《高等代數(shù)》 課程教案

《高等代數(shù)》課程教案

課次|1|學(xué)時(shí)|2授課類型其它(復(fù)習(xí)課)

授課章、節(jié)：復(fù)習(xí)

0教學(xué)目的、要求：系統(tǒng)復(fù)習(xí)多項(xiàng)式、行列式、向量相關(guān)性、矩陣等理論，加深理解。

教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：多項(xiàng)式、行列式、矩陣、方程組

教學(xué)基本內(nèi)容教學(xué)方法

一、多項(xiàng)式系統(tǒng)、復(fù)

1、一元多項(xiàng)式(零多項(xiàng)式)次數(shù).相等，運(yùn)算律，一元多項(xiàng)式環(huán).2、整除的概念及其基本性習(xí)與串

質(zhì).帶余除法；多項(xiàng)式的整除性不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變.最大公因式和互素：最大公因講

式，互素的概念；最大公因式的存在性和求法一根轉(zhuǎn)相除法：3、不可約多項(xiàng)式；性質(zhì)：

WeF[x]np(x)|f(x),or(p(x)J(x))=I,p(x)\f(x)g(x)np(x)\f(x)orp(x)\g(x);整系數(shù)多項(xiàng)式在上可

約。它在整數(shù)環(huán)上可約.Eisenstein判斷法.因式分解及唯一性定理；次數(shù)大于零的復(fù)

系數(shù)多項(xiàng)式分解成一次因式的乘積：次數(shù)大于零的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式分解成一次因式和二次

不可約因式的乘積.重因式.4、多項(xiàng)式函數(shù)，根和重根；余數(shù)定理；整系數(shù)多項(xiàng)式的有理

根；實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)；代數(shù)基本定理.F[x]中〃次多項(xiàng)式(〃20)在至多有〃個(gè)根.函

o數(shù)相等與多項(xiàng)式相等一致.

二、行列式理論

1.〃級(jí)排列逆序，逆序數(shù)與奇偶排列；加個(gè)〃級(jí)排列，奇偶各半，對(duì)換改變奇偶性，

任意一個(gè)〃級(jí)排列都可以經(jīng)過一些對(duì)換變成自然順序.2.n級(jí)行列式的概念；3.行列式

的性質(zhì)：行列互換，不變；互換行(列)，變號(hào)；數(shù)乘某行(列)，等于數(shù)乘這個(gè)行列式；把

某行(列)的倍數(shù)加到另一行(列)，不變；按行(列)分解為兩個(gè)行列式的和；兩行(列)成

比例，行列式等于零；4.行列式依行依列展開代數(shù)余子式，用代數(shù)余子式計(jì)算行列式

5、行列式計(jì)算定義法；化為三角形；化為范得蒙行列式；拆行(列)法；降級(jí)法；加邊

法；數(shù)學(xué)歸納法；遞推法；因式分解法

三、向量與方程組

1、向量的線性關(guān)系〃維向量及線性運(yùn)算，線性組合，線性相關(guān)，線性無關(guān)，極大線性

無關(guān)組，秩，向量組等價(jià).向量組線性相關(guān)的充要條件是其中有一個(gè)向量是可以由其余

的向量的線性表出.設(shè)向量組中每一個(gè)向量都是向量組尸|,772,…，民的線

0性組合，而且，>$,那么向量組%必線性相關(guān)-2、矩陣的秩矩陣的秩=矩

陣行(列)向量組的秩=不為零的子式的最大級(jí)數(shù).初等變換不改變矩陣的秩.3、線性方

程組的解線性方程組有解當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)矩陣與增廣矩陣秩相同.解的個(gè)數(shù)：rankA=〃時(shí)

有唯一解；rank>4=r<“時(shí)，九是線性方程組的一個(gè)特解，…是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)

解系,線性方程組的任一解/表成/=%+3+&%+…+廉,％_,其中《,月,…，射是任意數(shù).

齊次線性方程組總有解：rankA=〃時(shí)只有零解；rankA=廠<〃時(shí)有無窮多解，任意

n-r個(gè)線性無關(guān)的解向量小用2,…中I是它的基礎(chǔ)解系，全部解可表示為

"訪+32+…其中占，出2,…人-r是任意的數(shù)?

