2024屆湖北省安陸第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2024屆湖北省安陸第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足：)若正整數(shù)使得成立，則（）A．16 B．17 C．18 D．192．甲、乙、丙三人相約晚上在某地會(huì)面，已知這三人都不會(huì)違約且無兩人同時(shí)到達(dá)，則甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的概率是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)滿足=1，則等于（）A．- B． C．- D．4．已知是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，則的解集是A． B．C． D．5．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F且EF=，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．AC⊥BE B．EF平面ABCDC．三棱錐A-BEF的體積為定值 D．異面直線AE,BF所成的角為定值6．已知集合，，若，則（）A．或 B．或 C．或 D．或7．已知正三角形的邊長(zhǎng)為2，為邊的中點(diǎn)，、分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn)，并滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．下列函數(shù)中既關(guān)于直線對(duì)稱，又在區(qū)間上為增函數(shù)的是()A．. B．C． D．9．若，滿足約束條件，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．若，則的虛部是A．3 B． C． D．11．設(shè)全集U=R，集合，則（）A． B． C． D．12．已知命題：是“直線和直線互相垂直”的充要條件；命題：對(duì)任意都有零點(diǎn)；則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知公差大于零的等差數(shù)列中，、、依次成等比數(shù)列，則的值是__________．14．已知，若的展開式中的系數(shù)比x的系數(shù)大30，則______．15．已知向量與的夾角為，||＝||＝1，且⊥（λ），則實(shí)數(shù)_____.16．現(xiàn)有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為x的小正方形，然后做成一個(gè)無蓋方盒，該方盒容積的最大值是________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：19．（12分）已知函數(shù)，.（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).20．（12分）已知數(shù)列為公差為d的等差數(shù)列，，，且，，依次成等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.21．（12分）眼保健操是一種眼睛的保健體操，主要是通過按摩眼部穴位，調(diào)整眼及頭部的血液循環(huán)，調(diào)節(jié)肌肉，改善眼的疲勞，達(dá)到預(yù)防近視等眼部疾病的目的.某學(xué)校為了調(diào)查推廣眼保健操對(duì)改善學(xué)生視力的效果，在應(yīng)屆高三的全體800名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行視力檢查，并得到如圖的頻率分布直方圖.（1）若直方圖中后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計(jì)全年級(jí)視力在5.0以上的人數(shù)；（2）為了研究學(xué)生的視力與眼保健操是否有關(guān)系，對(duì)年級(jí)不做眼保健操和堅(jiān)持做眼保健操的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到下表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為視力與眼保健操有關(guān)系？（3）在（2）中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取8人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，在這8人中任取2人，記堅(jiān)持做眼保健操的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87922．（10分）某省新課改后某校為預(yù)測(cè)2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班隨機(jī)抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計(jì)圖.（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖，估計(jì)本屆高三學(xué)生本科上線率.（2）已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬，假設(shè)以（1）中的本科上線率作為甲市每個(gè)考生本科上線的概率.（i）若從甲市隨機(jī)抽取10名高三學(xué)生，求恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線的概率（結(jié)果精確到0.01）；（ii）已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬，假設(shè)該市每個(gè)考生本科上線率均為，若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍.可能用到的參考數(shù)據(jù)：取，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

計(jì)算，故，解得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，且.故，，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.2、D【解析】

先判斷是一個(gè)古典概型，列舉出甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件種數(shù)，再得到甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的基本事件的種數(shù)，利用古典概型的概率公式求解.【詳解】甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6種，其中甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到有甲乙丙，共1種，所以甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的概率是.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

設(shè)的最小正周期為，可得，則，再根據(jù)得，又，則可求出，進(jìn)而可得.【詳解】解：設(shè)的最小正周期為，因?yàn)椋?，所以，所以，又，所以?dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，整理得，因?yàn)?，，，則所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，考查學(xué)生分析能力和計(jì)算能力，是一道難度較大的題目.4、D【解析】

先由是偶函數(shù)，得到關(guān)于直線對(duì)稱；進(jìn)而得出單調(diào)性，再分別討論和，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以關(guān)于直線對(duì)稱；因此，由得；又在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增；所以，當(dāng)即時(shí)，由得，所以，解得；當(dāng)即時(shí)，由得，所以，解得；因此，的解集是.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的性質(zhì)解對(duì)應(yīng)不等式，熟記函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性等性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.5、D【解析】

A．通過線面的垂直關(guān)系可證真假；B．根據(jù)線面平行可證真假；C．根據(jù)三棱錐的體積計(jì)算的公式可證真假；D．根據(jù)列舉特殊情況可證真假.【詳解】A．因?yàn)椋云矫?，又因?yàn)槠矫?，所以，故正確；B．因?yàn)?，所以，且平面，平面，所以平面，故正確；C．因?yàn)闉槎ㄖ担狡矫娴木嚯x為，所以為定值，故正確；D．當(dāng)，，取為，如下圖所示：因?yàn)椋援惷嬷本€所成角為，且，當(dāng)，，取為，如下圖所示：因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線所成角為，且，由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的綜合應(yīng)用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計(jì)算，難度較難.注意求解異面直線所成角時(shí)，將直線平移至同一平面內(nèi).6、B【解析】

