上海市閔行區(qū)六校2024屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1上海市閔行區(qū)六校2024屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、填空題1.已知集合，，且_______.【答案】【解析】因?yàn)?，集合，所以集合A，B交集即.故答案為：.2.不等式的解集是_______.【答案】【解析】不等式，即，解得.故答案為：3.某黨支部理論學(xué)習(xí)小組抽取了10位黨員在該學(xué)習(xí)平臺(tái)的學(xué)習(xí)成績(jī)?nèi)缦拢?3，85，88，90，91，91，92，93，96，97，則這10名黨員學(xué)習(xí)成績(jī)的分位數(shù)為______．【答案】93【解析】根據(jù)題意，10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大依次為83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，而，則這10名黨員學(xué)習(xí)成績(jī)的分位數(shù)為第8項(xiàng)數(shù)據(jù)93．故答案為：93．4.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，且終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則_______.【答案】【解析】由題設(shè)及正切函數(shù)的定義知：.故答案為：.5.函數(shù)的定義域?yàn)開_______________.【答案】【解析】由題意可得：，解得．6.設(shè)常數(shù)，若的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為-10，則________．【答案】-2【解析】∵的展開式的通項(xiàng)為，令，得，∴的系數(shù)是，∵項(xiàng)的系數(shù)為-10，∴，得.7.某校舉辦校運(yùn)動(dòng)會(huì)，需從某班級(jí)3名男同學(xué)4名女同學(xué)中選出3名志愿者，選出的3人中男女同學(xué)都有的概率為_______.【答案】【解析】根據(jù)題意,7人中選3人共有種方法，若選出的3人中男女同學(xué)都有，則選出為1男2女或2男1女，若選出1男2女，方法數(shù)為；若選出2男1女，方法數(shù)為；所以選出的3人中男女同學(xué)都有的方法數(shù)共有種所以選出的3人中男女同學(xué)都有的概率為.故答案為：.8.已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則_______.【答案】【解析】因?yàn)樵谥?，，，，所以由余弦定理得，，又因?yàn)椋?故答案為：9.設(shè)，求方程的解集__________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，原方程化為：，即，故此時(shí)；當(dāng)時(shí)，原方程化為：，即，故此時(shí)，與矛盾，舍掉；當(dāng)時(shí)，原方程化為：，即，解得，與矛盾，舍掉；當(dāng)時(shí)，原方程化為：，即，故此時(shí)；綜上所述：方程的解集為：.故答案為：.10.已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)m，n滿足，且，則_______.【答案】【解析】由題設(shè)，則，故，又，則，所以.故答案為：11.已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，總存在使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】函數(shù)在的值域?yàn)椋瘮?shù)在的值域?yàn)?，因?yàn)閷?duì)任意的，總存在使得成立，所以，所以，解得.故答案為：.12.設(shè)曲線與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)曲線仍然是某函數(shù)的圖像，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】設(shè)是在點(diǎn)處的切線，因?yàn)榍€與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線關(guān)于對(duì)稱后的直線方程必為，曲線才能是某函數(shù)的圖像，如圖所示直線與的角為，所以的傾斜角為，所以的方程為故聯(lián)立方程得，即，則，即所以，解得所以的取值范圍為.故答案為：.二、選擇題13.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】C【解析】顯然，在上單調(diào)遞增，若，則；若，則.故“”是“”的充要條件.故選：C14.記是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（）A.16 B.8 C.4 D.2【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，根據(jù)題意可知，解得；所以可得.故選：C15.函數(shù)的大致圖像為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)定義域?yàn)?，又因，所以函?shù)是奇函數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A和B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則，故C錯(cuò)誤.