2023學年福建華安、長泰等四校高三二診模擬考試數(shù)學試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0?5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)f(x)=--x(tz>0),若函數(shù)y=/(x)的圖象恒在x軸的上方，則實數(shù)。的取值范圍為()

a

B.(0,e)C.(e,+oo)D.Li

e

2.函數(shù)/(%)=Asin(G%+。)(A>0,的部分圖象如圖所示，則公。的值分別為()

兀71

A.2,0B.2>一2,D.2,-

4T6

3.已知向量力=(1,一2),5=(3,-1),則()

A.a//bB.萬」C.1〃(&一5)D.a-L(a-b)

已知為等腰直角三角形，，應(yīng),“為所在平面內(nèi)一點，且而=*后+絲,

4.AABCA=WBC=2AABCC

則麗?必二<)

71

A.2V2-4B.——cD.——

2-42

5,已知函數(shù)/(x)=r一乂"""(。>0),若函數(shù)g(x)=/(x)-4區(qū)有三個零點，則4的取值范圍是()

5-x.x>a

A.(0,1)U[5,+8)B.(0,|)U[5,+oo)

C.(1,5]D.(1,5]

6.《普通高中數(shù)學課程標準(2017版)》提出了數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學生的數(shù)學核心素

養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標對二人進行了測驗，根據(jù)測驗結(jié)果繪制了雷達圖(如圖，每項指標值滿分為5分，分值

高者為優(yōu)），則下面敘述正確的是（）

直觀想&

A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙

B.甲的數(shù)學建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學抽象素養(yǎng)

C.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差

D.乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲

7.復數(shù)（a—i）（2—z）的實部與虛部相等，其中i為虛部單位，則實數(shù)。=（）

11

A.3B.—C.--D.-1

32

8.+1），展開項中的常數(shù)項為

X

A.1B.11C.-19D.51

9.已知｛%｝為等比數(shù)列，為+4=-3,。44=一18,則4+即=（）

2121

A.9B.-9C.—D.——

24

10.閱讀如圖的程序框圖，若輸出的值為25,那么在程序框圖中的判斷框內(nèi)可填寫的條件是（)

[開始)

A.z>5B.z>8C.z>10D.z>12

11.甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面，已知這三人都不會違約且無兩人同時到達，則甲第一個到、丙第三個到的

概率是()

12.定義域為R的偶函數(shù)/(%)滿足任意xeR,有/(%+2)=/(%)-/(I)，且當龍e[2,3]時，/(x)=-2x2+12x-18.

若函數(shù)y=/(x)-1。8“*+1)至少有三個零點，則。的取值范圍是()

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(x-y)(x+2y)4的展開式中，丁丁的系數(shù)為.

14.在AA3C中，ZC=90%CM=2MB-若sinNBAM=g則tan/8AC=.

15.AABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,若2ccosB=2a+。，則NC=.

16.已知函數(shù)/。)=-%3+*+4,》€(wěn)[_1,團與8(幻=3//比—％-1的圖象上存在關(guān)于％軸對稱的點，則a的取值范圍為

e

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)分(x)=e*(ar+l),a&R.

⑴求曲線y=/(x)在點M(0,/(0))處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)判斷函數(shù)/(X)的零點個數(shù).

18.(12分)已知x>0,y>0,z>0,x2+y2+z2=l,證明:

⑴(x+y)2+(y+z)2+(x+z)2?4；

(2)—I---1—>1+2yJxy+2Jxz+2Jyz,

xyz''

19.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD=2AD,PDA,DA,PDLDC,底面ABCD為正方形，M、N

分別為AD、PO的中點.

（2）求直線必與平面MAC所成角的正弦值.

八x=tcosa,x—sin0

20.（12分）已知曲線G的參數(shù)方程為?。為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為''L------3為參

y=l+/sina,y=A/1+COS26,

數(shù)).

（1）求G與G的普通方程；

（2）若G與G相交于A，B兩點,且|A8|=正，求sine的值.

21.（12分）設(shè)函數(shù)/（x）=，z?e*-V+3,其中加eR.

（I）當/（X）為偶函數(shù)時，求函數(shù)/7（X）=4（X）的極值；

（II）若函數(shù)/（X）在區(qū)間1-2,句上有兩個零點，求"?的取值范圍.

