2024屆河北省固安三中數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆河北省固安三中數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在精準(zhǔn)扶貧工作中，有6名男干部、5名女干部，從中選出2名男干部、1名女干部組成一個扶貧小組分到某村工作，則不同的選法共有()A．60種 B．70種 C．75種 D．150種2．將函數(shù)的圖象向右平移個周期后，所得圖象關(guān)于軸對稱，則的最小正值是（）A． B． C． D．3．已知三棱錐且平面，其外接球體積為（）A． B． C． D．4．已知為圓的一條直徑，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式組則的取值范圍為（）A． B．C． D．5．設(shè)，則（）A． B． C． D．6．小王因上班繁忙，來不及做午飯，所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12：00~12：10之間隨機(jī)到達(dá)小王所居住的樓下，則小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是（）A． B． C． D．7．復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C．2 D．8．已知雙曲線的一個焦點(diǎn)為，且與雙曲線的漸近線相同，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A． B． C． D．9．已知集合A＝{x∈N|x2＜8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，則＝（）A．{2，3，4，5} B．{2，3，4，5，6}C．{1，2，3，4，5，6} D．{1，3，4，5，6，7}10．如圖，長方體中，，，點(diǎn)T在棱上，若平面.則（）A．1 B． C．2 D．11．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．設(shè)復(fù)數(shù)z＝，則|z|＝（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個房間的地面是由12個正方形所組成，如圖所示.今想用長方形瓷磚鋪滿地面，已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩塊相鄰的正方形，即或，則用6塊瓷磚鋪滿房間地面的方法有_______種.14．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的焦距為，若過右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與兩條漸近線圍成的三角形面積為，則雙曲線的離心率為____________.15．已知等邊三角形的邊長為1．,點(diǎn)、分別為線段、上的動點(diǎn),則取值的集合為__________．16．已知雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的焦距為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2019年入冬時節(jié)，長春市民為了迎接2022年北京冬奧會，增強(qiáng)身體素質(zhì)，積極開展冰上體育鍛煉.現(xiàn)從速滑項(xiàng)目中隨機(jī)選出100名參與者，并由專業(yè)的評估機(jī)構(gòu)對他們的鍛煉成果進(jìn)行評估打分（滿分為100分）并且認(rèn)為評分不低于80分的參與者擅長冰上運(yùn)動，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求的值；（2）將選取的100名參與者的性別與是否擅長冰上運(yùn)動進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請將下列列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率在不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動與性別有關(guān)系？擅長不擅長合計(jì)男性30女性50合計(jì)1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）18．（12分）已知a>0，b>0，a+b=2.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）證明：19．（12分）在三棱柱中，，，，且.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)二面角的大小為，求的值.20．（12分）橢圓：（）的離心率為，它的四個頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求證：直線恒過一個定點(diǎn).21．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22．（10分）如圖，在正四棱柱中，，，過頂點(diǎn)，的平面與棱，分別交于，兩點(diǎn)（不在棱的端點(diǎn)處）.（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求證：與不垂直；（3）若平面與棱所在直線交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形為菱形時，求長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)題意，分別計(jì)算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數(shù)，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，從6名男干部中選出2名男干部，有種取法，從5名女干部中選出1名女干部，有種取法，則有種不同的選法；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理問題，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解析】

由函數(shù)的圖象平移變換公式求出變換后的函數(shù)解析式，再利用誘導(dǎo)公式得到關(guān)于的方程，對賦值即可求解.【詳解】由題意知，函數(shù)的最小正周期為,即,由函數(shù)的圖象平移變換公式可得，將函數(shù)的圖象向右平移個周期后的解析式為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以，即，所以當(dāng)時，有最小正值為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象平移變換公式和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及正余弦函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握誘導(dǎo)公式和正余弦函數(shù)的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.3、A【解析】

由,平面,可將三棱錐還原成長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,進(jìn)而求解.【詳解】由題,因?yàn)?所以,設(shè),則由,可得,解得,可將三棱錐還原成如圖所示的長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,設(shè)外接球的半徑為,則,所以,所以外接球的體積.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球體積,考查空間想象能力.4、D【解析】

首先將轉(zhuǎn)化為，只需求出的取值范圍即可，而表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與圓心距離，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】作出可行域如圖所示設(shè)圓心為，則,過作直線的垂線，垂足為B，顯然，又易得，所以，，故.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查與線性規(guī)劃相關(guān)的取值范圍問題，涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、點(diǎn)到直線的距離等知識，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，是一道中檔題.5、D【解析】

結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可判斷出,,,即可選出答案.【詳解】由,即,又,即,,即,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了幾個數(shù)的大小比較,考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

設(shè)出兩人到達(dá)小王的時間，根據(jù)題意列出不等式組，利用幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣小哥到達(dá)小王所居住的樓下的時間分別為，以12：00點(diǎn)為開始算起，則有，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如圖所示：圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域，所以小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率為：.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.7、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡出，即可得出虛部.【詳解】解：=，故虛部為-2.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念.8、B【解析】

根據(jù)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸和漸近線方程設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求解.【詳解】∵雙曲線與的漸近線相同，且焦點(diǎn)在軸上，∴可設(shè)雙曲線的方程為，一個焦點(diǎn)為，∴，∴，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點(diǎn)求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，易錯點(diǎn)在于漏掉考慮焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸導(dǎo)致方程形式出錯.9、C【解析】