四、矩陣

1.運(yùn)算加法與減法；數(shù)乘；乘法，并且若A,6是〃級(jí)矩陣，則可逆矩陣.

2.矩陣運(yùn)算律加法交換與結(jié)合律，乘法的結(jié)合律，數(shù)乘與乘法關(guān)于加法的分配律；

(A-1)-1=A,(A-)'=(4尸=B''A-'.EA=A,AE=A,(A+B)'=^+B',蝴=樹，(AB)'=幽,注意：

AB^BA-,4。0,3#0,可能43=0.3.幾種特殊的矩陣數(shù)量矩陣，對(duì)角矩陣，三

角形矩陣，對(duì)稱矩陣，反對(duì)稱矩陣.4.n級(jí)矩陣A可逆O初等變換化A為單位矩陣

0A為初等矩陣的乘積<=>A的秩為n=A的行列式|A隹0.初等變換求逆矩陣

5.秩(A±B)V秩A+秩秩(A8)Vmin(秩A,秩6.三種初等矩陣P(i(c)),

分別對(duì)應(yīng)于三種初等變換.對(duì)矩陣A作初等行(列)變換，相當(dāng)于用對(duì)應(yīng)的初等矩陣左

(右)乘A.矩陣等價(jià)及標(biāo)準(zhǔn)形.7.分塊矩陣的運(yùn)算.

作業(yè)、討論題、思考題認(rèn)真向量與矩陣有關(guān)運(yùn)算和性質(zhì)

參考資料、主要外語詞匯:

1、《高等代數(shù)與解析幾何》，陳志杰編，北京：高等教育出版社，2002.

2、《高等代數(shù)習(xí)題解》，楊子胥編，濟(jì)南：山東科技出版社，1986.

課后小結(jié)：

《高等代數(shù)》課程教案

課次2|學(xué)時(shí)|2授課類型理論課

授課章、節(jié)：第五章二次型§1二次型的矩陣表示

0教學(xué)目的、要求：理解二次型和非退化線性替換；掌握二次型的矩陣表示及二次型與對(duì)稱矩陣的

對(duì)應(yīng)關(guān)系；理解合同概念及性質(zhì).

教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：矩陣的合同關(guān)系

教學(xué)基本內(nèi)容教學(xué)方法

一、二次型及其矩陣表示黑板講

2授

二次齊次多項(xiàng)式/0”2，,X?)=(ZIIXI+2O12I]X,++2%,X再++2fl2?X2X?+

稱為數(shù)域尸上的一個(gè)〃元二次型，簡(jiǎn)稱二次型.

定義1設(shè)再，…,％;必，…，y“是兩組文字，系數(shù)在數(shù)域P中的一組關(guān)系式

fx,=cliyi+cl2y2+---+cil,yn,

產(chǎn)=。2函+。22%+…稱為由的,...,x,到“的一個(gè)線性替換，或

〔X”+%2y2+…+的“丁"

簡(jiǎn)稱線性替換.如果系數(shù)行列式匕卜0,那么線性替換⑵就稱為非退化的.線性替換

把二次型變成二次型.

A=(%)&=%)為二次型，％")==ZZ%%F的矩陣，A'=A.二

i=lj=l

次型和它的矩陣是相互唯一決定的.

設(shè)二次型f(xl,x2,---,xn)=X'AX,A=A',作非退化線性替換X=CY得到一個(gè)

%,為，…，L的二次型YVK

二、矩陣的合同關(guān)系

定義2數(shù)域P上兩個(gè)〃階矩陣A,B稱為合同的，如果有數(shù)域P上可逆的〃x〃矩陣C,

0使得6=C：4C.

合同是矩陣之間的一個(gè)關(guān)系，具有以下性質(zhì)：

1)自反性:任意矩陣A都與自身合同.

2)對(duì)稱性：如果8與A合同，那么A與8合同.

3)傳遞性:如果8與A合同，C與8合同，那么。與A合同.

經(jīng)過非退化的線性替換，新二次型的矩陣與原來二次型的矩陣是合同的。

在變換二次型時(shí)，總是要求所作的線性替換是非退化的。從幾何上看，這一點(diǎn)是自

然的因?yàn)樽鴺?biāo)變換一定是非退化的。一般地，當(dāng)線性替換

X=CY

是非退化時(shí)，由上面的關(guān)系即得

Y^C'X.

