北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教學(xué)設(shè)計(jì)：第四章圖形的相似

第四章圖形的相似

1成比例線段

專題綜合運(yùn)用比例性質(zhì)

1.若上士=?=士，且2a—b+3c=21,求4a—3b+c的值.

346

2.如圖，已知竺求證：AB+BC+CA^AE_

BEMECEBCME

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.成比例線段：在四條線段a,b,c,d中，如果。與b的比等于c與d的比，我們就把這

四條線段叫做成比例線段.

2.比例的基本性質(zhì)

Z7C

(1)如果石=7那么ad=bc,

(2)如果￡=§,那么b2=ac,

(3)如果"力那么喑=亨?

【溫馨提示】

四條線段的長(zhǎng)度單位不統(tǒng)一時(shí)，要化成統(tǒng)一的長(zhǎng)度單位后，再計(jì)算判斷是否成比例，防

止出錯(cuò).

【方法技巧】

1.比例式是等式，故可利用等式性質(zhì)將比例式變形.

2.遇到比例式時(shí)，可設(shè)輔助未知數(shù)即設(shè)這些比的比值為％,這種借助另一個(gè)未知數(shù)的解

題方法叫輔助未知數(shù)法.

3.利用比例的基本性質(zhì)可求長(zhǎng)度，通常是“知三求一”，有時(shí)也可以設(shè)適當(dāng)未知數(shù)列方程求

解.

參考答案：

a+2bc+5

1.解：設(shè)----=—=-----=k,貝Ia+2=3k,b=4k,c+5=6k,

346

即a=3k—2,b=4k,c=6k—5.

V2a-b+3c=21,A2(3k—2)-4k+3(6k—5)=21,

k-2..?.a=4,b=8,c=7.

.,.4a-3b+c=4x4-3x8+7=-l.

r.TnB..AB_AM_AC.AB+ACAM

BEMECEBE+CEEM

0nAB+ACAM.AB+BC+CAAM+ME

BCMEBCME

即AB+BC+CA-AE

BC~ME

2平行線分線段成比例

專題平行線分線段成比例定理的靈活運(yùn)用

如圖，AB〃CD、AD〃CE,F、G分別是AC和FD的中點(diǎn)，過G的直線依次交AB、

AD、CD、CE于點(diǎn)M、N、P、Q,求證：MN+PQ=2PN.

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.兩條直線被一組平行線所截，所得的應(yīng)對(duì)線段成比例。

2.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

【方法技巧】

1.當(dāng)題目中出現(xiàn)三條以上平行線，且求線段的長(zhǎng)度或比值時(shí)常利用平行線獲得比例線段.

2.證明比例式（或等積式）的常用方法是利用平行線分線段成比例定理，或者通過判定三

角形相似，有時(shí)要通過兩次相似的判定，等量代換，尋找中間比等才能得到待證的比例式.

參考答案:

證明：延長(zhǎng)BA、EC,設(shè)交點(diǎn)為0,則四邊形0ADC為平行四邊形.

是AC的中點(diǎn)，；.DF的延長(zhǎng)線必過0點(diǎn)，且99=’.

0G3

MNAN

：AB〃CD,?_______

"￥N-DN

?

；AD〃CE,￡Q=^Q

"PNDN

.MNPQ_AN,CQ_AN+CQ

>?----+----=----+----=---------

PNPNDNDNDN

2

又=.\0Q=3DN.

OQ0G3

.".CQ=OQ-OC=3DN-OC=3DN-AD,AN=AD-DN.

，AN+CQ=2DN.

.MN!PQ_AN+CQ

=2.即MN+PQ=2PN.

,~PNPNDN

3相似多邊形

專題與相似多角形的性質(zhì)與判定有關(guān)的題

1.相似多邊形指的是（）

A.各角都相等的多邊形

B.各邊都相等的多邊形

C.各邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形

D.邊數(shù)相同，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的多邊形

3.圖中的兩個(gè)多邊形相似嗎？說說你判斷的理由.

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.各角分別相等，各邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.

2.相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

【溫馨提示】

相似多邊形的性質(zhì)為：①對(duì)應(yīng)角相等；②對(duì)應(yīng)邊的比相等.

【方法技巧】

找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊是解決本題的關(guān)鍵.

參考答案

1.D

2.解：?.?相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例，

A12：18=21：x,

解得：x=31.5.

3.解：不相似.

理由：VZD=360°-135°-95°-72°=58°,ZE=360°-135°-95°-59°=71°,

.??兩個(gè)四邊形中不可能有“對(duì)應(yīng)角相等”，

又???沒法判定對(duì)應(yīng)邊成比例，

.?.不相似.

4探索三角形相似的條件

專題一與相似三角形判定有關(guān)的題

1.如圖，P是RtZ\ABC斜邊AB上任意一點(diǎn)（A,B兩點(diǎn)除外），過P點(diǎn)作一直線，使截得的

三角形與相似，這樣的直線可以作（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

2.如圖所示，正方形ABC。邊長(zhǎng)是2,BE=CE,MN=1,線段MN的端點(diǎn)M、N分別在

CD、上滑動(dòng)，當(dāng)DM=時(shí)，AABE與以。、M、N為頂點(diǎn)的三角形相似.

