矩陣分析習(xí)題附答案

空題（每小題5分，共30分）1、若矩陣A=的滿秩分解為A=BC，則B=，C=。解：由初等行變換A=→→，知：B=，C=。2、矩陣A=的最小多項(xiàng)式為。解：由于知A的初等因子為（λ—1），（λ—1）2，故A的最小多項(xiàng)式為（λ—1）2。3、設(shè)，則N（A）的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基為。解：由于等價(jià)于，而其解空間的一個(gè)基為α1=（-1，0，1，0，0）T，α2=（0，0，0，1，0）T，α3=（-2，2，0，0，1）T對(duì)其作標(biāo)準(zhǔn)正交化即得其一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基為（-1/，0，1/，0，0）T，（0，0，0，1，0）T，（-1/，2/，-1/，0，1/）T4、設(shè)為的兩個(gè)基，T為的線性變換，且，則T在基下的矩陣為A=。解：：由于T（e1,e2）=（e1,e2）（e1,e2）-1T(（e1’,e2’）（e1’,e2’）-1（e1,e2）)，知所求矩陣為A=（e1,e2）-1T(（e1’,e2’）（e1’,e1’）-1（e1,e2）)=（e1,e2）-1T（e1’,e2’）（e1’,e1’）-1（e5、設(shè)W=span[]，則dimW=。解：由于，知dimW=3。6、矩陣A=的1—范數(shù)為。解：max{?1?+?3?+?1?，?i?+?0?+?1?，?0?+?1?+?2i?}=5設(shè)為向量形變量，為常矩陣,求。（10分）解：設(shè)A=，求sinA。（10分）解：由于，故有單根—2和重根1。設(shè)與sinλ在A的譜上一致的多項(xiàng)式為P（λ）=a+bλ+cλ2，則有解得從而sinA=aI+bA+cA2=====設(shè)分別為對(duì)應(yīng)兩向量范數(shù)的算子范數(shù)，其中B可逆，證明：。（10分）證明：設(shè)，證明：A正定的充分必要條件是存在可逆矩陣，使得。（10分）證明：由于且A正定，故有酉矩陣P使A=Pdiag（λ1,λ2,...,λn）PH其中λ1,λ2,...,λn為正數(shù)，故A=Pdiag（）diag（）PH記Q=diag（）PH，則Q可逆且A=QHQ。反之，若有可逆矩陣Q使A=QHQ，則對(duì)任意非零向量x，xHAx=xHQHQx=（Qx）HQx>0,即A正定，最后的不等號(hào)是因?yàn)閤非零Q可逆，故Qx非零，從而xHAx=（Qx）HQx>0。設(shè)，且AB=BA，線性變換T（x）=Bx，，證明：A的特征子空間是T的不變子空間。（10分）證明：設(shè)x為任一屬于A的相應(yīng)于特征值λ特征的特征子空間的向量，即Ax=λx，則AT（x）=ABx=BAx=Bλx=λBx=λT（x），故T（x）也屬于A的相應(yīng)于λ的特征空間，由x的任意性知A的特征子空間是T的不變子空間。八、設(shè)，且，證明：A可表示為如下的形式，其中P為可逆矩陣。（5分）證明：設(shè)A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為A=，其中Jk為若當(dāng)塊，則，故從而必為一階塊，且相應(yīng)特征值與其立方值相等，即特征值只能為0，1和-1，所以得證。九、證明：對(duì)任意非零矩陣，可表示為A=BC的形式，其中B的各列構(gòu)成的向量成為實(shí)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，C的各行構(gòu)成的向量成為實(shí)正交向量組。（5分）證明：由于，所以，且正定對(duì)稱。從而可以找到正交矩陣U，V使A的奇異值分解為A=Udiag（λ1,λ2,…,λr,0,…,0）V，其中λ1,λ2,...,λr為的非零特征值（為正數(shù)）。設(shè)U1為U的前r列所成的矩陣，V1為V的前r行所成的矩陣，則A=U1diag（λ1,λ2,…,λr）V1，而C=diag（λ1,λ2,…,λr）V1和B=U1就是滿足條件的矩陣?？疹}（每小題5分，共30分）1、若矩陣A=的滿秩分解為A=BC，則B=，C=。解：由初等行變換A=→→，知：B=，C=。2、矩陣A=的最小多項(xiàng)式為。解：由于知A的初等因子為（λ—1），（λ—1）2，故A的最小多項(xiàng)式為（λ—1）2。3、設(shè)，則N（A）的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基為。解：由于等價(jià)于，而其解空間的一個(gè)基為α1=（-1，0，1，0，0）T，α2=（0，0，0，1，0）T，α3=（-2，2，0，0，1）T對(duì)其作標(biāo)準(zhǔn)正交化即得其一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基為（-1/，0，1/，0，0）T，（0，0，0，1，0）T，（-1/，2/，-1/，0，1/）T4、設(shè)為的兩個(gè)基，T為的線性變換，且，則T在基下的矩陣為A=。解：：由于T（e1,e2）=（e1,e2）（e1,e2）-1T(（e1’,e2’）（e1’,e2’）-1（e1,e2）)，知所求矩陣為A=（e1,e2）-1T(（e1’,e2’）（e1’,e1’）-1（e1,e2）)=（e1,e2）-1T（e1’,e2’）（e1’,e1’）-1（e5、設(shè)W=span[]，則dimW=。解：由于，知dimW=3。6、矩陣A=的1—范數(shù)為。解：max{?1?+?3?+?1?，?i?+?0?+?1?，?0?+?1?+?2i?}=5設(shè)為向量形變量，為常矩陣,求。（10分）解：設(shè)A=，求sinA。（10分）解：由于，故有單根—2和重根1。設(shè)與sinλ在A的譜上一致的多項(xiàng)式為P（λ）=a+bλ+cλ2，則有解得從而sinA=aI+bA+cA2=====設(shè)分別為對(duì)應(yīng)兩向量范數(shù)的算子范數(shù)，其中B可逆，證明：。（10分）證明：設(shè)，證明：A正定的充分必要條件是存在可逆矩陣，使得。（10分）證明：由于且A正定，故有酉矩陣P使A=Pdiag（λ1,λ2,...,λn）PH其中λ1,λ2,...,λn為正數(shù)，故A=Pdiag（）diag（）PH記Q=diag（）PH，則Q可逆且A=QHQ。反之，若有可逆矩陣Q使A=QHQ，則對(duì)任意非零向量x，xHAx=xHQHQx=（Qx）HQx>0,即A正定，最后的不等號(hào)是因?yàn)閤非零Q可逆，故Qx非零，從而xHAx=（Qx）HQx>0。設(shè)，且AB=BA，線性變換T（x）=Bx，，證明：A的特征子空間是T的不變子空間。（10分）證明：設(shè)x為任一屬于A的相應(yīng)于特征值λ特征的特征子空間的向量，即Ax=λx，則AT（x）=ABx=BAx=Bλx=λBx=λT（x），故T（x）也屬于A的相應(yīng)于λ的特征空間，由x的任意性知A的特征子空間是T的不變子空間。八、設(shè)，且，證明：A可表示為如下的形式，其中P為可逆矩陣。（5分）證明：設(shè)A的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為A=，其中Jk為若當(dāng)塊，則，故從而必為一階塊，且相應(yīng)特征值與其立方值相等，即特征值只能為0，1和-1，所以得證。九、證明：對(duì)任意非零矩陣，可表示為A=BC的形式，其中B的各列構(gòu)成的向量成為實(shí)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，C的各行構(gòu)成的向量成為實(shí)正交向量組。（5分）證明：由于，所以，且正定對(duì)稱