這也是一個(gè)線性替換，它把所得的二次型還原.這樣就使我們從所得二次型的性質(zhì)可以

推知原來二次型的一些性質(zhì).

作業(yè)、討論題、思考題認(rèn)真思考二次型與矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系

參考資料、主要外語詞匯：

1、《高等代數(shù)與解析幾何》，陳志杰編，北京：高等教育出版社，2002.

2、《高等代數(shù)習(xí)題解》，楊子胥編，濟(jì)南：山東科技出版社，1986.

二次型quadraticform非退化non-degenerate

相合congruent對(duì)稱矩陣symmetricmatrix

課后小結(jié)：

《高等代數(shù)》課程教案

課次3I學(xué)時(shí)2授課類型理論課

授課章、節(jié)：第五章二次型§2標(biāo)準(zhǔn)形

教學(xué)目的、要求：熟練掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法（配方法、初等變換法）。

教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：深刻理解矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形形

教學(xué)基本內(nèi)容教學(xué)方法

一、二次型的標(biāo)準(zhǔn)型黑板講

最簡(jiǎn)單二次型是只包含平7?■項(xiàng)的二次型4才+4后+…+d“x；,矩陣為對(duì)角形.矩授

陣為對(duì)角形的二次型就只包含耳'方項(xiàng).

定理1數(shù)域P上任意一個(gè)二次型都可以經(jīng)過非化線性替力奐變成平方和的形式.

定理2在數(shù)域P上，任意一個(gè)對(duì)稱矩陣都合同于一對(duì)南3版陣.

對(duì)于任意一個(gè)對(duì)稱矩陣A味不可以找到一個(gè)可逆矩陣（:使CAC成對(duì)角矩陣.

二次型…，％）經(jīng)過非退化線性替換所變成的平方和稱為標(biāo)準(zhǔn)形.

例化二次型/（內(nèi)，％2,…，2%3為標(biāo)準(zhǔn)形.

x?）=2X]X2+2%43-6%例題講

二、配方法解

項(xiàng)=M-匯6；“”八1~a\\a\2…~a\\a\n

1.%]工0,這時(shí)的變量替換為j=201???0，則相

%=力，'

(00…>)

.x“=y?■

z2&2n

應(yīng)合同變換A—AC,,令a=（%2，‘％”),A=

2ann7

A=(a'\'x_1-aa

xx，這里a為a的轉(zhuǎn)置，L:“T為〃一1級(jí)3R位矩陣.

U,j一[oE.

i\n-i

/'iy；[/?ua\10、

0C；AC產(chǎn)\0

、。E，J、04-"Maj黑板講

-q]aE_八。)\-d^a'a)

nx授

矩陣A-ai^aa是對(duì)稱矩陣,存在可出匕矩陣G使G'（A1-a^ara)G-。為對(duì)角形，令

Jl0r%40]

，于是G'C"GG二

\oG“（）A-a~'a&人0G)、0D),

這是一個(gè)對(duì)角矩陣，我們所要伊

J可逆女巨F2二就是C=CjC2

2.a”=0但只有一個(gè)%.。0.

3.a(i=0,i=1,2,…，〃，但有一q)豐0,"1.

4.aXj-0J=1,2,???,?.后面幾種情況通過初等變換化為第一種情況.

例化二次?x成標(biāo),隹形.例題講

S}/(XPX2,X3)=2A1%2+2xt3-6X2X3

解

作業(yè)、討論題、思考題P232123,4,5,6P2341,2

參考資料、主要外語詞匯：

1、《高等代數(shù)與解析幾何》，陳志杰編，北京：高等教育出版社，2002.

2、《高等代數(shù)習(xí)題解》，楊子胥編，濟(jì)南：山東科技出版社，1986.