AND

BEC

3.（2012?懷化）如圖，已知AB是。O的弦，08=4,/OBC=30°,點(diǎn)C是弦AB上任意

一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)C。并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)D,連結(jié)A。、DB.

（1）當(dāng)NADC=18°時(shí),求/。08的度數(shù)；

（2）若AC=2小，求證：MACDsXOCB.

專題二黃金分割在實(shí)際中的應(yīng)用

4.美是一種感覺，本應(yīng)沒有什么客觀的標(biāo)準(zhǔn)，但在自然界里，物體形狀的比例卻提供了在

勻稱與協(xié)調(diào)上的一種美感的參考，在數(shù)學(xué)上，這個(gè)比例稱為黃金分割.在人體軀干（由腳

底至肚臍的長(zhǎng)度）與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點(diǎn)，也就是說，若此比值越接

近0.618,就越給別人一種美的感覺.如果某女士身高為1.65m,軀干與身高的比為0.60,

為了追求美，她想利用高跟鞋達(dá)到這一效果，那么她選的高跟鞋的高度約為（）

A.2.5cmB.5.3cm

C.7.8cmD.8.5cm

5.（2012?宿遷）如圖，已知產(chǎn)是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且南〉P8,若S表示勿為一邊

的正方形的面積，S2表示長(zhǎng)是AB,寬是PB的矩形的面積，則&S2.（填“>”

或“<”）

/----p—

6.寬與長(zhǎng)之比為，一：1的矩形叫黃金矩形，黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協(xié)調(diào)、

勻稱的美感，如圖，如果在一個(gè)黃金矩形里畫一個(gè)正方形，那么留下的矩形還是黃金矩

形嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.相似三角形的定義

三角分別相等、三邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.

2.相似三角形的條件

(1)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.

(2)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.

(3)三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.

3.黃金分割

一般的，點(diǎn)C把線段48分成兩條線段AC和BC,如果第=等，那么稱線段4B被點(diǎn)C

/\D/1C

黃金分割.點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn).

【溫馨提示】

1.運(yùn)用相似三角形的關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.

2.全等三角形是特殊的相似三角形.

3.兩邊對(duì)應(yīng)成比例，必須是夾角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形才相似.

4.黃金比即AC：AB=%]■:C0.618.

【方法技巧】

識(shí)別兩個(gè)三角形相似的幾種思路：

(I)若有一對(duì)等角，可找另一對(duì)等角，或找夾它的兩邊對(duì)應(yīng)成比例；

(2)若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找其夾角相等；

(3)若有等腰三角形，則可找頂角相等，或找一對(duì)底角相等，或找底和腰對(duì)應(yīng)成比例；

(4)若有平行線，則可直接得相似三角形相似；

(5)若所證成比例的四條線段不在兩個(gè)相似三角形中，可用中間比轉(zhuǎn)換.

答案

1.C解析：有三條：①過點(diǎn)P作AB邊上的垂線，可得出一條符合要求的直線;

②另外兩條分別是AC、BC兩邊的平行線.

故選C.

2.坐或竽解析：?.?正方形A5CD的邊長(zhǎng)是2,

：.BE=CE=\,ZB=ZD=90°,

.?.在中，4E川2?+12=小.

第一種情況：當(dāng)△ABEs△MOV時(shí)一，AE：MN=AB:DM,

2/7

即?。?=2：DM,.,.OM==-；

第二種情況：當(dāng)時(shí)，AE：MN=BE:DM,

即?。?=1：DM,:.DM=*.

...力歷=乎或坐.

3.解：(1)連接A。，則NOAC=NOBC=30°,ZOAD=ZADC=\S°,

：.ZDAC=30°+18°=48°,

.,.ZDOB=2ZDAC=96°.

(2)證明：過點(diǎn)。作AB的垂線，垂足為G,在Rt/XOGB中，0B=4,NO8C=30°,

0G=2,GB=2y[3.

；AC=2小，.?.點(diǎn)C與點(diǎn)G重合，：.ZACD^ZBCO=90°.

又^^=小=晉，△AC￡)SZ^OCA

4.C解析：根據(jù)已知條件得下半身長(zhǎng)是165X0.6=99(cm),

設(shè)選的高跟鞋的高度是xcm,則根據(jù)黃金分割的定義得：7997+Tx=。618,

1。5十X

解得：67.8(cm).

故選C.

5.=解析：是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且以>尸8,

：.PA2=PB?AB.

又???Si表示力為一邊的正方形的面積，S2表示長(zhǎng)是48,寬是P8的矩形的面積，

，Si=*Si=PB-AB,

S|—S2.

故答案為=.

6.解：留下的矩形CAFE是黃金矩形.

證明：???四邊形A8EF是正方形，

：.AB=DC=AF.

AB

乂*AD~2，

.—小一1

''AD=2'

即點(diǎn)F是線段A。的黃金分割，

.FD_AF_yl5-l

??而=X5=2'

矩形CDFE是黃金矩形.

5相似三角形判定定理的證明

專題相似三角形判定定理的證明

]DE_DF

“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”，如圖，已知AB~AC(AB>DE),

ZA=ZD,求證：△ABCs^DEF.請(qǐng)利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過添設(shè)輔助線，將未知的判

定方法轉(zhuǎn)化為前面已經(jīng)學(xué)過的方法(即已知兩組角對(duì)應(yīng)相等推得相似或己知平行推得相

似).請(qǐng)利用上述方法完成這個(gè)定理的證明.

