課時(shí)跟蹤檢測（十四） 萬有引力定律與航天

PAGE第5頁共8頁課時(shí)跟蹤檢測（十四）萬有引力定律與航天一、立足主干知識(shí)，注重基礎(chǔ)性和綜合性1．(2020·全國卷Ⅰ)火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,10)，半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為()A．0.2 B．0.4C．2.0 D．2.5解析：選B由萬有引力定律可得，質(zhì)量為m的物體在地球表面受到的萬有引力大小為F地＝Geq\f(M地m,R地2)，質(zhì)量為m的物體在火星表面受到的萬有引力大小為F火＝Geq\f(M火m,R火2)，二者的比值eq\f(F火,F地)＝eq\f(M火R地2,M地R火2)＝0.4，B正確，A、C、D錯(cuò)誤。2．(2020·北京等級(jí)考)我國首次火星探測任務(wù)被命名為“天問一號(hào)”。已知火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的10%，半徑約為地球半徑的50%，下列說法正確的是()A．火星探測器的發(fā)射速度應(yīng)大于地球的第二宇宙速度B．火星探測器的發(fā)射速度應(yīng)介于地球的第一和第二宇宙速度之間C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度解析：選A第二宇宙速度是物體脫離地球引力束縛的最小發(fā)射速度，火星探測器需要脫離地球引力的束縛，故其發(fā)射速度應(yīng)大于地球的第二宇宙速度，A正確，B錯(cuò)誤；物體在中心天體附近繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為該天體的第一宇宙速度，由eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\r(\f(GM,R))，則火星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比eq\f(v火,v地)＝eq\r(\f(M火R地,M地R火))＝eq\r(\f(1,5))，所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，C錯(cuò)誤；當(dāng)物體在天體表面時(shí)，近似有eq\f(GMm,R2)＝mg，可得g＝eq\f(GM,R2)，則火星表面的重力加速度與地球表面的重力加速度之比eq\f(g火,g地)＝eq\f(M火R地2,M地R火2)＝eq\f(2,5)，則火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，D錯(cuò)誤。3．(2020·全國卷Ⅱ)若一均勻球形星體的密度為ρ，引力常量為G，則在該星體表面附近沿圓軌道繞其運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的周期是()A.eq\r(\f(3π,Gρ)) B.eq\r(\f(4π,Gρ))C.eq\r(\f(1,3πGρ)) D.eq\r(\f(1,4πGρ))解析：選A根據(jù)萬有引力定律有Geq\f(Mm,R2)＝mReq\f(4π2,T2)，又M＝ρ·eq\f(4πR3,3)，解得T＝eq\r(\f(3π,Gρ))，B、C、D項(xiàng)錯(cuò)誤，A項(xiàng)正確。4．(2020·浙江7月選考)火星探測任務(wù)“天問一號(hào)”的標(biāo)識(shí)如圖所示。若火星和地球繞太陽的運(yùn)動(dòng)均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火星公轉(zhuǎn)軌道半徑與地球公轉(zhuǎn)軌道半徑之比為3∶2，則火星與地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的()A．軌道周長之比為2∶3B．線速度大小之比為eq\r(3)∶eq\r(2)C．角速度大小之比為2eq\r(2)∶3eq\r(3)D．向心加速度大小之比為9∶4解析：選C火星與地球軌道周長之比等于公轉(zhuǎn)軌道半徑之比，A項(xiàng)錯(cuò)誤；火星和地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，由Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r，解得a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，所以火星與地球線速度大小之比為eq\r(2)∶eq\r(3)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；角速度大小之比為2eq\r(2)∶3eq\r(3)，C項(xiàng)正確；向心加速度大小之比為4∶9，D項(xiàng)錯(cuò)誤。5．(2021年1月新高考8省聯(lián)考·江蘇卷)2020年12月3日，嫦娥五號(hào)上升器攜帶月壤樣品成功回到預(yù)定環(huán)月軌道，這是我國首次實(shí)現(xiàn)地外天體起飛。環(huán)月軌道可以近似為圓軌道，已知軌道半徑為r，月球質(zhì)量為M，引力常量為G。則上升器在環(huán)月軌道運(yùn)行的速度為()A.eq\f(GM,r2) B.eq\f(GM,r)C.eq\r(\f(GM,r2)) D.eq\r(\f(GM,r))解析：選D根據(jù)衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力等于萬有引力，則Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，故選項(xiàng)D正確。6．(2021年1月新高考8省聯(lián)考·河北卷)假定“嫦娥五號(hào)”軌道艙繞月飛行時(shí)，軌道是貼近月球表面的圓形軌道。