二次型quadraticform非退化non-degenerate對(duì)稱矩陣symmetricmatrix

課后小結(jié)：

《高等4代數(shù)》課程教案

課次4學(xué)時(shí)2授課類型理論課

授課章、節(jié)：第五章二次型§3唯一性

0教學(xué)目的、要求：完整論述，上二次型的規(guī)范形的唯一性；正確理解慣性定理。

教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：規(guī)范形與慣性定理

教學(xué)基本內(nèi)容教學(xué)方法

在一個(gè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)不為零的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是唯-一確定的，與所作的非黑板講

退化線性替換無關(guān)，二次型矩陣的秩有時(shí)就稱為二次型的秩.在-?-般數(shù)域內(nèi)，二次型的授

標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，與所作的非退化線性替換有關(guān).

設(shè)/（再，彳2,…,X“）是一個(gè)復(fù)系數(shù)的二次型，經(jīng)過一適當(dāng)?shù)?IE退化線性替，奐后，

/（%，工2,變成標(biāo)準(zhǔn)形dtyf+d2y>2+??+4/；,410,z=1,2,…，r.再作一非

退化線性替換變成Z；+Z；+…+Z；稱為復(fù)二次型f（xl,x2,---,x“）的規(guī)范形.

定理3任意一個(gè)復(fù)系數(shù)的二次型經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換可以變成規(guī)范形，且規(guī)范

形是唯一的.

任一復(fù)數(shù)對(duì)稱矩陣合同于（E,oy兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)稱矩陣合同當(dāng)且僅？，它們的秩相等.

olooj

設(shè)/（山，々，…,招）是一實(shí)系數(shù)的二次型.經(jīng)過某一個(gè)非退化線性替換，變成，樂準(zhǔn)形

+,,+%#-%+15*---------------d￡,其中d；>0,i=l,2,---,r；r是

/（司,工2,…,X“）的矩陣的秩.變成Z：+Z；H-----FZ；-Z；+1-,—Z；,稱為實(shí)一二次型

/（不，》2產(chǎn)、七,）的規(guī)范形.顯然規(guī)范形完全被r,p這兩個(gè)數(shù)所決;t.

定理4任意一個(gè)實(shí)數(shù)域上的二次型，經(jīng)過一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換可以變成規(guī)范形，且

規(guī)范形是唯一的.這個(gè)定理通常稱為慣性定理.

定義3在實(shí)二次型/（王，々，…，％）的規(guī)范形中，正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)p稱為

…,x“）的正慣性指數(shù)；負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)r-p稱為/（;：1，無2,…,后）的負(fù)慣性

黑板講

指數(shù)；它們的差/?一（八一.）=—尸稱為的符-手差.

2/?授

慣性定理也可敘述為：實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)為正的平方-項(xiàng)的個(gè)數(shù)是唯一的，它

等于正慣性指數(shù)，而系數(shù)為負(fù)的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)就等于負(fù)慣性指數(shù).

定理5（1）任一復(fù)對(duì)稱矩陣A都合同于對(duì)角矩陣其中廠=rankA.

1。o）

（Ep00、

（2）任一實(shí)對(duì)稱矩陣A都合同于一個(gè)下述形式的對(duì)角矩陣

o-Ef0

、oo0,

唯一確定的p,廠一〃分別稱為A的正、負(fù)慣性指數(shù)，它們的差2/2-r稱為A的東F號(hào)差.

o

作業(yè)、討論題、思考題—345,6—3,4,5深刻理解二次型的規(guī)范形與慣性定理

參考資料、主要外語詞匯：

1、《高等代數(shù)與解析幾何》，陳志杰編，北京：高等教育出版社，2002.

2、《高等代數(shù)習(xí)題解》，楊子胥編，濟(jì)南：山東科技出版社，1986.

二次型quadraticform負(fù)慣性指數(shù)negativeindexofinertia

符號(hào)差Signature正慣性指數(shù)positiveindexofinertia

課后小結(jié)：

《高等代數(shù)》課程教案

課次5學(xué)時(shí)2授課類型理論課

授課章、節(jié)：第五章二次型§4正定二次型

0教學(xué)目的、要求：掌握正定、半正定、負(fù)定二次型及正定、半正定矩陣的等價(jià)條件。

教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：正定、半正定的充要條件

教學(xué)基本內(nèi)容教學(xué)方法

0

o

一、正定二次型黑板講

定義4實(shí)二次型〃片,々,…,x“)稱為正定的，如果對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)授

。112,…,％都有f(Cl,C2,---,Cn)>0.