【方法技巧】

解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造平行線或全等三角形.

答案:

證明：在AB上截取AG=DE,作GH〃BC,

.,.△AGH^AABC,

,,DE_DF

"AB-AC)

AG=DE,

；.AH=DF,

VZA-ZD,

.?.△AGH絲△DEF,

AAABC^ADEF.

6利用相似三角形測(cè)高

專題利用相似三角形的性質(zhì)求樹或建筑物的高

1.如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板。EF測(cè)量樹的高度AB,他調(diào)整自己的位置，

設(shè)法使斜邊。尸保持水平，并且邊QE與點(diǎn)8在同一直線上.已知紙板的兩條直角邊。E

=40cm,EF=20cm,測(cè)得邊OB離地面的高度AC=1.5m,CD—Sm,則樹高AB=

m.

2.如圖，為測(cè)量學(xué)校圍墻外直立電線桿A8的高度，小亮在操場(chǎng)上點(diǎn)C處直立高3m的竹

竿8,然后退到點(diǎn)E處，此時(shí)恰好看到竹竿頂端。與電線桿頂端8重合；小亮又在點(diǎn)

G處直立高3m的竹竿CQi，然后退到點(diǎn)后處，此時(shí)恰好看到竹竿頂端功與電線桿頂

端B重合.小亮的眼睛離地面高度EF=1.5m,量得CE=2m,EG=6m,GEi=3m..

(l)AFDM^A____,叢F\D\Ns/\；

(2)求電線桿AB的高度.

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.利用相似三角形求物高或影長(zhǎng).

2.構(gòu)建相似三角形測(cè)量河寬.

【溫馨提示】

利用影長(zhǎng)計(jì)算或測(cè)量時(shí)，注意在同一時(shí)刻，物體的實(shí)際高度/影長(zhǎng)=被測(cè)物體的實(shí)際高度

/被測(cè)物體的影長(zhǎng).

【方法技巧】

1.牢記相似三角形的性質(zhì)和條件.

2.在測(cè)量無法到達(dá)頂部的物體的高度或測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離時(shí)，常構(gòu)造相似

三角形求解.

答案

1.5.5解析：利用和相似求得BC的長(zhǎng)后加上小明同學(xué)的身高即可求

得樹高AB.

"DEF=NBCDa,ND=ND,.MDEFsADCB,：卷=器

VDE=40cm=0.4m,EF=2Qcm=0.2m,AC=1.5m,CO=8m,

?'彩=言，?,?BC=4(m),

，AB=AC+BC=1.5+4=5.5(m).

2.解：(T)FBGF\BG

n.vF\N

(2)根據(jù)題意，'：DxC\//BA,:.AFIDINS^FIBG,.,.京=段.

n(_rr1U

.DM_FM

?:DC"BN,：./\FDMs/\FBG,**BG=FG,

FiNFM32

,:D\N=DM'：.高=田即GM+ll=GM+2,/>GM=16-

..D\NF\N

,,-,；.BG=13.5,

,BG~FiG,BG27

，A8=BG+GA=15(m).

答：電線桿48的高度為15m.

7相似三角形的性質(zhì)

專題一相似三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用

1.已知兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比為3：10,且這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)差為560cm,求它們

的周長(zhǎng).

2.如圖，R3ABC到RSDEF是一個(gè)相似變換，AC與DF的長(zhǎng)度之比是3：2.

(1)DE與AB的長(zhǎng)度之比是多少？

(2)已知RtAABC的周長(zhǎng)是12cm,面積是6cm2,求RtADEF的周長(zhǎng)與面積.

3.如圖所示，已知平行四邊形ABCD中，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE交BC于點(diǎn)F,BE:AB

=2：3,SABEF=4,求S4CDF.

B、E

專題二相似多邊形的性質(zhì)

4.如圖，一般書本的紙張是在原紙張多次對(duì)開得到.矩形ABCD沿EF對(duì)開后，再把矩形

EFCD沿MN對(duì)開，依此類推.若各種開本的矩形都相似，那么AB：AD等于.

E

8開

EF

5.已知兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)比為1：2,它們的面積和為25,則較大多邊形的面積是—.

6.如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,E是AB上的一點(diǎn)，EF〃BC,并且EF將梯形ABCD

分成的兩個(gè)梯形AEFD、EBCF相似，若AD=4,BC=9,求AE：EB.

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比、對(duì)應(yīng)中線的比，都等于相似比.

2.相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

3.相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

【溫馨提示】

I.應(yīng)用性質(zhì)時(shí)，抓住關(guān)鍵詞“對(duì)應(yīng)”，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊.

2.不要誤認(rèn)為相似三角形面積的比等于相似比.

3.由線段的比求面積的比，或由面積的比求線段的比時(shí)，應(yīng)分兩種情況：

（1）兩個(gè)圖形是否相似，若是相似圖形，則面積比等于相似比的平方；

（2）兩個(gè)圖形不相似時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)底在同一條直線上，有同一條高，那么兩個(gè)三角形面積

比等于對(duì)應(yīng)底的比.