已知地球密度為月球密度的k倍，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為地球半徑的n倍，則軌道艙繞月飛行的周期與地球同步衛(wèi)星周期的比值為()A.eq\r(\f(k,n3)) B.eq\r(\f(n3,k))C.eq\r(\f(k,n)) D.eq\r(\f(n,k))解析：選A根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力，設(shè)地球的半徑為R，月球的半徑為r，地球同步衛(wèi)星的同期為T1，軌道艙繞月飛行的周期為T2，對(duì)地球同步衛(wèi)星有Geq\f(M1m1,nR2)＝m1eq\f(4π2,T12)·nR對(duì)軌道艙繞月飛行時(shí)有Geq\f(M2m2,r2)＝m2eq\f(4π2,T22)r地球的質(zhì)量M1和月球的質(zhì)量M2分別為M1＝ρ1eq\f(4,3)πR3，M2＝ρ2eq\f(4,3)πr3ρ1＝kρ2聯(lián)立解得eq\f(T2,T1)＝eq\r(\f(k,n3))，故A項(xiàng)正確。7．(2020·江蘇高考改編)甲、乙兩顆人造衛(wèi)星均繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，甲的軌道半徑是乙的2倍。下列應(yīng)用公式進(jìn)行的推論正確的有()A．由v＝eq\r(gR)可知，甲的速度是乙的eq\r(2)倍B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍C．由F＝eq\f(GMm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq\f(1,4)D．由eq\f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍解析：選D兩衛(wèi)星均繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，甲的軌道半徑是乙的2倍，由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，則乙的速度是甲的eq\r(2)倍，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由ma＝eq\f(GMm,r2)，可得a＝eq\f(GM,r2)，則乙的向心加速度是甲的4倍，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)F＝eq\f(GMm,r2)，由于不能確定兩人造衛(wèi)星質(zhì)量是否相等，所有不能確定甲的向心力是乙的eq\f(1,4)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；兩衛(wèi)星均繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，且甲的軌道半徑是乙的2倍，結(jié)合開普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍，選項(xiàng)D正確。8．(2021·江蘇重點(diǎn)高中聯(lián)考)據(jù)悉我國計(jì)劃于2022年左右建成天宮空間站，它在離地面高度為400～450km的軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑大約為地球同步衛(wèi)星軌道半徑的六分之一，則下列說法正確的是()A．空間站運(yùn)行的加速度等于地球同步衛(wèi)星運(yùn)行的加速度的6倍B．空間站運(yùn)行的速度約等于地球同步衛(wèi)星運(yùn)行速度的eq\r(6)倍C．空間站運(yùn)行的周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期的1倍D．空間站運(yùn)行的角速度小于地球自轉(zhuǎn)的角速度解析：選B設(shè)空間站運(yùn)行的半徑為R1，地球同步衛(wèi)星軌道半徑為R2，由eq\f(GMm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，得：a＝eq\f(GM,r2)v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))由于eq\f(R1,R2)＝eq\f(1,6)，則有a1∶a2＝36∶1v1∶v2＝eq\r(6)∶1，T1∶T2＝1∶6eq\r(6)故A、C錯(cuò)誤，B正確；由于地球自轉(zhuǎn)的角速度等于地球同步衛(wèi)星的角速度，故可以得到空間站運(yùn)行的角速度大于地球自轉(zhuǎn)的角速度，故D錯(cuò)誤。9．(2021年1月新高考8省聯(lián)考·重慶卷)近地衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若其軌道半徑近似等于地球半徑R，運(yùn)行周期為T，地球質(zhì)量為M，引力常量為G，則()A．近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小近似為eq\f(2π2R,T2)B．近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度大小近似為eq\r(\f(R,GM))C．地球表面的重力加速度大小近似為eq\f(M,GR2)D．