根據(jù)集合的并集、補(bǔ)集的概念，可得結(jié)果.【詳解】集合A＝{x∈N|x2＜8x}＝{x∈N|0＜x＜8}，所以集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，故＝{1，4，5，6}，所以＝{1，2，3，4，5，6}.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查的是集合并集，補(bǔ)集的概念，屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可知；結(jié)合即可證明，進(jìn)而求得.由線段關(guān)系及平面向量數(shù)量積定義即可求得.【詳解】長方體中，，點(diǎn)T在棱上，若平面.則，則，所以，則，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

對分類討論，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【詳解】函數(shù)，由得或解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)性質(zhì)解不等式，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

先用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算將復(fù)數(shù)化簡，然后用模長公式求模長.【詳解】解：z＝＝＝＝﹣﹣,則|z|＝＝＝＝.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、11【解析】

將圖形中左側(cè)的兩列瓷磚的形狀先確定，再由此進(jìn)行分類，在每一類里面又分按兩種形狀的瓷磚的數(shù)量進(jìn)行分類，在其中會有相同元素的排列問題，需用到“縮倍法”.采用分類計(jì)數(shù)原理，求得總的方法數(shù).【詳解】（1）先貼如圖這塊瓷磚，然后再貼剩下的部分，按如下分類：5個：，3個，2個：，1個，4個：，（2）左側(cè)兩列如圖貼磚，然后貼剩下的部分：3個：，1個，2個：，綜上，一共有（種）.故答案為：11.【點(diǎn)睛】本題考查了分類計(jì)數(shù)原理，排列問題，其中涉及到相同元素的排列，用到了“縮倍法”的思想.屬于中檔題.14、【解析】

利用即可建立關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，過右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，則，，由已知，，即，所以，離心率.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，做此類題的關(guān)鍵是建立的方程或不等式，是一道容易題.15、【解析】

根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)三角形各點(diǎn)的坐標(biāo),依題意求出,,,的表達(dá)式,再進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算,最后求和即可得出結(jié)果.【詳解】解:以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,,則,,,設(shè),,,即點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,,,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)表示和線性運(yùn)算,以及平面向量基本定理和數(shù)量積的運(yùn)算,是中檔題.16、1【解析】

由雙曲線的漸近線，以及求得的值即可得答案．【詳解】由于雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，即①，把代入，得，即②又③聯(lián)立①②③，得．所以．故答案是：1．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，注意題目“雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為”這一條件的運(yùn)用，另外注意題目中要求的焦距即，容易只計(jì)算到，就得到結(jié)論．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）填表見解析；不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動與性別有關(guān)系【解析】

（1）利用頻率分布直方圖小長方形的面積和為列方程，解方程求得的值.（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，計(jì)算出的值，由此判斷不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動與性別有關(guān)系.【詳解】（1）由題意，解得.（2）由頻率分布直方圖可得不擅長冰上運(yùn)動的人數(shù)為.完善列聯(lián)表如下：擅長不擅長合計(jì)男性203050女性104050合計(jì)3070100，對照表格可知，，不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動與性別有關(guān)系.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算小長方形的高，考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題.18、（Ⅰ）最小值為；（Ⅱ）見解析【解析】

（1）根據(jù)題意構(gòu)造平均值不等式，結(jié)合均值不等式可得結(jié)果；（2）利用分析法證明，結(jié)合常用不等式和均值不等式即可證明.【詳解】（Ⅰ）則當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，所以的最小值為．（Ⅱ）要證明：，只需證：，即證明：，由，也即證明：．因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時，有，即，當(dāng)時等號成立．所以【點(diǎn)睛】本題考查均值不等式，分析法證明不等式，審清題意，仔細(xì)計(jì)算，屬中檔題.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）要證明平面平面，只需證明平面即可；（2）取的中點(diǎn)D，連接BD，以B為原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面的法向量為與平面的法向量為，利用夾角公式計(jì)算即可.【詳解】（1）在中，，所以，即.因?yàn)?，，，所?所以，即.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由題意知，四邊形為菱形，且，則為正三角形，取的中點(diǎn)D，連接BD，則.以B為原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，且，.由得取.由四邊形為菱形，得；又平面，所以；又，所以平面，所以平面的法向量為.所以.故.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的問題，在利用向量法時，關(guān)鍵是點(diǎn)的坐標(biāo)要寫準(zhǔn)確，本題是一道中檔題.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)列出方程組，即可得出橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，，由，，結(jié)合斜率公式化簡得出，，即，滿足，由的任意性，得出直線恒過一個定點(diǎn).【詳解】（1）依題意得，解得即橢圓：；（2）設(shè)點(diǎn)，，其中，由，得，即，注意到，于是，因此，滿足由的任意性知，，，即直線恒過一個定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓的方程，直線過定點(diǎn)問題，屬于中檔題.21、（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】試題分析：（1）先由公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；進(jìn)而列方程組求數(shù)列的首項(xiàng)與公差，得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，再利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.試題解析：（1）由題意知當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以．設(shè)數(shù)列的公差為，由，即，可解得，所以．（2）由（1）知，又，得，，兩式作差，得所以．考點(diǎn)1、待