機械控制工程基礎-第四章-系統(tǒng)的瞬態(tài)響應與誤差分析

機械控制工程基礎-第四章-系統(tǒng)的瞬態(tài)響應與誤差分析第4章系統(tǒng)的瞬態(tài)響應與誤差分析本章考點：1、時間響應：概念及瞬態(tài)響應、穩(wěn)態(tài)響應的定義。2、脈沖響應函數：定義、與傳函的關系及任意輸入下的脈沖響應。3、一階系統(tǒng)：傳遞函數及增益、時間常數的計算；一階系統(tǒng)的單位脈沖、單位階躍、單位斜坡響應函數的計算。4、二階系統(tǒng)：傳遞函數及無阻尼自然頻率、阻尼自然頻率、阻尼比的計算；特征方程及臨界阻尼系數的含義；5、三階和高階系統(tǒng)的時間響應：主導極點的概念及其與相應的關系。6、瞬態(tài)響應：性能指標的定義；二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應指標的計算以及二級系統(tǒng)的阻尼比、無阻尼自然頻率與各性能指標的關系。7、系統(tǒng)誤差分析：誤差和穩(wěn)態(tài)誤差的概念及計算；系統(tǒng)類型的定義；系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)類型、開環(huán)增益及輸入信號之間的關系；靜態(tài)誤差系數與穩(wěn)態(tài)誤差。引言：動態(tài)系統(tǒng)的研究方法動態(tài)系統(tǒng)的研究方法有兩種：1、時域分析法：根據系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數，求出系統(tǒng)的輸出量隨時間的變化規(guī)律，從而確定系統(tǒng)的性能2、頻域分析法：以拉氏變換為工具將時域轉換為頻域，研究系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應，分析系統(tǒng)與過程在不同頻率的輸入信號作用下的響應特性。

本章采用第1種方法。4-1時間響應1、時間相應的概念（1）定義：系統(tǒng)在外加激勵下，其輸出量隨時間變化的函數關系叫做系統(tǒng)的時間響應。（2）時間響應=瞬態(tài)響應（0<t<t1)+穩(wěn)態(tài)響應(t→∞）（3）系統(tǒng)微分方程的解=系統(tǒng)時間相應的表達式（4）四種典型輸入信號：階躍函數脈沖函數斜坡函數加速度函數2、脈沖響應函數（1）定義：系統(tǒng)受到一個單位脈沖激勵（輸入）時產生的響應叫做單位脈沖響應。（2）圖示系統(tǒng)的傳遞函數G(s)即為其脈沖響應函數g(t)的像函數.系統(tǒng)X(t)Y(t)輸入函數圖4-2單位脈沖響應函數4-2一階系統(tǒng)的時間響應1、一階系統(tǒng)的數學模型（1）一階系統(tǒng)：能用一階微分方程描述的系統(tǒng)。（2）RC電路一階系統(tǒng)傳函的一般形式

2、一階系統(tǒng)的單位階躍響應（1）輸入：單位階躍函數（2）輸出：（3）響應曲線Laplace3、一階系統(tǒng)的脈沖響應（1）輸入：單位脈沖函數（2）輸出：（3）響應曲線

Laplace4、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應（1）輸入:（2）輸出：（3）響應曲線Laplace圖4-11表一一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響應輸入信號輸入信號輸出響應傳遞函數單位脈沖R(s)=1單位階躍

1(t)單位斜坡

t加速度函數等價關系：系統(tǒng)對輸入信號導數的響應，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的導數；系統(tǒng)對輸入信號積分的響應，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的積分；積分常數由零初始條件確定。4-3二階系統(tǒng)的時間響應1、二階系統(tǒng)的數學模型（1）定義：由二階微分方程描述的系統(tǒng)。（2）典型例題：彈簧—質量—阻尼系統(tǒng)（3）微分方程

拉氏變換傳遞函數特征根

S(S+2ξωn)ωn2圖4-13

標準形式的二階系統(tǒng)方塊圖_－自然頻率（或無阻尼振蕩頻率）－阻尼比（相對阻尼系數）

Xi（S）Xo（s)(4)二階系統(tǒng)的標準形式及方塊圖x++2、二階系統(tǒng)的單位階躍響應（1）輸入（2）傳遞函數（簡化形式）特征方程特征根f(t)t10單位階躍函數特征根有三種情況：①欠阻尼，，特征根有一對共軛復根此時，此為衰減振蕩函數,t,c(t)1∞∞②臨界阻尼，，特征根為一負實根。此為衰減振蕩的極限。

③過阻尼，，系統(tǒng)有兩個不等的負實根，二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線圖4-16不同值的二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線3、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應（1）輸入信號