Y—、/3ccs（y

22.（10分）在直角坐標系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為,（二為參數(shù)），以原點。為極點，以X軸正

y=sina

TT

半軸為極軸，建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為夕sin（e+；）=2.

（1）求曲線G的普通方程與曲線的直角坐標方程;

JT

⑵設(shè)A,8為曲線G上位于第一，二象限的兩個動點，且乙408=萬，射線。4,08交曲線G分別于。,C,求AAO8

面積的最小值，并求此時四邊形ABCO的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

函數(shù)y=/(x)的圖象恒在x軸的上方，二一%>0在(0,+8)上恒成立.即二>X,即函數(shù)》=上的圖象在直線>

aaa

上方，先求出兩者相切時”的值，然后根據(jù)“變化時，函數(shù)y=C的變化趨勢，從而得”的范圍.

a

【詳解】

由題《一X>0在(0,+8)上恒成立.即—>x,

aa

y=J的圖象永遠在y=X的上方,

,—=1

設(shè)＞=紀與y=x的切點（x。,%）,貝！Ja解得a=e,

aeXn

——=x

.a

易知a越小，y=—圖象越靠上，所以0<a<e.

故選：B.

【點睛】

本題考查函數(shù)圖象與不等式恒成立的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，首先函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，然后不等式恒

成立再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象，最后由極限位置直線與函數(shù)圖象相切得出參數(shù)的值，然后得出參數(shù)范圍.

2.D

【解析】

由題意結(jié)合函數(shù)的圖象，求出周期T,根據(jù)周期公式求出。，求出A，根據(jù)函數(shù)的圖象過點［看，），求出9,即可求

得答案

【詳解】

,▼皿3T1\TC7i3乃

由函數(shù)圖象可知：一=--------=—

41264

T=九,

A=1

函數(shù)的圖象過點1彳，11

/.1=sin2x—+夕，

k6J

EI式

<->則夕=2

Zo

故選o

【點睛】

本題主要考查的是y=Asin（3X+°）的圖像的運用，在解答此類題目時一定要挖掘圖像中的條件，計算三角函數(shù)的周

期、最值，代入已知點坐標求出結(jié)果

3.D

【解析】

由題意利用兩個向量坐標形式的運算法則，兩個向量平行、垂直的性質(zhì)，得出結(jié)論.

【詳解】

?向量2=（1,-2）,5=（3,-1）,...方和日的坐標對應(yīng)不成比例，故2、5不平行，故排除4

顯然，a*b=3+2^0,故〃、石不垂直，故排除8;

；.”B=（-2,-I）,顯然，〃和1—5的坐標對應(yīng)不成比例，故M和1—5不平行，故排除C；

a*（6-B）--2+2=0,故a_L（萬-B），故。正確，

故選：D.

【點睛】

本題主要考查兩個向量坐標形式的運算，兩個向量平行、垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.D

【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標系，結(jié)合向量的坐標運算，可求得點M的坐標，進而求得麗，福，由平面向

量的數(shù)量積可得答案.

【詳解】

如圖建系，則A(0,0),8(2,0),C(0,2),

-----1—1—1r,則麗屈=停1

由CM=—CB+-C4,易得M

422

故選：D

【點睛】

本題考查平面向量基本定理的運用、數(shù)量積的運算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運

算求解能力.

5.A

【解析】

分段求解函數(shù)零點，數(shù)形結(jié)合，分類討論即可求得結(jié)果.

【詳解】

作出y=x2-x和y=5一X,>=4兇的圖像如下所示:

函數(shù)g(x)=/(x)-4W有三個零點,

等價于y=/(X)與y=4區(qū)有三個交點,

又因為。>0,且由圖可知,

當XWO時y=/(x)與>=可可有兩個交點A,。，

故只需當x>0時，y=/(x)與>=平|有一個交點即可.

若當x〉0時，

ae(0,l)時，顯然：]=□(□)與二=4|口|有一個交點口，故滿足題意；

a=l時，顯然」=□(匚)與n=4|口|沒有交點，故不滿足題意；

aw(l,5)時，顯然二=?(□)與匚=41|也沒有交點，故不滿足題意；

ae[5,+o。)時，顯然y=/(x)與^=4]乂有一個交點C,故滿足題意.

