江西省宜春市上高縣2024屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1江西省宜春市上高縣2024屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則子集的個(gè)數(shù)為（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】由題知，，在點(diǎn)處的切線斜率為，則在處的切線方程為.因?yàn)橹本€與曲線相切于點(diǎn)，有且只有這一個(gè)公共點(diǎn)，故中有且只有一個(gè)元素，所以的子集個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選:B．2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.C D.【答案】A【解析】由，得，所以，故選：A.3.已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，則（）A.若且，則B.若且，則C.若且，則D.若且異面，則【答案】D【解析】對(duì)于A，若且，也有可能與相交，如下圖，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若且，也有可能與相交，如下圖，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若且，也有可能，如下圖，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若且異面，則，故D正確.故選：D.4.由于我國(guó)與以美國(guó)為首的西方國(guó)家在科技領(lǐng)域內(nèi)的競(jìng)爭(zhēng)日益激烈，美國(guó)加大了對(duì)我國(guó)一些高科技公司的打壓，為突破西方的技術(shù)封鎖和打壓，我國(guó)的一些科技企業(yè)積極實(shí)施了獨(dú)立自主?自力更生的策略，在一些領(lǐng)域取得了驕人的成績(jī).我國(guó)某科技公司為突破“芯片卡脖子”問題，實(shí)現(xiàn)芯片制造的國(guó)產(chǎn)化，加大了對(duì)相關(guān)產(chǎn)業(yè)的研發(fā)投入.若該公司2020年全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金為120億元，在此基礎(chǔ)上，計(jì)劃以后每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)9%，則該公司全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金開始超過200億元的年份是（）參考數(shù)據(jù)：.A.2024年 B.2025年 C.2026年 D.2027年【答案】C【解析】設(shè)2020年后第年該公司全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金開始超過200億元，由得，兩邊同取常用對(duì)數(shù)，得，所以，所以從2026年開始，該公司全年投入芯片制造方面的研發(fā)資金開始超過200億元.故選：C.5.設(shè)點(diǎn)是的重心，若，，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)是的中點(diǎn)，連接．因?yàn)槭堑闹匦?，所以因?yàn)?，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：C.6.已知函數(shù)，總有成立，且的最小值為.若，則的圖象的一條對(duì)稱軸方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于對(duì),總有成立，且的最小值為,所以,又，則,所以，所以，由于，所以，故，令,所以，故對(duì)稱軸方程為，取時(shí)，，故選：A.7.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A.3 B. C. D.2【答案】C【解析】設(shè)過與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點(diǎn)，由雙曲線的定義可得，由，可得，，，由可得，在三角形中，由余弦定理可得：，即有，化簡(jiǎn)可得，所以雙曲線的離心率．故選：C．8.已知，關(guān)于的方程()有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，圖像是由的圖像下方的部分向上翻折形成，如圖所示：令，當(dāng)時(shí)，等式為，矛盾，舍去；若，此時(shí)對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同根，若要湊四個(gè)根，則，不滿足題意，舍去；則有兩個(gè)不同的根，即，，故選：A.二、多選題9.下列命題是真命題的有（）A.分層抽樣調(diào)查后的樣本中甲、乙、丙三種個(gè)體的比例為3：1：2，如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為30B.某一組樣本數(shù)據(jù)為125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[114.5，124.5]內(nèi)的頻率為0.4C.甲、乙兩隊(duì)隊(duì)員體重的平均數(shù)分別為60，68，人數(shù)之比為1：3，則甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員體重的平均數(shù)為67D.一組數(shù)6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位數(shù)為5【答案】BD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)樣本的抽樣比等于各層的抽樣比，樣本容量為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的有120，122，116，120共4個(gè)，所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：甲、乙兩隊(duì)的人數(shù)之比為，則甲隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重為，乙隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重為，則甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員體重的平均數(shù)為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：將該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第9個(gè)數(shù)，該數(shù)為5，故選項(xiàng)D正確.10.一箱產(chǎn)品有正品10件，次品2件，從中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（）A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B.C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D.“至少有1件次品”和“都是正品”【答案】AD【解析】A：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同時(shí)發(fā)生，為互斥事件；B：“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；C：“至少有1件正品”的基本事件為{“有1件正品和1件次品”，“有2件正品”}，“至少有1件次品”的基本事件為{“有1件正品和1件次品”，“有2件次品”}，它們有共同的基本事件“有1件正品和1件次品”，不是互斥事件；D：由C分析知：“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同時(shí)發(fā)生，為互斥事件；故選：AD.11.已知三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，且，．（）A.面積的最大值為B.的最大值為C.的取值范圍為D【答案】AB【解析】對(duì)于A，由，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值為4，則面積，即面積的最大值為，A正確；對(duì)于B，由正弦定理得，則，，，顯然，有，，則當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為，B正確；對(duì)于C，，由，得，因此的取值范圍為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由余弦定理得，D錯(cuò)誤.故選：AB12.如圖，在正方體中，點(diǎn)滿足，且.記與所成角為與平面所成角為，則（）A.若，三棱錐的體積為定值B.若，存在，使得平面C.D.若，則在側(cè)面內(nèi)必存在一點(diǎn)，使得【答案】ABC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，根據(jù)平面向量基本定理知，則在上，則，平面，平面，則平面，則到平面距離為定值，又的面積為定值，因此四面體的體積為定值，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，取，則F為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，令，則為的中點(diǎn)，連接，顯然平面，平面，則平面，而，同理平面，又平面，因此平面平面，又平面，所以平面，B正確；對(duì)于C，過作交于，連接，由平面，得平面，而平面，有，顯然是與平面所成的角，即，由，得是與所成的角，即，所以，C正確；對(duì)于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，設(shè)，，則，于是始終為銳角，D錯(cuò)誤.