【方法技巧】

1.利用相似三角形性質(zhì)是求線段長(zhǎng)度，角的度數(shù)，周長(zhǎng)，面積及線段的比等問題的依據(jù).

2.等底等高的兩三角形面積相等，這個(gè)規(guī)律在求三角形面積中經(jīng)常用到.

3.應(yīng)用相似三角形（多邊形）的性質(zhì)，常與三角形（多邊形）相似的判定相結(jié)合.

4.相似多邊形的定義是判定多邊形相似的主要依據(jù)，也是多邊形相似的重要性質(zhì).

參考答案：

1.解：設(shè)一個(gè)三角形周長(zhǎng)為Cem,

則另一個(gè)三角形周長(zhǎng)為（C+560）cm,

則C：（C+560）=3:10,...C=240,C+560=800,即它們的周長(zhǎng)分另4為240cm,800cm.

2.解：（1）由相似變換可得：DE：AB=DF：AC=2：3；

(2)VAC:DF=3：2,.,.△DEF的周長(zhǎng)：ZiABC的周長(zhǎng)=2:3,SADEF：SAABC=4：9.

?.?直角三角形ABC的周長(zhǎng)是12cm,面積是6cm2,

8

.,.△DEF的周長(zhǎng)為8cm,SADEF=—cm2.

3

3.解：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，；.AE〃DC,

/.△BEF^ACDF.；AB=DC,BE:AB=2：3,

39

；.BE：DC=2：3,ASDCF=(二)？&BEF=—X4=9.

A24

V2

4.2［解析］?.?矩形ABCDS矩形BFEA,

/.AB：BF=AD：AB,AD?BF=AB?AB.

又?.?BF='AD,/.-AD2=AB2,則*=、I=變.

22ADV22

5.20［解析］根據(jù)相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比，而面積的比等于相似比的平方，即可

求得面積的比值，依據(jù)面積和為25,就可求得兩個(gè)多邊形的面積.設(shè)兩個(gè)多邊形中較小的

多邊形的面積是x,則較大的面積是4x.

根據(jù)題意得：x+4x=25,

解得x=5.因而較大多邊形的面積20.

.AD_EF_AE

解:?.,梯形AEFDs梯形EBCF,

6."EFBC-EB

又：AD=4,BC=9,.*.EF2=AD?BC=4X9=36.

AE4

VEF>0,；.EF=6,

EBEF6

8圖形的位似

專題一位似作圖

1.如圖所示，圖中的小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，△ABC與△ABC'是以點(diǎn)O為位似中

心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上.

(1)畫出位似中心點(diǎn)O；

(2)直接寫出△ABC與△ABC的位似比；

(3)以位似中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以格線所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，畫出

△ABC關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱的△A"B"C",并直接寫出△A"B"C"各頂點(diǎn)的坐標(biāo).

2.如圖，在4x5網(wǎng)格圖中，其中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1,梯形ABCD和五邊形EFGHK

的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn).

(1)以B為位似中心，在網(wǎng)格圖中作四邊形ABCD，，使四邊形ABCTT和梯形ABCD位

似，且位似比為2：1；

(2)求(1)中四邊形ABCD，與五邊形EFGHK重疊部分的周長(zhǎng).(結(jié)果保留根號(hào))

3.如圖，在給定的銳角△A6C中，求作一個(gè)正方形。EFG,使。，E落在8C上，F(xiàn),G

分別落在AC,A3邊上，要求寫出畫法.

專題二坐標(biāo)系下的位似變換

4.如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,2),B(3,1),C(2,3),以原點(diǎn)0

為位似中心，在圖中第一象限內(nèi)，將△ABC放大為原來的2倍得△(不要求寫畫法)

5.如圖，對(duì)RSOAB依次進(jìn)行位似、軸對(duì)稱和平移變換后得到△

（1）在坐標(biāo)紙上畫出這幾次變換相應(yīng)的圖形；

（2）設(shè)P（X,y）為40AB邊上任一點(diǎn)，依次寫出這幾次變換后點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).

6.如圖，△ABC中，A、B兩點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（一1,0）.以點(diǎn)C為位似

中心,在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C,并把△ABC的邊長(zhǎng)放大到原來的2倍.設(shè)

點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的橫坐標(biāo)是2,求點(diǎn)B的橫坐標(biāo).

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.位似圖形的性質(zhì)：（1）兩個(gè)圖形相似；（2）每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線交于一點(diǎn)；（3）對(duì)

應(yīng)邊平行或在同一條直線上；（4）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.

2.位似圖形的畫法：（1）作圖時(shí)首先連接頂點(diǎn)和位似中心并延長(zhǎng)；（2）按照比例確定對(duì)

應(yīng)點(diǎn)位置；（3）連接結(jié)對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可作出相應(yīng)的位似圖形.

3.（1）同向位似圖形：

若以點(diǎn)O為位似中心在y軸的右側(cè)將圖形放大到n倍，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為原坐標(biāo)的n倍.

（2）反向位似圖形：

若以點(diǎn)O為位似中心在y軸的左側(cè)將圖形放大到n倍，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為原坐標(biāo)的一n倍.