綜上所述，要滿足題意，只需ae(0,l)U[5,+8).

故選：A.

【點睛】

本題考查由函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，屬中檔題.

6.D

【解析】

根據(jù)雷達圖對選項逐一分析，由此確定敘述正確的選項.

【詳解】

對于A選項，甲的數(shù)據(jù)分析3分，乙的數(shù)據(jù)分析5分，甲低于乙，故A選項錯誤.

對于B選項，甲的建模素養(yǎng)3分，乙的建模素養(yǎng)4分，甲低于乙，故B選項錯誤.

對于C選項，乙的六大素養(yǎng)中，邏輯推理5分，不是最差，故C選項錯誤.

對于D選項，甲的總得分4+5+3+3+4+3=22分，乙的總得分5+4+5+4+5+4=27分，所以乙的六大素養(yǎng)整

體平均水平優(yōu)于甲，故D選項正確.

故選：D

【點睛】

本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

利用乘法運算化簡復數(shù)(a-i)(2-i)即可得到答案.

【詳解】

由已知，(a—i)(2—i)=2a-l—(a+2)i,所以2a—1=—a—2,解得a=—§.

故選：B

【點睛】

本題考查復數(shù)的概念及復數(shù)的乘法運算，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.

8.B

【解析】

展開式中的每一項是由每個括號中各出一項組成的，所以可分成三種情況.

【詳解】

展開式中的項為常數(shù)項，有3種情況：

（1）5個括號都出1,即7=1；

（2）兩個括號出X,兩個括號出（-'），一個括號出1,即T=C』2?Cl（-L）2.1=30；

XX

（3）一個括號出x,一個括號出（-！），三個括號出1,即T=C；xC；.（」”=-20；

xx

所以展開項中的常數(shù)項為7=1+30—20=11,故選B.

【點睛】

本題考查二項式定理知識的生成過程，考查定理的本質(zhì),即展開式中每一項是由每個括號各出一項相乘組合而成的.

9.C

【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的下標和性質(zhì)可求出生，心，便可得出等比數(shù)列的公比，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出4+.

【詳解】

4=3

4+9=5+8,.\=。5a8=T8,又4+%=-3,可解得，5°或<

</。=3=-6

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,則

仁時,靖比=一2,?+如=3+**+（_6風_2）號

當

故選：C.

【點睛】

本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，意在考查學生的數(shù)學運算能力,屬于基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，帶入依次計算可得輸出為25時i的值，進而得判斷框內(nèi)容.

【詳解】

根據(jù)循環(huán)程序框圖可知，S=O,i=l

則S=1,i=3,

S=4,i=5,

S=9,i=7,

S=16,i=9,

S=25"=ll,

此時輸出S,因而/.=9不符合條件框的內(nèi)容，但i=ll符合條件框內(nèi)容，結(jié)合選項可知C為正確選項，

故選：C.

【點睛】

本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的簡單應(yīng)用，完善程序框圖，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

先判斷是一個古典概型，列舉出甲、乙、丙三人相約到達的基本事件種數(shù)，再得到甲第一個到、丙第三個到的基本事

件的種數(shù)，利用古典概型的概率公式求解.

【詳解】

甲、乙、丙三人相約到達的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6種，

其中甲第一個到、丙第三個到有甲乙丙，共1種，

所以甲第一個到、丙第三個到的概率是

6

故選：D

【點睛】

本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

由題意可得/(x)的周期為2,當xe[2,3]時，/(幻=-2/+12%-18,令g(x)=log“(x+l),則/(x)的圖像和g(x)

的圖像至少有3個交點，畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)g(2)>/(2),求得"的取值范圍.

【詳解】

.f(x)是定義域為K的偶函數(shù)，滿足任意xeR,

f(x+2)=f(x)-/(I)，令x=-1,/⑴=/(-1)-/(I),

又/(-I)=/(1),.--/(1)=0,/(x+2)=f(x),

???/(X)為周期為2的偶函數(shù)，

當xe[2,3]時，/(x)=-2x2+12x-18=-2(x-3)2,

當xe[0,1],x+2e[2,3],/(x)=/(x+2)=-2(x-I)2,

當xG[-1,0],-xe[0,l],/(x)=/(-x)=-2(x+If,

作出/(x),g(x)圖像，如下圖所示：

函數(shù)y=/(x)-loga(x+1)至少有三個零點，

則.f(x)的圖像和g(x)的圖像至少有3個交點，

-.■f(x)<0,若

fM的圖像和g(x)的圖像只有1個交點，不合題意，

所以0<a<l,的圖像和g(x)的圖像至少有3個交點，

則有g(shù)(2)>f(2),即log“(2+1)>/(2)=-2,.Tog"3>-2,

—->3,。一<一,0<6!<1,0<42<――?