故選：D.16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B. C.0 D.【答案】D【解析】由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以討論情況如下：作圖像如下圖所示，關(guān)于的方程，解得或，由于與圖像有一個(gè)公共點(diǎn)，則圖像與圖像有三個(gè)公共點(diǎn)，如圖所示，，同理，時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的值是.故選：D.三、解答題17.如圖，在四棱錐中，底面，底面是正方形，.（1）求證：直線平面；（2）求直線與平面所成角的大小.（1）證明：底面，平面，，在正方形中，，又，平面，平面，平面；（2）解：由題意可建立以為原點(diǎn)，以、、所在直線分別為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：不妨設(shè)，則,0,，,1,，,0,，,1,，,0,，,1,，,0,，,1,，設(shè)平面的一個(gè)法向量為,,，則，取，則，，平面的一個(gè)法向量為,1,，設(shè)直線與平面所成的角為，則,，所以故直線與平面所成的角的的大小為．18.已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的值域.解：（1）由題設(shè)，令，則，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由，則，故，可得，所以的值域?yàn)?19.為了提高員工的工作積極性，某公司想修訂新的“員工激勵(lì)計(jì)劃”.新的計(jì)劃有以下兩點(diǎn)需求：①獎(jiǎng)金隨著銷售業(yè)績(jī)的提高而提高；②銷售業(yè)績(jī)?cè)黾訒r(shí)，獎(jiǎng)金增加的幅度逐漸上升；公司規(guī)定銷售業(yè)績(jī)?cè)?0萬(wàn)元或以內(nèi)時(shí)獎(jiǎng)金為0，超過(guò)10萬(wàn)元?jiǎng)t開始計(jì)算獎(jiǎng)金，銷售業(yè)績(jī)?yōu)?0萬(wàn)元時(shí)獎(jiǎng)金為2千元.設(shè)業(yè)績(jī)?yōu)槿f(wàn)元時(shí)獎(jiǎng)金為千元，現(xiàn)給出三個(gè)函數(shù)模型：①；②；③.其中，.（1）請(qǐng)選擇合適的函數(shù)模型符合該公司新的“員工激勵(lì)計(jì)劃”，并給出合理的解釋；（2）試根據(jù)（1）選擇的函數(shù)模型計(jì)算銷售業(yè)績(jī)?yōu)?00萬(wàn)元時(shí)的獎(jiǎng)金為多少千元？解：（1）選擇模型③，理由如下：當(dāng)時(shí)，由題意得①，②，③①②③函數(shù)均隨增加而增加，滿足第一點(diǎn)需求，但①②函數(shù)模型隨增加，的值不變或減小，即增加的幅度不變或減小，不滿足第二點(diǎn)需求；而③函數(shù)模型隨著增加，增加，即增加幅度增大，滿足第二點(diǎn)需求，故選擇模型③；（2）由題意得，，，解得：，故，所以.故銷售業(yè)績(jī)?yōu)?00萬(wàn)元時(shí)的獎(jiǎng)金為266千元.20.已知函數(shù).（1）若，，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，，點(diǎn)是函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)處切線的傾斜角為，求傾斜角的取值范圍；（3）若，對(duì)任意的，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）若，，則，得，P點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)P切線斜率為，所以切線方程為.（2）若，,則，，設(shè)函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)，則處切線斜率范圍為，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)；所以切線傾斜角的正切值，所以角的范圍為.（3）若，則，對(duì)任意的，，不妨設(shè)，由得即，令，則在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即，由當(dāng)時(shí)取最大值1，所以.21.對(duì)于函數(shù)，若函數(shù)是嚴(yán)格增函數(shù)，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）若，求的解析式，并判斷是否具有性質(zhì)；（2）判斷命題“嚴(yán)格減函數(shù)不具有性質(zhì)”是否為真命題，并說(shuō)明理由；（3）若函數(shù)具有性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并討論此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解：（1）因?yàn)?，所以，顯然，在上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以具有性質(zhì)（2）假命題，理由如下：例如，函數(shù)是上的嚴(yán)格減函數(shù)，而是上的嚴(yán)格增函數(shù)，此時(shí)，嚴(yán)格減函數(shù)具有性質(zhì)，故該命題為假命題（3）由題意知，，因?yàn)楹瘮?shù)具有性質(zhì)，所以，解得.由題意知，函數(shù)，令