新教材同步輔導(dǎo)2023年高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值分層演練新人教A版選擇性必修第三冊

7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值A(chǔ)級基礎(chǔ)鞏固1.今有兩臺獨立工作的雷達(dá),每臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為0.9和0.85,設(shè)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的雷達(dá)臺數(shù)為X,則E(X)為()A.0.765B.1.75C.1.765D.0.22解析:X的可能取值為0,1,2.因為P(X=0)=0.1×0.15=0.015,P(X=1)=0.9×0.15+0.1×0.85=0.22,P(X=2)=0.9×0.85=0.765,所以E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.答案:B2.口袋中有編號分別為1,2,3的三個完全相同的小球,若從中任取2個,則取出球的最大編號X的均值為()A.13B.23C.2 D.8解析:X的可能取值為2,3.因為P(X=2)=13,P(X=3)=2所以E(X)=2×13+3×23=答案:D3.如果a1,a2,a3,a4,a5,a6的均值為3,那么2(a1-3),2(a2-3),2(a3-3),2(a4-3),2(a5-3),2(a6-3)的均值是()A.0 B.3 C.6 D.12解析:由E(aX+b)=aE(X)+b,可知所求均值是2×3-6=0.答案:A4.(2021·新高考全國Ⅱ卷)一種微生物可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來,設(shè)一個這種微生物為第0代,經(jīng)過一次繁殖后為第1代,再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……該微生物每代繁殖的個數(shù)相互獨立且有相同的分布列,設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù),P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X).解:由題意,p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,故E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.5.(2022·北京卷)在校運(yùn)動會上,只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽,比賽成績達(dá)到9.50m以上(含9.50m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎.為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主,收集了甲、乙、丙以往的比賽成績,并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位:m):甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;丙:9.85,9.65,9.20,9.16.假設(shè)用頻率估計概率,且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立.設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù),估計X的數(shù)學(xué)期望E(X).解:用頻率估計概率,則在校運(yùn)動會鉛球比賽中,甲獲得優(yōu)秀獎的概率為410=25,乙獲得優(yōu)秀獎的概率為36=12,丙獲得優(yōu)秀獎的概率為X的所有可能取值為0,1,2,3,則P(X=0)=35×12×12P(X=1)=25×12×12+35×12×12+35×1P(X=2)=25×12×12+25×12×12+35P(X=3)=25×12×12=2所以E(X)=0×320+1×25+2×720+3×1B級能力提升6.設(shè)口袋中有質(zhì)地均勻的黑球和白球共7個,從中任取2個球(白球個數(shù)多于2個,黑球個數(shù)多于2個),若取到白球個數(shù)的均值為67,則口袋中白球的個數(shù)為(A.3B.4C.5 D.2解析:設(shè)白球有x個(2<x<5),則黑球有(7-x)個.設(shè)取出的2個球中所含白球個數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2.因為P(X=0)=C7-xP(X=1)=Cx1CP(X=2)=Cx2C所以0×(7-x)(6-x)42+1解得x=3,即口袋中有3個白球.答案:A7.多空題(2022·浙江卷)現(xiàn)有7張卡片,分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張,記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為ξ,則P(ξ=2)=1635,E(ξ)=12解析:根據(jù)題意可得ξ的取值可為1,2,3,4,所以P(ξ=1)=C62CP(ξ=2)=C21·P(ξ=3)=C32CP(ξ=4)=C22C所以E(ξ)=1×37+2×1635+3×335+4×18.(2021·新高考全國Ⅰ卷)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽,有A,B兩類問題,每名參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答,若回答錯誤,則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確,則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答,無論回答正確與否,該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分,否則得0分;B類問題中的每個問題回答正確得80分,否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).(1)若小明先回答A類問題,記X為小明的累計得分,求X的分布列.(2)為使累計得分的期望最大,小明應(yīng)選擇先回答哪類問題?請說明理由.解:(1)由題可知,X的所有可能取值為0,20,100.P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,P(X=100)=0.8×0.6=0.48.所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)由(1)知,E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.若小明先回答B(yǎng)類問題,記Y為小明的累計得分,則Y的所有可能取值為0,80,100.P(Y=0)=1-0.6=0.4,P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,P(X=100)=0.8×0.6=0.48.所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6.因為54.4<57.6,所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新9.(2023·新高考全國Ⅰ卷)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率.(2)求第i次投籃的人是甲的概率.(3)已知:若隨機(jī)變量Xi服從兩點分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,則E∑ni=1Xi=∑ni=1qi.記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y,求E(解:(1)記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai,“第i次投籃的人是乙”為事件Bi,所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.(2)設(shè)P(Ai)=pi,由題意得P(Bi)=1-pi,則P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)=P(Ai)·P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi),即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2.構(gòu)造等比數(shù)列{pi+λ},設(shè)pi+1+λ=25(pi+λ解得λ=-13則pi+1-13=2