?233

故選:B.

【點睛】

本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用，解題過程中用到了數(shù)形結(jié)合方法，這也是高考常考的熱點問題，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.16

【解析】

要得到X>2的系數(shù)，只要求出二項式(X+2),)4中》2y2的系數(shù)減去/),的系數(shù)的2倍即可

【詳解】

丁丁的系數(shù)為C>22-C；X2=16.

故答案為：16

【點睛】

此題考查二項式的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

14.顯

2

【解析】

分析：首先設(shè)出相應(yīng)的直角邊長，利用余弦勾股定理得到相應(yīng)的斜邊長，之后應(yīng)用余弦定理得到直角邊長之間的關(guān)系,

從而應(yīng)用正切函數(shù)的定義，對邊比臨邊，求得對應(yīng)角的正切值，即可得結(jié)果.

詳解：根據(jù)題意，設(shè)AC=m,BC=3〃，則CW=2〃,BAZ=〃，根據(jù)sinN8AM=(,

2/7________________

得cosNBAM――-—)由勾股定理可得AM—>/nr+4n2,AB-y/m2+9n2，

irr+4n2+ivr+9n2-n22瓜

根據(jù)余弦定理可得

2y1m2+4n2ylnr+9n2

化簡整理得加1-12*"+36〃4=0,BP(m2-6n2)2=0,解得加=遍〃，

所以tanZR4C=加=碧=必，故答案是理.

my16rl22

點睛：該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，在解題的過程中，注意分析要求對應(yīng)角的正切值，需要求誰，而題中所給

的條件與對應(yīng)的結(jié)果之間有什么樣的連線，設(shè)出直角邊長，利用所給的角的余弦值，利用余弦定理得到相應(yīng)的等量關(guān)

系，求得最后的結(jié)果.

15.120°

【解析】

^22_.2

222

V2ccosB-2a+h,?*.2cx---------------2a+h,BPa+^_c=-ab?

lac

16.［2,e3-2］

【解析】

兩函數(shù)圖象上存在關(guān)于x軸對稱的點的等價命題是方程-三+%+。=-3歷x+x+1在區(qū)間已⑼上有解，化簡方程

e

。-1=/-3歷%在區(qū)間4,同上有解，構(gòu)造函數(shù)，求導，求出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)性質(zhì)得解.

e

【詳解】

解：根據(jù)題意，若函數(shù)/(x)=-x2+x+a(-4x4e)與g(x)=31nx-x-l的圖象上存在關(guān)于x軸對稱的點,

e

則方程-d+x+〃=-3/nx+x+l在區(qū)間上有解，

e

即方程〃-1=33根在區(qū)間?、樯嫌薪?

設(shè)函數(shù)g(x)=x3-3lnx,其導數(shù)g■)=3/-3=3("二1)

XX

又由可得：當時，g'(x)<O,g(x)為減函數(shù),

當iWxWe時，g'(x)>O,g(x)為增函數(shù),

故函數(shù)g(x)=/-3/〃x有最小值g⑴=1,

又由gd)=4+3,g(e)=/—3；比較可得：g(2)<g(e),

eee

故函數(shù)g(x)=X3-3歷r有最大值g(e)="-3,

故函數(shù)g(x)=/-3版在區(qū)間弓,e］上的值域為［1,e3-3］；

若方程a+l=d一3/nx在區(qū)間,ej上有解,

e

必有iWa-lWe?-3,則有2WaWe3_2，

即”的取值范圍是［2*3—2］；

故答案為：［243—2］；

【點睛】

本題利用導數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)間上最值求參數(shù)的問題，函數(shù)零點問題的拓展.由于函數(shù)y=/(x)的零點就是方程

/(幻=0的根，在研究方程的有關(guān)問題時，可以將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.此類問題的切入點是借助函數(shù)的零點,

結(jié)合函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)(a+l)x-y+l-0(2)答案見解析⑶答案見解析

【解析】

(1)設(shè)曲線y=/(x)在點M(0,/(O))處的切線的斜率為Z,可求得左=/(0)=。+1,/(0)=1,利用直線的點斜式

方程即可求得答案；

(2)由(I)知，r(x)=e'(ar+a+l),分a=O時，a>Q,a<0三類討論，即可求得各種情況下的f(x)的單調(diào)區(qū)

間為；

(3)分。=0與aH0兩類討論，即可判斷函數(shù)f(x)的零點個數(shù).