【溫馨提示】

1.相似只強(qiáng)調(diào)圖形的形狀相同，與位置無關(guān)，而位似是特殊位置的相似圖形，具有相似的

所有性質(zhì).

2.兩個(gè)位似圖形一定相似，但相似圖形不一定位似.

3.直角坐標(biāo)系下的位似變換通常考慮兩個(gè)方面：(1)位似圖形的點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律；(2)

利用這種坐標(biāo)變化的特點(diǎn)，畫出平面直角坐標(biāo)系下的位似圖形.

4.在畫位似圖形或求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，一定要注意位似圖形的位置關(guān)系，以防漏解.

5.在畫位似圖形時(shí)，要分清位似比是新圖形與原圖形的比，還是原圖形與新圖形的比.

6.在畫位似圖形時(shí)，關(guān)鍵的頂點(diǎn)與位似中心要準(zhǔn)確定位.

【方法技巧】

1.判定位似，一般應(yīng)先證明相似.位似圖形的前提一定是相似圖形，且任意兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連

線交于一點(diǎn).

2.利用作位似圖形的方法可將一個(gè)圖形放大或縮小.

3.畫位似圖形的關(guān)鍵是確定位似中心，位似中心可根據(jù)要求選擇適當(dāng)位置，所畫圖形的位

置并不唯一.

參考答案:

(2)△ABC與△ABC的位似比等于2：1；

(3)△A"B"C"為所求.

A”(6,0),B"(3,-2),C"(4,-4).

四邊形A，BCD，就是所要求作的梯形;

BC

（2）四邊形ABCTF與五邊形EFGHK重疊部分是平行四邊形EFGD，，ED,=FG=1,

在RtAEDF中，ED=DF=1,

由勾股定理得EF=Vl2+12=V2,.,.D,G=EF=V2,

...四邊形ABCD，與五邊形EFGHK重疊部分的周長(zhǎng)

為EP+FG+DG+EFn+1+四+&=2+2后.

3.如圖.

畫法：第一步：畫一個(gè)有三個(gè)頂點(diǎn)落在△ABC兩邊上的正方形DE'F'G'（如圖）；

第二步：連接6尸'并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)尸；

第三步：過R點(diǎn)作莊_L5C,垂足為點(diǎn)￡；

第四步：過F作/G〃6C交AB于點(diǎn)G；

第五步：過G作GO_LBC,垂足為點(diǎn)。.

四邊形。瓦6即為所求的正方形.

5.解：（1）如圖.先把AABO作位似變換，擴(kuò)大2倍，再作關(guān)于y軸對(duì)稱的三角形，然

后向右平移4個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位.

(2)設(shè)方格邊長(zhǎng)為單位1,則P(x,y)以O(shè)為位似中心放大為原來的2倍的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

(2x,2y),經(jīng)y軸翻折得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(-2x,2y),再向右平移4個(gè)單位得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

為(-2x+4,2y),再向上平移5個(gè)單位得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(―2x+4,2y+5).

6.解：過點(diǎn)B、B，分別作BD_Lx軸于D,B，E_Lx軸于E,AZBDC=ZB'EC=90°.

「△ABC的位似圖形是AABC,.?.點(diǎn)B、C、B'在一條直線上，

CDBC

AZBCD=ZB'CE,ABCD^AB'CE.——=——.

CEB'C

又?.?畢=L,??.C2=L.又???點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是2,點(diǎn)C的坐標(biāo)是（一1,0）,：.CE

B'C2CE2

355

=3,-**CD=—./.OD=—，???點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為一一.

222

第一章圖形的相似

第一節(jié)成比例線段

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、認(rèn)識(shí)形狀相同的圖形；

2、結(jié)合實(shí)例能識(shí)別出現(xiàn)實(shí)生活中形狀相同，大小、位置不同的圖形；

3、了解線段的比和比例線段的概念，掌握兩條線段的比的求法；

4、理解并掌握比例的基本性質(zhì)，能通過比例形式變形解決一些實(shí)際問題。

【相關(guān)知識(shí)鏈接】

1、全等的圖形：能夠完全的兩個(gè)圖形叫做全等圖形；

2、分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母—乘（或除）以的整式，

分式的值不變。

【學(xué)習(xí)引入】

一、觀察圖片，體會(huì)相似圖形

1、同學(xué)們，請(qǐng)觀察下列幾幅圖片，你能發(fā)現(xiàn)些什么？你能對(duì)觀察到的圖片特點(diǎn)

進(jìn)行歸納嗎？

3、思考：如圖27.1-3是人們從平面鏡及哈哈鏡里看到的不同鏡像，它們相似

嗎？

二、歸納總結(jié)：

知識(shí)點(diǎn)1、相似的圖形

一般而言，形狀相同，大小、位置不一定相同的圖形就是相似圖形，但是全

等圖形也是相似圖形。

注意：形狀相同的圖形的對(duì)應(yīng)線段的條數(shù)相同，對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)的比值相等，因

此可以看做的把其中一個(gè)圖形放大或者縮小一點(diǎn)的倍數(shù)得到另外一個(gè)。

知識(shí)點(diǎn)2、兩條線段的比

如果選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位量得兩條線段AB,CD的長(zhǎng)度分別是m,n,那么這