2

實(shí)二次型/(x1,x2,--,xn)=</lxl+</,%2+…+4/；是正定的當(dāng)且僅當(dāng)4>0,Z=1,2,…,”.設(shè)

實(shí)二次型〃為,々，，%)=X'AX是正定的，經(jīng)過非退化實(shí)線性替換乂=。丫變成二次

型g(M，%，，笫)=y'3y也正定?非退化實(shí)線性替換保持正定性不變?

二、正定二次型的判別

定理6實(shí)數(shù)域上二次型…是正定的o它的正慣性指數(shù)等于〃?

正定二次型???,*“)的規(guī)范形為y：+y；+…+y>

定義5實(shí)對(duì)稱矩陣A稱為正定的，如果二次型XAX正定.

實(shí)對(duì)稱矩陣是正定的。它與單位矩陣合同.

推論正定矩陣的行列式大于零.

“11%即

定義6子式的a22a2iz._,稱為矩陣A=(%)〃”的順序主子式.

片=(I—1,2,,〃)0

即%%

定理7實(shí)二次型/(百,々,…,々)=￡￡詢尤為=*如是正定的0矩陣4的順序主子式

；=|；=i

全大于零.黑板講

授

例判定二次型/(%,,x2,x3)=5x：+%；+5x；+4X1X2-8%I%3-4%工3是否正定.

定義7設(shè)了a,/,…,x")是一實(shí)二次型，如果對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)d&，…，1都

有…,c“)<0,那么/(為①「2,,)稱為負(fù)定的；如果都有/(q,C2,…,％)20,那么

/(為,々,…，與)稱為半正定的；如果都有/(c”％…，C.)40,那么，再,稱為半

負(fù)定的；如果它既不是半正定又不是半負(fù)定，那么/(士用,…,x,)就稱為不定的.

定理8對(duì)于實(shí)二次型/(七,乙,…,x,)=XAX,其中A是實(shí)對(duì)稱的，下列條件等價(jià)：

(1)/(花,々，…,招)是半正定的；(2)它的正慣性指數(shù)與秩相等；

(3)有可逆實(shí)矩陣C,使(4］其中4N0,i=L2,；

C'AC=出_

\d?

(4)有實(shí)矩陣。使4=。'。.(5)A的所有主子式皆大于或等于零；

注意，僅有順序主子式大于或等于零是不能保證半正定性的.

?設(shè)A為〃級(jí)實(shí)矩陣，且網(wǎng)。()，則A'A,A4'都是正定矩陣.

?設(shè)A為〃xm實(shí)矩陣，則A'A,A4'都是半正定矩陣.

?設(shè)A是〃級(jí)正定矩陣，則k>0時(shí)，AL后AA*.A"都是正定矩陣.

作業(yè)、討論題、思考題P2339,10,14,15,16,17P1353,4,5,6,7,8深刻理解正定的充要條件

參考資料、主要外語詞匯:

1、《高等代數(shù)與解析幾何》，陳志杰編，北京：高等教育出版社，2002.

2、《高等代數(shù)習(xí)題解》，楊子胥編，濟(jì)南：山東科技出版社，1986.

二次型quadraticform正定positivedefinite正規(guī)形normalform

不定的indefinite半負(fù)定negativesemidefinite半正定positivesemidefinite

課后小結(jié):

《高等代數(shù)》課程教案

課次習(xí)題課

6學(xué)時(shí)2授課類型

授課章、節(jié)：第五章二次型

0

教學(xué)目的、要求：深刻理解二次型與對(duì)稱矩陣合同誘導(dǎo)的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形

教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：教學(xué)內(nèi)容的總結(jié)、典型解題方法的學(xué)習(xí)

教學(xué)基本內(nèi)容教學(xué)方法

一、教學(xué)內(nèi)容系統(tǒng)總

二次型與矩陣：二次型；二次型的矩陣和秩；非退化線性替換；矩陣的合同.（1）非退化線性替

結(jié)

換把二次型變?yōu)槎涡?（2）二次型/（西,々,…,x.）=X21X可經(jīng)非退化的線性替換X=CY

全面復(fù)

化為二次型/'（%%???,%）=y"QB=C4c.（3）矩陣的合同關(guān)系滿足反身性、對(duì)稱性和傳遞性.

