線性代數(shù)習(xí)題全解

第六周習(xí)題解答習(xí)題2.3(A)1.計算下面4階方陣的行列式的值解按第一行展開2.計算下列行列式解(加邊法)習(xí)題2.3(B)1.計算下列方陣的行列式解2.用Laplace定理計算下列行列式解按第1,2行展開習(xí)題3.1(A)3.已知n階方陣A滿足A3=0，試證E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2。證A3=0，則(E-A)(E+A+A2)=E3-A3=E.(E+A+A2)(E-A)=E3-A3=E.所以E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2。第八周習(xí)題解答習(xí)題3.2(A)2(2).解矩陣方程解,,,8.設(shè)矩陣A滿足AB=A+2B,且求矩陣B.解由AB=A+2B,得(A-2E)B=A,,11.設(shè)P-1AP=,其中求A11.解第十周習(xí)題解答習(xí)題4.1(A)2.問,取何值時，齊次線性方程組有非零解。解當(dāng)=1或=0時,A=0,齊次線性方程組有非零解。3.問取何值時，非齊次線性方程組1)有惟一解；2)無解；3)有無窮多解。解當(dāng)≠1且≠-2時,A≠0,方程組有惟一解.當(dāng)=-2時,R(A)=2,R((A,b))=3,方程組無解;當(dāng)=1時,R(A)=R((A,b))=1<3,方程組有無窮多解;另解當(dāng)=1時,R(A)=R((A,b))=1<3,方程組有無窮多解;當(dāng)≠1時,習(xí)題4.2(A)2.設(shè)其中求.解由得4.設(shè)向量線性相關(guān)，求t的值。解：線性相關(guān)，有非零解，(原版)9.設(shè)向量若向量組線性無關(guān)，證明向量組線性無關(guān)。證設(shè)，即若向量組線性無關(guān)，則所以向量組線性無關(guān)。(新版)9.設(shè)是一組n維向量,已知n維基本向量能由它們線性表示，試證線性無關(guān)。證能由線性表示,即有即∴∴向量組線性無關(guān).第九周習(xí)題解答習(xí)題3.3(A)5.求矩陣A的秩解(1)當(dāng)a=-8,b=-2時,R(A)=2;(2)當(dāng)a=-8,b≠-2時,R(A)=3;(3)當(dāng)a≠-8,b=-2時,R(A)=3;(4)當(dāng)a≠-8,b≠-2時,R(A)=4;第十一周習(xí)題解答習(xí)題4.3(A)2.利用初等變換求下列矩陣的秩和行向量組的一個極大無關(guān)組(2)解:所以R(A)=3,矩陣A的行向量組的一個極大無關(guān)組為(注:也是一個極大無關(guān)組)3.求下列向量組的秩，并求一個極大無關(guān)組解所以向量組的秩是2,一個極大無關(guān)組為4.求向量組的秩和一個極大無關(guān)組，并將該極大無關(guān)組以外的向量表成極大無關(guān)組的線性組合。解所以向量組的秩是3,一個極大無關(guān)組為第十二周習(xí)題解答習(xí)題4.4(A)1.求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,并寫出通解(1)解:原方程可化為令5.設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知1,2,3是它的三個解向量,求該方程組的通解.解:四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含4-3=1個解向量,已知1,2,3是非齊次線性方程組的三個解向量,可知對應(yīng)的齊次線性方程組有解向量所以非齊次線性方程組的通解為即6.