實(shí)驗(yàn)報(bào)告-數(shù)據(jù)濾波和數(shù)據(jù)壓縮實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)題目：使用Haar小波和傅里葉變換方法濾波及數(shù)據(jù)壓縮1實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?）掌握離散數(shù)據(jù)的Haar小波變換和傅里葉變換的定義，基本原理和方法（2）使用C++實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的Haar小波變換和離散傅里葉變換（3）掌握數(shù)據(jù)濾波的基本原理和方法（4）掌握使用Haar小波變換和離散傅里葉變換應(yīng)用于數(shù)據(jù)壓縮的基本原理和方法，并且對(duì)兩種數(shù)據(jù)壓縮進(jìn)行評(píng)價(jià)2實(shí)驗(yàn)步驟2.1算法原理2.1.1Haar小波變換 （1）平均，細(xì)節(jié)及壓縮原理 設(shè){x1，x2}是一組兩個(gè)元素組成的信號(hào)，定義平均與細(xì)節(jié)為，。則可以將{a，d}作為原信號(hào)的一種表示，且信號(hào)可由{a，d}恢復(fù)，，。 由上述可以看出，當(dāng)x1，x2非常接近時(shí)，d會(huì)很小。此時(shí)，{x1，x2}可以近似的用{a}來表示，由此實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的壓縮。重構(gòu)的信號(hào)為{a，a}，誤差信號(hào)為。因此，平均值a可以看做是原信號(hào)的整體信息，而d可以看成是原信號(hào)的細(xì)節(jié)信息。用{a}近似的表示原信號(hào)，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)原信號(hào)的壓縮，而且丟失的細(xì)節(jié)對(duì)于最終信號(hào)的重構(gòu)不會(huì)有重大影響。對(duì)于多元素的信號(hào)，可以看成是對(duì)于二元信號(hào)的一種推廣。 （2）尺度函數(shù)和小波方程 在小波分析中，引入記號(hào)，其中，表示區(qū)間[1，0]上的特征函數(shù)。定義 稱為Haar尺度函數(shù)。由上式可知，都可以由伸縮和平移得到。 小波分析中，對(duì)于信號(hào)有不同分辨率的表示，當(dāng)用較低分辨率來表示原始信號(hào)時(shí)，會(huì)丟失細(xì)節(jié)信息，需要找到一個(gè)函數(shù)來描述這種信息，該函數(shù)稱之為小波函數(shù)。基本的小波函數(shù)定義如下： 則。稱為Haar小波。稱為兩尺度方程，稱為小波方程。（3）Haar小波變換計(jì)算方法設(shè)是一個(gè)長(zhǎng)度為(n>1)的離散信號(hào)序列，記為，該序列可以用如下的帶有尺度函數(shù)來表示：一次小波分解的結(jié)果： 對(duì)上式積分，由尺度函數(shù)的正交性，可得。令k=0，得到。一般的，有 同理 2.1.2傅里葉變換（1）一維連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換定義設(shè)f(t)為連續(xù)的時(shí)間信號(hào)，則定義為f(t)的傅里葉變換，其反變換為。（2）一維離散傅里葉變換對(duì)連續(xù)的時(shí)間信號(hào)f(t)等間隔采樣，得到離散序列f(n)。假設(shè)采樣N次，則序列表示為。令n為離散變量，u為離散頻率變量，則一維離散傅里葉變換及其反變換定義：開始開始讀取原始數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)f(n),變換后A(n)對(duì)A(n)小波逆變換IDWT，得f1(n)計(jì)算f(n)和f1(n)差異結(jié)束圖2Haar小波壓縮數(shù)據(jù)差異計(jì)算流程圖 圖2是計(jì)算使用Haar小波進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮后，與原始數(shù)據(jù)差異。圖中的f(n)表示原始數(shù)據(jù)，A(n)是小波變化結(jié)果，f1(n)表示逆變換結(jié)果。開始開始讀取原始數(shù)據(jù)f(n)傅里葉變換FFT,得到F(u)變換結(jié)果F(u)濾波F(u)數(shù)據(jù)寫入文件結(jié)束圖3離散傅里葉變換流程圖 圖3是傅里葉變換流程圖。原始數(shù)據(jù)是eggs.txt。對(duì)F(u)濾波時(shí)，舍棄高頻信息。計(jì)算結(jié)果寫入fft.txt文件中。開始開始讀取原始數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)f(n),變換后F1(u)對(duì)F1(u)傅里葉逆變換IFFT，得到f1(n)計(jì)算f(n)和f1(n)的差異結(jié)束圖4離散傅里葉變換壓縮數(shù)據(jù)差異計(jì)算流程圖 圖4是傅里葉變化壓縮數(shù)據(jù)后的差異計(jì)算。傅里葉逆變換時(shí)，對(duì)于高頻分量補(bǔ)零，與低頻分量來恢復(fù)數(shù)據(jù)f1(n)。