（2）傳遞函數

輸出特征方程特征根

特征根有三種情況：①欠阻尼，，特征根有一對共軛復根(2)臨界阻尼（3）過阻尼

4-4高階系統(tǒng)動態(tài)分析1、三階系統(tǒng)（1）傳遞函數（2）對應方程（3）單位階躍響應令，作拉氏逆變換，得（4）閉環(huán)主導極點若實極點位于共軛復數極點的右側，且距原點很近，則響應表現出明顯的慣性環(huán)節(jié)特性，共軛極點只增加曲線初始段的波動。若實極點遠離共軛復數極點，位于它們的左側較遠處，則實數極點對系統(tǒng)動態(tài)影響較小，響應特性主要決定于復數極點?？傊A系統(tǒng)的響應特性主要決定于距虛軸較近的閉環(huán)極點，這類極點叫做系統(tǒng)的閉環(huán)主導極點2、高階系統(tǒng)（1）主導極點：系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點中，距虛軸最近，且周圍無閉環(huán)零點的極點。主導極點對系統(tǒng)響應起主導作用，其它極點在近似分析中可以忽略不計。一般的，閉環(huán)主導極點總以共軛復數極點的形式出現。（2）高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數4-5瞬態(tài)響應的性能指標二階系統(tǒng)的單位脈沖響應性能要求：穩(wěn)定性、準確性、靈敏性1、瞬態(tài)響應的性能指標（1）前提條件：①系統(tǒng)受單位階躍信號作用；②零初始條件。（2）瞬態(tài)響應的性能指標①延遲時間td：單位階躍響應c(t)達到其穩(wěn)態(tài)值的50%時所需要的時間。②上升時間tr：單位階躍響應c(t),叢穩(wěn)態(tài)值的10%——90%（對于過阻尼），或從0——100%（對于欠阻尼）所需要的時間。③峰值時間tp：單位階躍響應c(t)超過其穩(wěn)態(tài)值而到達第一個峰值時所需要的時間。④超調量Mp:單位階躍響應c(t)第一次越過穩(wěn)態(tài)值而達峰值時對穩(wěn)態(tài)值的偏差與穩(wěn)態(tài)值之比。⑤調整時間ts:單位階躍響應c(t)與穩(wěn)態(tài)值之差進入允許的誤差范圍所需要的時間。通常取5%或2%。相對性指標——Mp；靈敏性指標——td，tr，ts。瞬態(tài)響應的性能指標的圖示2、二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應指標的推證（1）上升時間tr：由（4-28）式，當t=tr時C(tr)=1,即令可得（4——43）（2）峰值時間將（4-28）式對時間求導，并令其為零，即（3）超調量Mp：已知代入超調量的定義式?？傻每梢姡{量僅與阻尼比有關。

（4）調整時間ts對欠阻尼二階系統(tǒng)，瞬態(tài)響應為其包絡線方程為設允許誤差為δ%，則調整時間滿足用包絡線近似代替C(t),可得例題4-1，4-2，4-3p87-89

C(ts)-1=δ/100R(s)(-)C(s)?化為標準形式?即有2

n=1/Tm=5,

n2=K/Tm=25

解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數為?解得

n=5,ζ=0.5

例1

已知圖中Tm=0.2，K=5，求系統(tǒng)單位階躍響應指標。[解]：①③當T不變時，T=0.25，②[例2]：如圖所示系統(tǒng)，試求：①和;②和③若要求時，當T不變時K=?R(s)(-)C(s)?化為標準形式?即有2

n=1/Tm=5,

n2=K/Tm=25

解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數為?解得

n=5,ζ=0.5

例3

已知圖中Tm=0.2，K=5，求系統(tǒng)單位階躍響應指標。4-6系統(tǒng)誤差分析引論：

(1)時間響應=瞬態(tài)分量+穩(wěn)態(tài)分量

(2)誤差產生原因：①系統(tǒng)結構不同，輸入信號不同，使輸出值偏離輸入值。②外界的干擾作用。③系統(tǒng)存在摩擦、間隙、零件變形。1、誤差與誤差的概念（1）誤差

測量值與真值之差異稱為誤差；測量值偏離真值的大小，稱為絕對誤差；相對誤差，是絕對誤差與測量值或多次測量均值的比值。①誤差信號E(S)=R(s)-H(s)C(s)Fig.4-24②誤差

(2)穩(wěn)態(tài)誤差①時域分析中：誤差通常是時間t的函數，以e(t)表示；穩(wěn)態(tài)誤差定義為誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量，以ess表示

②計算公式：

C(s)=E(s)G(s)E(s)=R(s)-E(s)G(s)H(s)∴由終值定理

E(S)=R(s)-H(s)C(s)，Fig.4-242、系統(tǒng)的類型（1）開環(huán)傳遞函數

①定義②一般地，K—開環(huán)增益；Ta,Tb,--Tm;T1,T2,--Tp---時間常數；

----傳遞函數在原點有λ重極點。（2）按積分環(huán)節(jié)的個數分類：

λ=0，0型系統(tǒng)；λ=1，Ⅰ型系統(tǒng)；λ=2，Ⅱ型系統(tǒng)（3）影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素可見，影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素為系統(tǒng)的類型λ

、開環(huán)增益K和輸入信號R(s)3、靜態(tài)誤差系數與穩(wěn)態(tài)誤差

（1）靜態(tài)位置誤差系數Kp：由（4-50）式，對單位階躍輸入其中①②位置誤差單位階躍輸入的響應曲線0型系統(tǒng)1型及以上系統(tǒng)（2）靜態(tài)速度誤差系數Kv①定義：系統(tǒng)對單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差叫做速度誤差，即靜態(tài)速度誤差系數Kv定義為②速度誤差為

特例（3）靜態(tài)加速度誤差系數Ka①定義：系統(tǒng)對單位加速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差叫做加速度誤差，即