求解下列非齊次線性方程組,并寫出它的一個解及對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系解增廣矩陣原方程組可化為令它的一個解是對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是(2)增廣矩陣原方程組可化為令它的一個解是對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是第十四周習(xí)題解答習(xí)題5.2(A)在實數(shù)域上,求下列矩陣的特征值與特征向量,解:1)得A的特征值為1=2=2，3=-2，對1=2=2，解齊次線性方程組(2E-A)x=0方程組可化為得基礎(chǔ)解系所以,矩陣A對應(yīng)于1=2的全部特征向量是是不同時為零的任意常數(shù).對3=-2，解齊次線性方程組(-2E-A)x=0方程組可化為得基礎(chǔ)解系所以,矩陣A對應(yīng)于2=-2的全部特征向量是是不為零的任意常數(shù).3)得A的特征值為=4，對=4，解齊次線性方程組(4E-A)x=0方程組可化為得基礎(chǔ)解系所以,矩陣A對應(yīng)于=4的全部特征向量是是不為零的任意常數(shù).3.證明：A與AT的特征多項式相同，從而特征值完全相同。證:，即A與AT的特征多項式相同，從而特征值完全相同。8.已知向量是矩陣對應(yīng)于特征值的特征向量，試求a和的值。解:由得習(xí)題5.3(A)2.證明:相似矩陣的跡相同.證:設(shè)矩陣A與B相似,依性質(zhì)6知A與B有相同的特征多項式,故有相同的跡.4.設(shè),利用A的相似于對角矩陣來求A10.解:得A的特征值為1=1，2=2，對1=1，解齊次線性方程組(E-A)x=0得基礎(chǔ)解系對2=2，解齊次線性方程組(2E-A)x=0得基礎(chǔ)解系令則6.設(shè)證明：若是方陣A對應(yīng)于0的特征向量，則是方陣B對應(yīng)于0的特征向量.證:若是方陣A對應(yīng)于0的特征向量，則由得所以是方陣B對應(yīng)于0的特征向量.第十五周習(xí)題解答習(xí)題5.4(A)5.求齊次線性方程組的單位正交基礎(chǔ)解系.解:令得得齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系齊次線性方程組的單位正交基礎(chǔ)解系為注:若齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系齊次線性方程組的單位正交基礎(chǔ)解系為8.證明:若A,B都是n階正交矩陣,則AB也為正交矩陣.證:若A,B都是n階正交矩陣,則A-1=AT,B-1=BT,(AB)-1=B-1A-1=BTAT=(AB)T故AB也為正交矩陣.另證:若A,B都是n階正交矩陣,則ATA=E,BTB=E,(AB)TAB=BTATAB=E,故AB也為正交矩陣.9.證明：正交矩陣的行列式值只能為1或-1.證:設(shè)矩陣A為正交矩陣，則故習(xí)題5.5(A)1.對下列實對稱矩陣A,求正交矩陣Q及對角矩陣,使(1)解:得A的特征值為1=2=1，3=10，對1=2=1，解齊次線性方程組(E-A)x=0得基礎(chǔ)解系對3=10，解齊次線性方程組(10E-A)x=0得基礎(chǔ)解系故或:對1=2=1，解齊次線性方程組(E-A)x=0得基礎(chǔ)解系對3=10，解齊次線性方程組(10E-A)x=0得基礎(chǔ)解系故2.已知三階實對稱矩陣A的特征值為分別是A的對應(yīng)于的特征向量，試求正交矩陣Q及,使為對角矩陣。解：設(shè)是A的對應(yīng)于的特征向量，則解的即故第十六周習(xí)題解答習(xí)題6.1(A)1.寫出下列二次型的矩陣解:1)二次型的矩陣2)二次型的矩陣3)二次型的矩陣5.證明:實對稱矩陣A,B,如果A～B,則A～B.證:實n階對稱矩陣A,B,如果A～B,則矩陣A,B有相同的特征值:依定理5.3,存在n階正交矩陣Q1,Q2,使即A～.B～.故A～B.第十七周習(xí)題解答習(xí)題6.3(A)2.用合同變換將下列實二次型為規(guī)范型,并求出所用的可逆線性變換.解:3.設(shè)四階對稱矩陣A的特征值為-2,3,3,0,試給出實二次型的實規(guī)范型.解:依題設(shè)知實