因?yàn)?所以,所以或.若，則,滿足.若，解得或.若，則，滿足.若，顯然不成立，綜上或，選B.7、A【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線，設(shè)出點(diǎn)，通過，找出與的關(guān)系．通過數(shù)量積的坐標(biāo)表示，將表示成與的關(guān)系式，消元，轉(zhuǎn)化成或的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，求出其值域，即為的取值范圍．【詳解】以D為原點(diǎn)，BC所在直線為軸，AD所在直線為軸建系，設(shè)，則直線，設(shè)點(diǎn)，所以由得，即，所以，由及，解得，由二次函數(shù)的圖像知，，所以的取值范圍是．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查解析法在向量中的應(yīng)用，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用．8、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性的特點(diǎn)，利用排除法，即可得出答案.【詳解】A中，當(dāng)時(shí)，，所以不關(guān)于直線對(duì)稱，則錯(cuò)誤；B中，，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，則錯(cuò)誤；D中，，而，則，所以不關(guān)于直線對(duì)稱，則錯(cuò)誤；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)基本性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域，找到使直線的截距取最值得點(diǎn)，相應(yīng)坐標(biāo)代入即可求得取值范圍.【詳解】畫出可行域，如圖所示：由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值－5；經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值5，故.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)線性規(guī)劃求范圍，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

因?yàn)?，所以的虛部?故選B．11、A【解析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】，，則，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解析】

先分別判斷每一個(gè)命題的真假，再利用復(fù)合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線和直線，即直線為和直線互相垂直，所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件，當(dāng)直線和直線互相垂直時(shí)，，解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.：“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件，故是假命題．當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)，所以命題是假命題．所以是真命題，是假命題，是假命題，是假命題．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關(guān)系，考查二次函數(shù)的圖象，考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，化簡(jiǎn)求出公差與的關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化求解的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由于、、依次成等比數(shù)列，則，即，，解得，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、2【解析】

利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求得的值．【詳解】展開式通項(xiàng)為：且的展開式中的系數(shù)比的系數(shù)大，即：解得：（舍去）或本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15、1【解析】

根據(jù)條件即可得出，由即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出λ．【詳解】∵向量與的夾角為，||＝||＝1，且；∴；∴λ＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，以及向量垂直的充要條件．16、【解析】

由題意容積，求導(dǎo)研究單調(diào)性，分析即得解.【詳解】由題意：容積，，則，由得或（舍去），令則為V在定義域內(nèi)唯一的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，此時(shí).故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)建模，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】

（1）令可求得的值，令，由得出，兩式相減可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，運(yùn)用數(shù)列的分組求和和裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，得，即，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，.；（2）由（1）知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，.，.所以.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，注意結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和方法：分組求和法和裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．18、（1）遞減區(qū)間為（-1，0），遞增區(qū)間為（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)解析式，先求得導(dǎo)函數(shù)，由是函數(shù)的極值點(diǎn)可求得參數(shù).求得函數(shù)定義域，并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可判斷單調(diào)區(qū)間.（2）當(dāng)時(shí)，.代入函數(shù)解析式放縮為，代入證明的不等式可化為，構(gòu)造函數(shù)，并求得，由函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理可知存在唯一的，使得成立，因而求得函數(shù)的最小值，由對(duì)數(shù)式變形化簡(jiǎn)可證明，即成立，原不等式得證.【詳解】（1）函數(shù)可求得，則解得所以，定義域?yàn)椋趩握{(diào)遞增，而，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，此時(shí)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為（2）證明：當(dāng)時(shí)，，因此要證當(dāng)時(shí)，，只需證明，即令，則，在是單調(diào)遞增，而，∴存在唯一的，使得，當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)，單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，，，故，從而，即，結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)極值求參數(shù)，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)用，屬于難題.19、（1）（2）答案見解析（3）答案見解析【解析】

（1）設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線的斜率為，可求得，，利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求得答案；（2）由（Ⅰ）知，，分時(shí)，，三類討論，即可求得各種情況下的的單調(diào)區(qū)間為；（3）分與兩類討論，即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】（1），，設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線的斜率為，則，又，曲線在點(diǎn)，處的切線方程為：，即；（2）由（1）知，，故當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，；，，；的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，；綜上所述，時(shí)，單調(diào)遞增為，無遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，；（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，所以無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，得：，只有一個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想與推理、運(yùn)算能力，屬于中檔題．20、（1）（2）【解析】

（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)求出公差，從而求出，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.（2）由（1）求出，再利用裂項(xiàng)求和法即可求解.【詳解】（1），且，，依次成等比數(shù)列，，即：，，，，，；（2），.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)求和法，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）（2）能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為視力與眼保健操有關(guān)系（3）詳見解析【解析】

（1）由題意可計(jì)算后三組的頻數(shù)的總數(shù)，由其成等差數(shù)列可得后三組頻數(shù)，可得視力在5.0以上的頻率，可得全年級(jí)視力在5.0以上的的人數(shù)；（2）由