【詳解】

(1)Qf(x)=e"(ax+1),

/.f\x)=ex(ax+1)+aex=ex(ax+a+1),

設(shè)曲線y=/(九)在點M(o,A。))處的切線的斜率為3

貝！U=r（0）=，（ax+l）+a/=e°（Q+l）=Q+l,

又/(0)=1,

，曲線y=/(幻在點M(o,f(0))處的切線方程為:y-l=3+l)x,即(a+l)x-y+l=。；

(2)由(1)知，f\x)=ex(ax+a+l),

x

故當。=0時，f\x)=e>09所以/(x)在R上單調(diào)遞增；

當。>0時，xG(―<x>,------),/\x)<0-XG(,+00),/X%)>0;

aa

???/(X)的遞減區(qū)間為(9,-但)，遞增區(qū)間為(-3,+8)；

aa

當。<0時，同理可得〃x)的遞增區(qū)間為(9,-交口)，遞減區(qū)間為(-@里，+8)；

aa

綜上所述，。=0時，/(X)單調(diào)遞增為(-8,+8),無遞減區(qū)間；

當。>()時，f(X)的遞減區(qū)間為(9,-但)，遞增區(qū)間為(-巴里，+8);

aa

當。<0時，f(X)的遞增區(qū)間為(9,-@里)，遞減區(qū)間為(-3，+8);

aa

(3)當。=0時，/(x)=e'>0恒成立，所以/(幻無零點；

當時，由/■(x)=e*(ax+l)=0,得：x=---,只有一個零點.

a

【點睛】

本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想與推理、運算能力，

屬于中檔題.

18.(1)證明見解析(2)證明見解析

【解析】

(1)先由基本不等式可得移+尸+為，1,而(x+y)2+(y+zy+(x+z)2=2+2(肛+yz+有),,4,即得證；

(2)首先推導出x+y+z>l,再利用_L+L+_L=(L+_L+,kx2+y2+z2),展開即可得證.

xyzyxy7

【詳解】

證明：(1)vx2+y24-z2=1,

2xy+2yz+2xz,,x2+y2+y2+z2+z2+x2=2(x2+y24-z2=2,

xy+yz+zx,91,

/.(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2=2(x2+y2+Z2)+2(A^4-yz+zx)=2+2(xy+yz+zx)?4(當且僅當％=y=z時

取等號).

(2)?.?x>(),y>0,z>0,x2+y2+z2=1,

(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=1+2xy+2xz+2yz>1,

x+y+z>1,

111111

.??一+—+-二一+—+-M+y2+z2

Xyzxyz

y2z2x2z2x2y2

=x+—+—+—+y+—+—+—+z

xxyyzz

(22\,22,2

/、Z'Xz

=(x+y+z)+—y+—%+—-+—-?+——+>1+2y/xy+2\[xz+2yfyz,

lxy)Bz\yz

—I----1—>1+2-^/xy+2,xz+2,yz.

xyz'

【點睛】

本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.

19.(1)見解析；(2)

6

【解析】

(1)利用中位線的性質(zhì)得出24//MN,然后利用線面平行的判定定理可證明出/W/平面MNC；

(2)以點。為坐標原點，DA.DC、DP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)A￡>=2,利用空

間向量法可求得直線PB與平面MNC所成角的正弦值.

【詳解】

(1)因為"、N分別為A。、PD的中點，所以Q4//MN.

又因為平面M/VC,MNu平面MNC,所以24〃平面MNC；

(2)以點。為坐標原點，DA.DC、0P所在直線分別為％、>、z軸建立空間直角坐標系。—QZ,設(shè)4)=2,

V

則8(2,2,0),C(0,2,0),尸(0,0,4),M(1,0,0),N(0,0,2),

方=(2,2,T),近=(0,2,-2),A7N=(-1,0,2).