述

標(biāo)準(zhǔn)形：配方法.（1）數(shù)域P上任意一個(gè)二次型/（不芻，…，匕）都可經(jīng)過非退化的線性替換

X=?；癁闃?biāo)準(zhǔn)形式4y：+4仃+…+4曰⑵數(shù)域P上，任意對(duì)稱矩陣都合同對(duì)角矩陣.

唯一性：復(fù)二次型的規(guī)范形；實(shí)二次型的規(guī)范形，正慣性指數(shù)、負(fù)慣性指數(shù)、符號(hào)差.（1）任

一復(fù)二次型人知與,…,匕）都可經(jīng)過非退化的線性替換x=c化為唯一的規(guī)范形式

z；+z；+…+z；,r=/的秩.兩個(gè)復(fù)對(duì)稱矩陣合同o它們的秩相等.（2）慣性定律:任一實(shí)二次

型/（xpx2,???,%?）都可經(jīng)過非退化線性替換X=CY化為唯一的規(guī)范形式

z；+…+z；-z1]----z：,r=f的秩，P為/（8用,…,X"）的慣性指數(shù).兩個(gè)“元實(shí)二次型可經(jīng)過

非退化線性替換互化O它們分別有相同的秩和慣性指數(shù).（4）實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形式中系數(shù)

為正的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)等于正慣性指數(shù)唯一確定，系數(shù)為負(fù)的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)等于負(fù)慣性指數(shù).

正定二次型正定二次型，正定矩陣；順序主子式，負(fù)定二次型，半正定二次型，半負(fù)定二

次型，不定二次型.（1）非退化線性替換保持實(shí)二次型的正定性不變.（2）實(shí)二次型

f（xl,x2,---,xn）=X'AX正定當(dāng)且僅當(dāng)①A與單位矩陣合同，即存在可逆矩陣P,使得

A=PP；或②A的順序主子式都大于零.或③/（七,々,…,七,）的正慣性指數(shù)等于〃?

二、例題講解

例1.設(shè)A,B是”階對(duì)稱矩陣,B是非奇異的.又設(shè)|4一/1例=0的根4，/12「一，4,互異，X,分

別是齊次線性方程組（A-4B）=0的非零解（i=l,2,…,〃），證明：x-x”…,X“線性無關(guān).

例2.設(shè)A,B,C為〃階方陣，且”正定，證明：C-BN-'B也是正定的.

[8C）舉例講

2解

例3.設(shè)實(shí)二次型/（天用，七）=￡（%8++ainx?）,證明：/的秩等于矩陣A=（%）的秩.

1=1

例4.設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：存在正實(shí)數(shù)c使對(duì)任一個(gè)實(shí)n維向量X都有R網(wǎng)4cXX

例5.證明：⑴如果￡￡q,x,x,（a,=",）是正定二次型，心、、"是負(fù)定二次型；（2）如果

A是正定矩陣，那么同〈a,,,11,這里2T是4的〃一1階的順序主子式.（3）如果A是正定

矩陣，那么年aua22…j⑷如果7=%）是〃階實(shí)對(duì)稱矩陣，則|中=立《+…+*）.

;=1

例6.證明：實(shí)對(duì)稱矩陣A是半正定的充分必要條件是A的一切主子式全大于或等于零（所

“宿44a'A

謂k階主子式是指形為a,,a,.,…的k階子式，其中.

IioJT14'IK

作業(yè)、討論題、思考題：系統(tǒng)總結(jié)矩陣合同與二次型理論

參考資料、主要外語詞匯：

1、《高等代數(shù)習(xí)題解》，楊子胥編，濟(jì)南：山東科技出版社，1986.

課后小結(jié)：

《高等4代數(shù)》課程教案

課次7|學(xué)時(shí)|2授課類型理論課

0I

授課章、節(jié)：第六章線性空間§1集合映射

教學(xué)目的、要求：掌握映射、單射、滿射(映上的映射)、一一映射、逆映射等概念

教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：映射與變換滿足結(jié)合律及可逆的條件

教學(xué)基本內(nèi)容教學(xué)方法

一、集合黑板講

集合是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，所謂集合就是指作為整體看的一堆東西.組成集合的授

東西稱為這個(gè)集合的元素.所謂給出一個(gè)集合就是規(guī)定這個(gè)集合是由哪些元素組成的.