兩條線段的比就是它們的長(zhǎng)度之比，即AB:CD=m:n,或?qū)懗伞?'，其中，線段

CDn

AB,CD分別叫做這個(gè)線段比的前項(xiàng)和后項(xiàng)。如果把'表示成比值k,那么M=%,

nCD

或者AB=k?CDo

注意：1、求兩條線段的比的時(shí)候兩條線段的長(zhǎng)度單位要統(tǒng)一，當(dāng)長(zhǎng)度單位不統(tǒng)

一時(shí)，要先化成同一單位長(zhǎng)度；

2、兩條線段的比是一個(gè)沒有單位的正實(shí)數(shù)，與所選線段的單位無關(guān)，只

要選取相同的長(zhǎng)度單位即可。

★知識(shí)點(diǎn)3、成比例線段

對(duì)于四條線段a,b,c,d,如果a與b的比等于c與d的比，即@=￡,那

bd

么這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。

注意：1、如果且=2,那么b叫做a和c的比例中項(xiàng)；

bc

2、在比例式a:b=c:d中，d叫做a,b,c的第四比例項(xiàng);

3、成比例線段是有順序的,即a,b,c,d是成比例線段，則是a:b=c:d

知識(shí)點(diǎn)4、比例的性質(zhì)

1、比例的基本性質(zhì)：如果@=￡,那么ad=bc；

bd

如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0）,那么q=￡

bd

2、等比性質(zhì)：如果0=￡=...='s+d+…+〃。0）,那么"+

bdnb+d+…十幾b

【例題解析】

例1、觀察下列圖形，指出是相似圖形.

(1)(2)(3)(4)

⑹(7)(8)⑼(10)

例2、線段AB被點(diǎn)M分成怒q,則徐-----------,MB

AM

例3、如果q=±求工的值。

y5x

ARRF

例4、如圖所示，---=,且AB=10cm,AD=2cm,BC=7.2cm,

ADEF

E是BC的中點(diǎn)，求EF,BF的長(zhǎng)。

例5、己知￡=%=￡=2,且〃+d+//0

〃-P「-I-2

(1)求的值;(2)若a-2c+3e=5,求b-2d+3f的值。

b+d+f

【綜合練習(xí)】

在上述各種符號(hào)中，形狀相同的符號(hào)有幾組？()

A.一組B.二組C.三組D.四組

2、下面各組中的兩個(gè)圖形，是形狀相同的圖形，是形狀不同

的圖形.

。。0。十以口口向⑤??

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

3、矩形ABCD中AB=CD=8,AD=BC=6,矩形EFGH中，EF=GH=3,EH=FG=4,這兩個(gè)矩

形

4、AABC的三條邊之比為2：5：6,與其相似的另一個(gè)aA，B?'C?'最大邊長(zhǎng)

為18cm,則另兩邊長(zhǎng)的和為______.

5、兩個(gè)相似三角形的一對(duì)對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)分別為20cm,25cm,它們的周長(zhǎng)差為63cm,

則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別是.

6AABC與△DEF中NA=65°ZB=42°ZD=65°Z

F=73°,AB=3,AC=5,BC=6,DE=6,DF=10,EF=12,則4DEF與ZXABC

7、下列所給的條件中，能確定相似的有（）

（1）兩個(gè)半徑不相等的圓；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）

所有的等邊三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六邊形.

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

8^把mn=pq（mnWO）寫成比例式，寫錯(cuò)的是（）

m_qp_nqnmp

nmn

A.pB.團(tuán)qc.pD.q

8.在一張比例尺為1：15000的平面圖上，一塊多邊形地區(qū)的其中一邊長(zhǎng)為5cm,

那么這塊地區(qū)實(shí)際上和這一邊相對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度應(yīng)為（）

A.750cmB.75000cmC.3000cmD.300cm

9、下列說法中，正確的是（）

A.正方形與矩形的形狀一定相同B.兩個(gè)直角三角形的形狀一定相

同

C.形狀相同的兩個(gè)圖形的面積一定相等D.兩個(gè)等腰直角三角形的形狀一

定相同

10.經(jīng)歷平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱變化前后的兩個(gè)圖形)

A.形狀大小都一樣B.形狀一樣，大小不一樣

C.形狀不一樣，大小一樣D.形狀大小都不一樣

11.在平面坐標(biāo)系中，一個(gè)圖形各點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都加上或減去同一個(gè)非零

數(shù)，得到一組新的對(duì)應(yīng)用點(diǎn)，則連接所得到點(diǎn)的圖形與原圖形形狀（）

A.不能夠互相重合B.形狀相同，大小也一定相同

C.形狀不一樣D.形狀相同，大小不一定相同

12、如圖，四邊形ABCD和EFGH相似，求角a、

B的大小和EH的長(zhǎng)度xo

門21V\

匝___G

13、已知四邊形ABCD與四邊形ABCD相似,且AB：B￡:CD:DA=7:8:11:14,

若四邊形ABCD的周長(zhǎng)為40,求四邊形ABCD的各邊的長(zhǎng).