故選：ABC.三、填空題13.已知平面向量，若，則__________.【答案】【解析】由，得，解得，所以，故答案為：14.的展開式中的系數(shù)是__________．【答案】126【解析】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，所以的展開式中的系數(shù)為：．故答案為：.15.已知，函數(shù)在單調(diào)遞減，則的取值范圍為_________．【答案】【解析】因?yàn)椋衷谏蠁握{(diào)遞減，所以，，則，所以，令，因?yàn)椋?，所以，所以問題轉(zhuǎn)化為在（）上單調(diào)遞減，則問題轉(zhuǎn)化為在（）上單調(diào)遞減，又，，單調(diào)遞減區(qū)間為，，所以，所以，解得.故答案為：.16.設(shè)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，若，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】由，可得必為定值，設(shè)，即，由，解得，所以，則不等式，即為，可得，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.四、解答題17.在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知.（1）求角的大??；（2）設(shè)，，求的值.（1）解：由正弦定理得，即.∴，又，∴，則，又，故.（2）解：由，，可得，即，因?yàn)椋?，又，則，，所以，，∴.18.在中，角的對(duì)邊分別為的面積為，已知.（1）求角；（2）若的周長(zhǎng)為，求的最大值.解：（1）因?yàn)?，所以，即，由正弦定理，得，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，又，所?（2）由余弦定理，得，即，所以，即，因?yàn)?，，所以，所以，又（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即的最大值為.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)的和，數(shù)列的前項(xiàng)的和滿足，.（1）分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)的和.解：（1）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，滿足上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得即,所以，又當(dāng)時(shí)，，解得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴．（2）由（1）知：，①②得：．∴．20.如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，平面二面角的大小為，分別是的中點(diǎn)．（1）求證：平面（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）證明：連接，取的中點(diǎn)，連接分別是的中點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，又平面，分別是的中點(diǎn)，又平面平面，平面（2）解：平面平面又平面為二面角的平面角，即以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間坐標(biāo)系如圖所示：設(shè)則，，．設(shè)平面的法向量為，則，，令可得，到平面的距離，解得．，線段上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)A到平面EFM的距離為．且．21.某縣一高級(jí)中學(xué)是一所省級(jí)規(guī)范化學(xué)校，為適應(yīng)時(shí)代發(fā)展?百姓需要，該校在縣委縣政府的大力支持下，啟動(dòng)建設(shè)了一所高標(biāo)準(zhǔn)?現(xiàn)代化?智能化的新校，并由縣政府公開招聘事業(yè)編制教師，招聘時(shí)首先要對(duì)應(yīng)聘者的簡(jiǎn)歷進(jìn)行評(píng)分，評(píng)分達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，面試時(shí)應(yīng)聘者需要回答三道題，第一題考查教育心理學(xué)知識(shí)，答對(duì)得10分，答錯(cuò)得0分；第二題考查學(xué)科專業(yè)知識(shí)，答對(duì)得10分，答錯(cuò)得0分；第三題考查課題說(shuō)課，說(shuō)課優(yōu)秀者得15分，非優(yōu)秀者得5分．（1）若共有2000人應(yīng)聘，他們的簡(jiǎn)歷評(píng)分服從正態(tài)分布，80分及以上為達(dá)標(biāo)，估計(jì)進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)(結(jié)果四舍五入保留整數(shù))；（2）面試環(huán)節(jié)一應(yīng)聘者前兩題答對(duì)的概率均為，第三題被評(píng)為優(yōu)秀的概率為，每道題正確與否?優(yōu)秀與否互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績(jī)Y的分布列及其數(shù)學(xué)期望．附：若隨機(jī)變量，則解：（1）因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，所以因?yàn)椋赃M(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)約為317人；（2）記該應(yīng)聘者第題答對(duì)為事件，第3題優(yōu)秀為事件的可能取值為則所以的分布列為5152535所以的數(shù)學(xué)期望為.22.已知函數(shù)，(a，b∈R).（1）當(dāng)a=﹣1，b=0時(shí)，求曲線y=f(x)﹣g(x)在x=1處的切線方程；（2）當(dāng)b=0時(shí)，若對(duì)任意的x∈[1，2]，f(x)+g(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)a=0，b>0時(shí)，若方程f(x)=g(x)有兩