設(shè)平面MNC的法向量為n=(x,y,z),

n-MN=0—x+2z=0—,、

則〈—，即Lc八，令z=l,則x=2,y=l,所以〃=(2,l,I).

n-NC=0[2y-2z=0v'

I——I1

設(shè)直線依與平面MNC所成角為a,所以sinc=cos<〃,PB〉=方馬=2.

11卜卜附|6

因此，直線PB與平面MNC所成角的正弦值為

6

【點睛】

本題考查線面平行的證明，同時也考查了利用空間向量法計算直線與平面所成的角，考查推理能力與計算能力，屬于

中等題.

2

20.(1)y=xtana+l,%2+^-=l(y..O)(2)0

【解析】

(1)分別把兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)消去，即可得到普通方程;

(2)把直線的參數(shù)方程代入C?的普通方程，化為關(guān)于?的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系及此時，的幾何意義求

解.

【詳解】

x=[cosa

(1)由曲線G的參數(shù)方程為?.(，為參數(shù))，消去參數(shù)乙可得.y=xtano+l；

y=l+rsina

x=sin8

I---------3為參數(shù))，消去參數(shù)。，可得＞=7^二壽，即d+￡=l(y.O).

由曲線G的參數(shù)方程為

y=J1+COS262"

x=/cosa.v2

(2)把《?.(，為參數(shù))代入/+匕=1

y=l+Esma2

得(1+cos2a)t2+2/sina—1=0.

-2sina-1

,?"A-，/也=-7~

1+cos^a1+cos'a

BABH…1=J—如=3T^)2+-

解得：cos2a=1,即cosa=±l,滿足△>0.

.\sintz=0.

【點睛】

本題考查參數(shù)方程化普通方程，特別是直線參數(shù)方程中參數(shù)/的幾何意義的應(yīng)用，是中檔題.

13T6

21.(I)極小值M-D=-2,極大值〃⑴=2；(II)-2e</?<—94/?=—

【解析】

(I)根據(jù)偶函數(shù)定義列方程，解得機=0.再求導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)零點列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律，即得極值，(II)

2a

先分離變量，轉(zhuǎn)化研究函數(shù)g(x)=土二，xe[-2,4],利用導數(shù)研究g(x)單調(diào)性與圖象，最后根據(jù)圖象確定滿足

條件的根的取值范圍.

【詳解】

(I)由函數(shù)“X)是偶函數(shù)，得/(一x)=/(x)，

即me-x-(-x)2+3=mev-x2+3對于任意實數(shù)x都成立，

所以根=0.

此時h(x)=xf(x)=一x3+3x,則/(%)=-3x2+3.

由//(尤)=0,解得]=±1.

當x變化時，〃'(x)與〃⑴的變化情況如下表所示：

X(-00,-1)-1(-1,1)1(1,+8)

/(X)-0+0-

/?(%)極小值/極大值X

所以〃(X)在(-8,-1),(1,m)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以〃(力有極小值〃(-1)=-2,〃(x)有極大值〃⑴=2.

(II)由〃x)=/ne'-丁+3=0,得加=三二2.所以“/(x)在區(qū)間［-2,4］上有兩個零點”等價于“直線y=加與曲

線g(x)=?2,xw［—2,4］有且只有兩個公共點”.

對函數(shù)g(x)求導，得g0)=T-+2x+3.

eA

由g'(x)=O,解得玉=-1,X2=3.

當x變化時，g'(x)與g(x)的變化情況如下表所示:

X(-2,-1)-1(-13)3(3,4)

g'(x)-0+0-

g(x)極小值/極大值

所以g(x)在(―2,-1),(3,4)上單調(diào)遞減，在(—1,3)上單調(diào)遞增.

又因為g(—2)=e。g(-l)=-2e,g(3)=5<g(—2),g(4)=?>g(—1),

所以當-2e<〃z<!|或〃時，直線y=〃?與曲線g(x)=qE,xe［—2,4］有且只有兩個公共點.

即當-2e<，〃<葭或〃?=5時，函數(shù)/(x)在區(qū)間［-2,4］上有兩個零點.

【點睛】

利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法

(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.

(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.

(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上