列舉法、描述法.M={0|a具有的性質(zhì)}不包含任何元素的集合稱為空集，記作

如果兩個(gè)集合M與N含有完全相同的元素，那么它們就稱為相等，記為.如果

集合M的元素全是集合N的元素，那么M就稱為N的子集合，記為MuN或

NnM.MuN,NuM=M=N.設(shè)M和N是兩個(gè)集合,既屬于M又屬于N

的全體元素所成的集合稱為M與N的交，記為MPIN.屬于集合M或者屬于集合N

的全體元素所成的集合稱為M與N的并，記為MUN.

二、映射

設(shè)兩個(gè)集合M,AT,所謂集合M到集合M'的一個(gè)映射就是指一個(gè)法則，它使M中每

一個(gè)元素。都有中一個(gè)確定的元素,與之對(duì)應(yīng).如果映射(7使元素與元素

a&M對(duì)應(yīng)，那么就記為cr(a)=a',a’就為a在映射cr下的像，而a稱為,在映射er下

的一個(gè)原像.M至，自身的映射，有時(shí)也稱為M到自身的變換.集合M到集合“'的

兩個(gè)映射cr及？，若對(duì)M的每個(gè)元素。都有cr(a)=r(a),則稱它們相等，記作cr=r.例題講

例1整數(shù)集，2偶數(shù)集，定義＜7(〃)=2”,凡e，這是到2的一個(gè)映射.解

例2MeP"x",定義,(A)=|A|,AwM.這是M到P的一個(gè)映射.

例3MeP"x",定義=E單位矩陣，這是P到M的一個(gè)映射.

例4W(x)e”幻，定義cr(/(x))=f\x)這是P[x]到自身的一個(gè)映射.

例5設(shè)3a0eM',定義cr(a)=/，aeA/.這是"到W的一個(gè)映射.

例6設(shè)M是一個(gè)集合，定義＜r(a)=a,aeM.即o?把M的每個(gè)元素都映到它自身，

稱為M的恒等映射或單位映射，記為1”.

例7函數(shù)y=/(x)是實(shí)數(shù)集合到自身的映射，函數(shù)是映射的特殊情形.

黑板講

對(duì)于映射可以定義乘法，設(shè)。及r分別是集合M到M',M'到M"的映射，乘積r定

授

義為(Tcr)(a)=r(cr(a)),a&M,即相繼施行er和T的結(jié)果，w是M到的一個(gè)映

射.對(duì)于集合集合M到M'的任何一個(gè)映射b顯然都有=crl,%=(7.映射的乘法

適合結(jié)合律.設(shè)cr,7,〃分別是集合M到“'，M'到AT,AT到的映射，映射乘

法的結(jié)合律就是(〃力＜7=設(shè)cr是集合M到M'的一個(gè)映射，用cr(M)代表M

在映射cr下像的全體，稱為M在映射cr下的像集合.顯然a(M)uA/'.如果

b(M)=M',映射cr稱為映上的或滿射.如果在映射。下，M中不同元素的像也一定

不同，即由4N。2一定有b(4)W(7(/)，那么映射(T就稱為1—1的或單射.一個(gè)映射如

果既是單射又是滿射就稱1-1對(duì)應(yīng)或雙射.對(duì)于M到M'的雙射CT可以自然地定義它

的逆映射，記為因?yàn)?。為滿射，所以M'中每個(gè)元素都有原像，又因?yàn)椤Ｊ菃紊洌?/p>

所以每個(gè)元素只有一個(gè)原像，定義crT(a')=a，當(dāng)b(a)=a'.顯然，＜7^是A/'到M的

一個(gè)雙射，并且0"一?=1,"，皿一|=1"，.不難證明，如果cr,r分別是M到AT,到

的雙射，那么乘積q就是M到M”的一個(gè)雙射.

作業(yè)、討論題、思考題P2651,2深刻理解映射與變換的運(yùn)算與意義

參考資料、主要外語詞匯：

1、《高等代數(shù)與解析幾何》，陳志杰編，北京：高等教育出版社，2002.