第二節(jié)平行線分線段成比例

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］A

1、探索理解平行線分線段成比例定理及其推論；M

2、會(huì)熟練運(yùn)用平行線分線段成比例定理及其推論計(jì)算線段的

長(zhǎng)度。cj

【相關(guān)知識(shí)鏈接】

1、成比例線段：___________________________________________________________

2、若3x=5y,貝Ux：y=；若x：y=7:2,貝Ux：(x+y)=

【學(xué)習(xí)引入】

一、如圖，任意畫兩條直線h乙再畫三條與h12相交的平行線h,h.k

分別量度A,4A在h上截得的兩條線段AB,BC和在12上截得的兩條線段

DE,EF的長(zhǎng)度，AB：BC與DE：EF相等嗎?任意平移75,再量度AB,BC,DE,EF

的長(zhǎng)度，AB：BC與DE：EF相等嗎？

二、問題，AB:AC=DE：(),BC：AC=()：DF

三、歸納總結(jié)：

知識(shí)點(diǎn)1、平行線分線段成比例定理：

兩條直線被一組平行線所截，所得到的對(duì)應(yīng)線段成比例。

知識(shí)點(diǎn)2、平行線分線段成比例定理的推論：

平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

【例題解析】

例1、如圖所示，直線U//I2//I3,AB=3,DE=2,EF=4,求BC的

長(zhǎng)。

例2、如圖所示，在4ABC中，點(diǎn)D,E分別在AB,AC邊上，DE〃BC,

若AD：AB=3:4,AE=6,則AC等于

例3、如圖所示，在AABC中，AD平分NBAC,求證：—=—

DCAC

【經(jīng)典練習(xí)】

1、如圖，已知直線a〃b〃c,直線m、n與直線a、b、c分別交于點(diǎn)A、C、E、B、

D、F,ACM,CE=6,BD=3,則BF=（）

A、7B、7.5C、8D、8.5

2、如圖，點(diǎn)F是平行四邊形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，直線BF交AD的延長(zhǎng)線與點(diǎn)

E,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A、錯(cuò)誤!未找到引用源。B、錯(cuò)誤!未找到引用源。C、錯(cuò)誤！未找到引

用源。D、錯(cuò)誤!未找到引用源。

3、如圖所示：AABC中，DE〃BC,AD=5,BD=10,AE=3.則CE的值為（）

A、9B、6C、3D、4

4、如圖所示，DE〃BC,DF〃AC,AD=4cm,BD=8cm,DE=5cm,求線段BF的長(zhǎng)。

B,F

5、如圖，設(shè)M、N分別是直角梯形ABCD兩腰AD、CB的中點(diǎn)，DE上AB于點(diǎn)E,

將4ADE沿DE翻折，M與N恰好重合，則AE：BE等于（）

A、2：1B、1：C、3：2D、2：3

6、如圖，已知AB〃CD〃EF,那么下列結(jié)論正確的是（）

A、錯(cuò)誤!未找到引用源。B、錯(cuò)誤!未找到引用源。C、錯(cuò)誤！未找到引

用源。D、錯(cuò)誤!未找到引用源。

7、如圖，直線L〃12〃L,另兩條直線分別交L、12、L于點(diǎn)A、B、C及點(diǎn)D、E、

F,且AB=3,DE=4,EF=2,則（）

A、BC：DE=1：2B、BC：DE=2：3C、BC?DE=8D、BC?DE=6

8、如圖，直線AB〃CD〃EF,若AC=3,CEM,則錯(cuò)誤!未找到引用源。的值是

9、如圖，已知：AABCDE〃BC,AD=3,DB=6,AE=2,貝UEC=.

10、如圖所示，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔5米有一棵樹,

在北岸邊每隔50米有一根電線桿.小麗站在離南岸邊15米的點(diǎn)P處看北岸，發(fā)

現(xiàn)北岸相鄰的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有三

棵樹，則河寬為.米.

、、/南岸

5

第9題圖第10題圖第11題圖

Ik如圖，梯形ABCD中，EF//BC,錯(cuò)誤!未找到引用源。，則

錯(cuò)誤味找到引用源。器:——

12、如圖所示：設(shè)M是AABC的重心，過M的直線分別交邊AB,

AC于P,Q兩點(diǎn)，且錯(cuò)誤!未找到引用源。=m,錯(cuò)誤!未找到引用源。

=n,貝口+工=_________.

mn

13、如圖，AB〃CD、AD〃CE,F、G分別是AC和FD的中點(diǎn)，過G的直線依次交

AB、AD,CD,CE于點(diǎn)M、N、P、Q,

求證：MN+PQ=2PN.

14、已知：平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)0,點(diǎn)P是直線BD上任意一點(diǎn)（異

于B、0、D三點(diǎn)），過P點(diǎn)作平行于AC的直線，交直線AD于E,交直線AB于F.若

點(diǎn)P在線段BD上（如圖所示），試說明：AC=PE+PF；

第三節(jié)相似多邊形

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、了解相似多邊形和相似比的概念；

2、能根據(jù)條件判斷出兩個(gè)多邊形是否為相似；

3、掌握相似多邊形的性質(zhì)，能根據(jù)相似比進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算

【相關(guān)知識(shí)鏈接】

1、相似圖形：相同，但是不一定的圖

形。

2、多邊形：由若干條的線段組成的封閉平面

圖形。

【學(xué)習(xí)引入】

一、在相似多邊形中，最簡(jiǎn)單的就是相似三角形.