3實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析（1）傅里葉變換圖5測(cè)試數(shù)據(jù)集的FFT變換及IFFT變換結(jié)果 在上圖中，得到測(cè)試數(shù)據(jù)集的傅里葉變換結(jié)果。圖中帶括號(hào)的是數(shù)據(jù)變換的復(fù)數(shù)結(jié)果，后邊的小數(shù)是變換后的幅值?？梢钥闯觯诟道锶~變換的結(jié)果中，有1/2的數(shù)據(jù)經(jīng)過變換之后變?yōu)?值。這部分為0值的數(shù)據(jù)可以采用壓縮方式存儲(chǔ)，從而壓縮原始數(shù)據(jù)。并且，經(jīng)過傅里葉反變換后，原始數(shù)據(jù)可以得到良好的恢復(fù)。圖6eggs.txt數(shù)據(jù)傅里葉變換結(jié)果 使用eggs.txt中的數(shù)據(jù)時(shí)，由于數(shù)據(jù)量較大，此處只是部分?jǐn)?shù)據(jù)截圖。數(shù)據(jù)不足的部分用零補(bǔ)齊?？梢钥闯?，變換后的數(shù)據(jù)幅值較大，且基本沒有為0數(shù)據(jù)。此時(shí)，采用閾值進(jìn)行濾波處理，取閾值，即將閾值小于30的值置為0。（2）小波變換圖7測(cè)試數(shù)據(jù)集的小波變換DWT 由上圖的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，數(shù)據(jù)經(jīng)過小波變換后，其能量集中于數(shù)據(jù)的靠前的小波系數(shù)。對(duì)于相同的數(shù)據(jù)集，可以采用不同級(jí)別的小波變換數(shù)據(jù)。圖8eggs.txt數(shù)據(jù)小波變換結(jié)果 由上圖，對(duì)于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，經(jīng)過小波變換后，大部分的數(shù)據(jù)都為0。正式小波變換的這一特點(diǎn)，使得小波變換可以用于數(shù)據(jù)的壓縮。4實(shí)驗(yàn)結(jié)論 在文章的上兩節(jié)中，分別介紹了使用傅里葉變換和小波變換處理數(shù)據(jù)的方法。由實(shí)驗(yàn)中，可以得到以下兩點(diǎn)：第一，傅里葉變換時(shí)數(shù)據(jù)的整體變換方法，數(shù)據(jù)經(jīng)過傅里葉變化后，其能量主要集中在變換結(jié)果的靠前的數(shù)據(jù)部分，對(duì)于后邊的能量較小的部分，對(duì)于原始數(shù)據(jù)的差異描述，在存儲(chǔ)時(shí)可以忽略，從而進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮。第二，小波變換的方法是既考慮數(shù)據(jù)整體性，又考慮數(shù)據(jù)的局部性。數(shù)據(jù)小波變換后，小波變換的前半部分系數(shù)表示數(shù)據(jù)的整體，后半部分表示數(shù)據(jù)的細(xì)節(jié)特征，對(duì)于一個(gè)連續(xù)的信號(hào)，其細(xì)節(jié)部分是微小的，可以忽略，從而使得小波變換的后半部分系數(shù)為0，從而實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)的壓縮。小波變換可以在不同的層級(jí)上進(jìn)行。 對(duì)于一個(gè)連續(xù)的信號(hào)，采用傅里葉變換或是小波變換，數(shù)據(jù)可以得到較好的恢復(fù)，例如實(shí)驗(yàn)中的測(cè)試樣本數(shù)據(jù)。對(duì)于給定的eggs.txt數(shù)據(jù)集，由于其波動(dòng)較大，細(xì)節(jié)差異超過了原始信號(hào)，對(duì)其進(jìn)行壓縮，恢復(fù)得到的數(shù)據(jù)跟原始數(shù)據(jù)的差異很大。5實(shí)驗(yàn)心得體會(huì)（1）傅里葉變換和小波變換的原始數(shù)據(jù) 快速傅里葉變換和小波變換處理的數(shù)據(jù)都是個(gè)。對(duì)于不足N的數(shù)據(jù)，用零補(bǔ)齊后進(jìn)行相應(yīng)的變換，原始數(shù)據(jù)實(shí)際上改變。（2）數(shù)據(jù)恢復(fù) 數(shù)據(jù)壓縮后，為了得到數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)恢復(fù)是必須的。對(duì)于傅里葉變換，采用傅里葉反變換的方法，可以得到壓縮數(shù)據(jù)的回復(fù)數(shù)據(jù)；對(duì)于小波變換，則采用小波重構(gòu)的方式。由于采用的壓縮方式是有損的，所以恢復(fù)得到數(shù)據(jù)并非原始數(shù)據(jù)。（3）小波變換可以得到數(shù)據(jù)的不同分辨率的表示，對(duì)于數(shù)據(jù)的濾波和壓縮也可以在不同的分辨率上進(jìn)行。原始數(shù)據(jù)是最高分辨率。采用的分辨率越高，則對(duì)于數(shù)據(jù)的壓縮比越小。（4）對(duì)于非個(gè)數(shù)據(jù)的原始數(shù)據(jù)集（不采用補(bǔ)零方式），其傅里葉變換應(yīng)如何計(jì)算？參考文獻(xiàn)[1]數(shù)據(jù)挖掘：概念與技術(shù)/（加）韓家煒，（加）坎伯（Kamber,M.）著；范明等譯.-北京：