2、《高等代數(shù)習(xí)題解》，楊子胥編，濟(jì)南：山東科技出版社，1986.

集合set變換transformation單射injection滿射surjection

雙射bijection單位映射identitymapping逆映射Inversemapping

課后小結(jié)：

《高等4代數(shù)》課程教案

課次8學(xué)時(shí)2授課類型理論課

授課章、節(jié)：第六章線性空間§2線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)

0教學(xué)目的、要求：正確理解和掌握線性空間的定義及性質(zhì)，會(huì)判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否是線性空間。

教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：線性空間的定義

教學(xué)基本內(nèi)容教學(xué)方法

一、線性空間的定義.

例1在解析幾何里，討論過三維空間中的向量.平行四邊形法則所定義的向量的加法，

實(shí)數(shù)與向量的乘法.這兩種運(yùn)算空間上向量的上述兩種運(yùn)算滿足八條運(yùn)算規(guī)律.

例2.數(shù)域P上一切矩陣所成的集合對(duì)于矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法滿足上述規(guī)律.

定義1令V是一個(gè)非空集合，P是一個(gè)數(shù)域.在集合V的元素之間定義了一種代數(shù)運(yùn)

算，叫做加法：對(duì)于V中任意兩個(gè)向量a與。，在V中都有唯一的一個(gè)元素?與它們對(duì)

應(yīng)，稱為a與，的和，記為y=a+〃.在數(shù)域P與集合V的元素之間還定義了一種運(yùn)

黑板講

算，叫做數(shù)量乘法：對(duì)于數(shù)域P中任一個(gè)數(shù)人與V中任一個(gè)元素a,在V中都有唯一的

授

一個(gè)元素6與它們對(duì)應(yīng)，稱為攵與a的數(shù)量乘積，記為8-ka.如果加法與數(shù)量乘法滿

o足下述規(guī)則，那么V稱為數(shù)域P上的線性空間.

加法滿足下面四條規(guī)則：1)a+/3=p+a\2)(a+￡)+y=a+(6+/);3)F中有一

個(gè)元素0,VawY,都有a+0=a(具有這個(gè)性質(zhì)的元素0稱為V的零元素)；4)

VaG匕m/?G匕使得a+Z?=O(￡稱為a的負(fù)元素).

數(shù)量乘法滿足下面兩條規(guī)則：5)la=a；6)k(la)-(kl)a；

數(shù)量乘法與加法滿足下面兩條規(guī)則：7)(A+/)a=hr+/a；8)k(a?=ka+k"

在以上規(guī)則中，％]等表示數(shù)域P中任意數(shù)；a,夕,丁等表示集合V中任意元素.

例3數(shù)域尸上一元多項(xiàng)式環(huán)P[x],按通常的多項(xiàng)式加法和數(shù)與多項(xiàng)式的乘法，構(gòu)成一個(gè)

數(shù)域P上的線性空間.如果只考慮其中次數(shù)小于〃的多項(xiàng)式，再添上零多項(xiàng)式也構(gòu)成數(shù)

域P上的一個(gè)線性空間，用“表示.例題講

例4元素屬于數(shù)域P的〃2X"矩陣，按矩陣的加法和數(shù)與矩陣的數(shù)量乘法，構(gòu)成數(shù)域P解

0上的一個(gè)線性空間，用P"'x"表示.

例5全體實(shí)函數(shù)，按函數(shù)加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成一個(gè)實(shí)數(shù)域上的線性空間.

例6數(shù)域P按照本身的加法與乘法，即構(gòu)成一個(gè)自身上的線性空間.

例7以下集合對(duì)于所指定的運(yùn)算是否作成實(shí)數(shù)域R上的線性空間：

1)平面上全體向量所作成的集合V,對(duì)于通常向量的加法和如下定義的純量乘

法：aa=0,ae7?,?GV.

2)R上〃次多項(xiàng)式的全體所作成的集合W對(duì)于多項(xiàng)式的加法和數(shù)與多項(xiàng)式的乘法.

例8設(shè)V是正實(shí)數(shù)集，R為實(shí)數(shù)域.規(guī)定：a十戶=a^(即a與月的積