在4ABC與B'C'中，如果NA=NA',ZB=ZBZ,ZC=ZCZ,且

幽=生=0-=k.我們就說aABC與aA'B'C

ABB'C'C'A'

相似，記作aABCsAAZB'C',k就是它們的相似

比.

反之如果△ABCSAA，B'C,

則有NA=NA',ZB=ZB,,ZC=ZCZ,

目□_A__B___B__C___C__A_

■AB'_B'C'_C'A''

二、問題：如果k=l,這兩個(gè)三角形有怎樣的關(guān)系？

三、歸納總結(jié):

知識(shí)點(diǎn)1、各角分別相等，各邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多

邊形，

相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。

知識(shí)點(diǎn)2、相似多邊形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；

B

相似多邊形的判定:邊數(shù)相等；對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)邊成比例。

判斷兩個(gè)多邊形相似，這三個(gè)條件缺一不可。

【例題解析】

例1、下列判斷中正確的是）

A、兩個(gè)矩形一定相似B、兩個(gè)平行四邊形一定相似

C、兩個(gè)正方形一定相似D、兩個(gè)菱形一定相似

例2、如圖△ABCs/SDCA,AD〃BC,ZB=ZDCA.

（1）寫出對(duì)應(yīng)邊的比例式；

（2）寫出所有相等的角；

（3）若AB=10,BC=12,CA=6.求AD、DC的長(zhǎng).

例3、某機(jī)械廠承接了一批焊制矩形鋼板的任務(wù)，已知這種矩形鋼板在圖紙上（比

例尺1:400）的長(zhǎng)和寬分別為3cm和2cm,該廠所用原料是邊長(zhǎng)為4m的正方形鋼

板，那么焊制一塊這樣的矩形鋼板要用幾塊邊長(zhǎng)為4m的正方形鋼板才行？

例4、如圖所示，把一個(gè)矩形分割成四個(gè)全等的小矩形，要使小矩形與原矩形相

似，則原矩形的長(zhǎng)和寬之比為（）

A、2:1B、4:1

C、V2:lD、1:2

【經(jīng)典練習(xí)】

1、下列各組圖形中，肯定相似的是（）

A、兩個(gè)腰長(zhǎng)不相等的等腰三角形

B、兩個(gè)半徑不相等的圓

C、兩個(gè)面積不相等的平行四邊形

D、兩個(gè)面積不相等的菱形

2、兩個(gè)相似多邊形邊長(zhǎng)的比為2：3,它們的周長(zhǎng)差為4cm,則較大多邊形的周長(zhǎng)

是（）

A.8cmB.12cmC.20cmD.24cm

3、已知平行四邊形ABC。與平行四邊形相似，AB=3,對(duì)應(yīng)邊A'6'=4,

若平行四邊形ABC。的面積為18,則平行四邊形AB'C'。的面積為（）

9721

A.—B.—C.24D.32

28

4、如圖，正五邊形ABCOE與正五邊形是相似形，若AB:RG=2:3,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.2DE=3MNB.3DE=2MNC.3ZA=2ZFD.^ZA=3ZF

5、如圖，在梯形ABC。，A。〃EE〃BC,E/將梯形ABC。分成兩個(gè)相似梯形

AF

AEH）和梯形E8CF,若從。=3,3。=4,求——的值。

EB

6、一個(gè)五邊形的各邊長(zhǎng)為2,345,6,另一個(gè)與它形似的五邊形的最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為12,

則最短邊的長(zhǎng)為（）

A.4B.5C.6D.8

7、在梯形ABCD中，AD平行于BC,AC、BD交于點(diǎn)0,S△枷:Sg=l：9

則SADOC：SABOC=

8、在比例尺為1:1000000的地圖上,A,B兩城的距離為7.2s,則A,B兩城的

實(shí)際距離是

______________km

9、四邊形ABCDs四邊形A8'CZ>',AC與AC'是對(duì)應(yīng)對(duì)角線，若

:=：

A8=3,AB=2,則C四邊形.coC四邊形.）§四邊形45C。S四邊形A/'C'Z）''

10、在平行四邊形ABCD中，AB=6,AD=4,EF//AD,若DVBCDs口EFDA,求AE

的長(zhǎng)。

E

11、如圖所示，已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一點(diǎn)E,沿AE將AABE向上

折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)處，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=_

第四節(jié)相似三角形的判定

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、理解相似三角形的定義；

2、熟練掌握三角形相似的判定方法，并能靈活運(yùn)用判定方法判斷兩個(gè)三角形是

否相似；

3、能運(yùn)用三角形相似的判定方法進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明；

4、理解黃金分割的概念；

5、能做出線段黃金分割點(diǎn)，并會(huì)求滿足黃金分割的線段的長(zhǎng)，體會(huì)黃金分割的

美。

【相關(guān)知識(shí)鏈接】

1、全等三角形的判定條

件：、、、、。

2、相似多邊形：各角、各邊的兩個(gè)多邊形叫做相似多

邊形。

3、線段的比：如果選用量的兩條線段AB,CD的長(zhǎng)度分別的m,n,

那么就說兩條線段AB：CD=m:n

【學(xué)習(xí)過程】

一、討論：什么是相似三角形？