)和的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由題意知點(diǎn)在圓外，，；（3）若直線(xiàn)與，不能構(gòu)成三角形，則或或過(guò)點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，則，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意；當(dāng)過(guò)點(diǎn)P時(shí)，，故實(shí)數(shù)的值為.20.已知圓的圓心在直線(xiàn)上，且圓過(guò)點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相交于A，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)的方程.解：（1）點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)為：，兩點(diǎn)連線(xiàn)斜率為.則兩點(diǎn)連線(xiàn)中垂線(xiàn)斜率為，故這兩點(diǎn)中垂線(xiàn)方程為：.將中垂線(xiàn)方程與聯(lián)立，，即圓心坐標(biāo)為，則半徑，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)直線(xiàn)到圓心距離為d，由垂徑定理，.則.當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，方程為，到圓心距離為2，滿(mǎn)足題意；當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)，由其到圓心距離為2，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，可得.則此時(shí)，直線(xiàn)方程為.故直線(xiàn)方程為：或21.在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程，設(shè)直線(xiàn)的方程為（1）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相切，求切線(xiàn)的方程；（2）已知直線(xiàn)l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)．若是的中點(diǎn)，求直線(xiàn)l的方程；（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，過(guò)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，問(wèn)經(jīng)過(guò)的圓是否過(guò)定點(diǎn)？如果過(guò)定點(diǎn)，求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為，符合題意；當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，設(shè)為，即，由于直線(xiàn)l與圓相切，故圓心到直線(xiàn)的距離為，，即，，則直線(xiàn)l的方程為，綜上，符合條件的直線(xiàn)有2條，分別為或.（2）設(shè)，則，，解得或，即或即的斜率，則直線(xiàn)l的方程為.（3）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，由于過(guò)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，故,過(guò)P，M，C的圓即為以CP為直徑的圓，其方程為：，即由于，故令，解得或，