地球的平均密度近似為eq\f(3π,GT2)解析：選D由向心加速度公式可知，近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小an＝ω2R＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2R＝eq\f(4π2R,T2)，故A錯(cuò)誤；近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，由向心力公式得Geq\f(Mm,R2)＝eq\f(mv2,R)，解得近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度大小v＝eq\r(\f(GM,R))，故B錯(cuò)誤；地球表面的重力等于萬有引力，所以有mg＝Geq\f(Mm,R2)，地球表面的重力加速度大小為g＝eq\f(GM,R2)，故C錯(cuò)誤；近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，由向心力公式得Geq\f(Mm,R2)＝mReq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2，解得地球的質(zhì)量為M＝eq\f(4π2R3,GT2)，地球的平均密度近似為ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(4π2R3,GT2),\f(4πR3,3))＝eq\f(3π,GT2)，故D正確。10．(2021·武漢模擬)2019年11月我國首顆亞米級(jí)高分辨率光學(xué)傳輸型立體測繪衛(wèi)星高分七號(hào)成功發(fā)射，高分七號(hào)在距地面約600km的圓軌道上運(yùn)行，先期發(fā)射的高分四號(hào)衛(wèi)星在距地面約36000km的地球同步軌道運(yùn)行，關(guān)于兩顆衛(wèi)星的下列說法正確的是()A．高分七號(hào)比高分四號(hào)運(yùn)行速率小B．高分七號(hào)比高分四號(hào)運(yùn)行周期大C．高分七號(hào)比高分四號(hào)向心加速度小D．相同時(shí)間內(nèi)高分七號(hào)與地心連線掃過的面積比高分四號(hào)小解析：選D萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，運(yùn)行軌道半徑越大，運(yùn)行的速度越小，高分七號(hào)比高分四號(hào)運(yùn)行速率大，故A錯(cuò)誤；萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，運(yùn)行軌道半徑越大，運(yùn)行的周期越大，所以高分七號(hào)比高分四號(hào)運(yùn)行周期小，故B錯(cuò)誤；萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得，Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，運(yùn)行軌道半徑越大，運(yùn)行的加速度越小，所以高分七號(hào)比高分四號(hào)向心加速度大，故C錯(cuò)誤；衛(wèi)星與地心連線掃過的面積為S＝eq\f(1,2)r2θ＝eq\f(1,2)rvt＝eq\f(t,2)eq\r(GMr)，相同時(shí)間內(nèi)，運(yùn)行軌道半徑越大，與地心連線掃過的面積越大，相同時(shí)間內(nèi)高分七號(hào)與地心連線掃過的面積比高分四號(hào)小，故D正確。11．(2021·蘇州一模)已知地球的半徑為R，表面的重力加速度為g，月球球心離地球球心的距離為r1，地球同步衛(wèi)星離地球球心的距離為r2，r1>r2，將月球和地球同步衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)都看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，以下說法正確的是()A．月球的線速度比同步衛(wèi)星的線速度大B．地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的線速度比同步衛(wèi)星的線速度大C．月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的向心加速度為eq\f(R2,r12)gD．月球表面的重力加速度為eq\f(R2,r12)g解析：選C由公式Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，由于r1>r2，則月球的線速度比同步衛(wèi)星的線速度小，故A錯(cuò)誤；地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)角速度與同步衛(wèi)星的角速度相等，由v＝ωr可知，地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的線速度比同步衛(wèi)星的線速度小，故B錯(cuò)誤；在地球表面有Geq\f(Mm0,R2)＝m0g，對(duì)月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)有Geq\f(Mm,r12)＝ma，聯(lián)立得a＝eq\f(gR2,r12)，故C正確；由于不知道月球的質(zhì)量和半徑，則無法得到月球表面的重力加速度，故D錯(cuò)誤。二、強(qiáng)化遷移能力，突出創(chuàng)新性和應(yīng)用性12．(2021·徐州聯(lián)考)中國航天科工集團(tuán)虹云工程，將在2023年前共發(fā)射156顆衛(wèi)星組成的天基互聯(lián)網(wǎng)，建成后WiFi信號(hào)覆蓋全球。假設(shè)這些衛(wèi)星中有一顆衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為eq\f(T0,16)(T0為地球的自轉(zhuǎn)周期)，已知地球的第一宇宙速度為v，地球表面的重力加速度為g，則該衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌道半徑為()A.eq\f(v2,g) B.eq\f(v2,2g)C.eq\r(3,\f(T02v4,4gπ2)) D.eq\f(1,8)eq\r(3,\f(T02v4,2gπ2))解析：選D繞地球表面旋轉(zhuǎn)的衛(wèi)星對(duì)應(yīng)的速度是第一宇宙速度，此時(shí)重力提供向心力，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，即mg＝meq\f(v2,R)，得出R＝eq\f(v2,g)，而衛(wèi)星在高空中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬有引力提供向心力，設(shè)地球的質(zhì)量為M，則有Geq\f(Mm,r2)＝mreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\a\vs4\al(2π),\f(T0,16))))2，其中GM＝R2g，解得：該衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r＝eq\f(1,8)eq\r(3,\f(T02v4,2gπ2))，故D正確。13．軌道平面與赤道平面夾角為90°的人造地球衛(wèi)星被稱為極地軌道衛(wèi)星，它運(yùn)行時(shí)能到達(dá)南北極的上空，需要在全球范圍內(nèi)進(jìn)行觀測和應(yīng)用的氣象衛(wèi)星、導(dǎo)航衛(wèi)星等都采用這種軌道。如圖所示，若某顆極地軌道衛(wèi)星從北緯45°的正上方按圖示方向首次運(yùn)行到南緯45°的正上方用時(shí)45分鐘，則()A．該衛(wèi)星的運(yùn)行速度一定小于7.9km/sB．該衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的周期與地球同步衛(wèi)星的周期之比為1∶4C．該衛(wèi)星的軌道半徑與地球同步衛(wèi)星的軌道半徑之比為1∶2D．該衛(wèi)星的加速度與地球同步衛(wèi)星的加速度之比為2∶1解析：選A由于衛(wèi)星的軌道半徑大于地球半徑，所以衛(wèi)星的線速度小于第一宇宙速度，即衛(wèi)星的線速度小于7.9km/s，故A正確；由題意可知，衛(wèi)星的周期T＝eq\f(360°,90°)×45min＝180min＝3h，而地球同步衛(wèi)星的周期是24h，故它與地球同步衛(wèi)星的周期之比為1∶8，故B錯(cuò)誤；由萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，解得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，該衛(wèi)星軌道半徑與地球同步衛(wèi)星軌道半徑之比eq\f(r,r同步)＝eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,T同步)))2)＝eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,24)))2)＝eq\f(1,4)，故C錯(cuò)誤；由萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，該衛(wèi)星加速度與地球同步衛(wèi)星加速度之比為eq\f(a,a同步)＝eq\f(r同步2,r2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,1)))2＝eq\f(16,1)，故D錯(cuò)誤。14.“墨子號(hào)”衛(wèi)星是我國首顆量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星。如圖所示，“墨子號(hào)”衛(wèi)星的工作高度約為500km，在軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間t(t小于其運(yùn)動(dòng)周期)，運(yùn)動(dòng)的弧長為s，與地球中心連線掃過的角度為θ弧度，引力常量為G，則下列關(guān)于“墨子號(hào)”的說法正確的是()A．線速度大于第一宇宙速度B．質(zhì)量為eq\f(s3,Gt2θ)C．環(huán)繞周期為eq\f(2πt,θ)D．向心加速度小于地球同步衛(wèi)星的向心加速度解析：選C第一宇宙速度是衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大環(huán)繞速度，可知“墨子號(hào)”的線速度一定小于第一宇宙速度，故A錯(cuò)誤；“墨子號(hào)”衛(wèi)星是環(huán)繞天體，根據(jù)萬有引力提供向心力無法求出“墨子號(hào)”的質(zhì)量，故B錯(cuò)誤；衛(wèi)星的角速度ω＝eq\f(θ,t)，則周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2πt,θ)，故C正確；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma，可得a＝Geq\f(M,r2)，“墨子號(hào)”衛(wèi)星的軌道半徑小于同步衛(wèi)星的軌道半徑，則“墨子號(hào)”衛(wèi)星的向心加速度大于同步衛(wèi)星的向心加速度，故D錯(cuò)誤。15.(2021·衡水模擬)2019年4月10日21時(shí)，天文學(xué)家發(fā)布了人類歷史上第一張黑洞照片(如圖所示)。黑洞是一種密度極大、引力極大的天體，以至于光都無法逃逸，科學(xué)家一般通過觀測繞黑洞運(yùn)行的天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律間接研究黑洞。已知某黑洞的逃逸速度為v＝eq\r(\f(2GM,R))，其中引力常量為G，M是該黑洞的質(zhì)量，R是該黑洞的半徑。若天文學(xué)家觀測到與該黑洞相距為r的天體以周期T繞該黑洞做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列關(guān)于該黑洞的說法正確的是()A．該黑洞的質(zhì)量為eq\f(GT2,4πr3)B．該黑洞的質(zhì)量為eq\f(4πr3,GT2)C．該黑洞的最大半徑為eq\f(4π2r3,c2)D．該黑洞的最大半徑為eq\f(8π2r3,c2T2)解析：選D天體繞黑洞運(yùn)動(dòng)時(shí)，有eq\f(GMm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f