matlab高等工程數(shù)學(xué)作業(yè)實踐報告

目錄非線性方程求根的數(shù)值解法房貸年利率………12.線性方程組的數(shù)值解法配置指定成分合金………………33.估計與檢驗鋁合金板的批次檢驗……………84插值與擬合算法晶粒尺寸與退火時間的關(guān)系…10回歸分析鎂合金析氫與時間關(guān)系………14數(shù)值積分法人口統(tǒng)計模型…………………17x0=0.2x1=x0-(420*x0*(1+x0)^20-60*((1+x0)^20-1))/(420*(1+x0)^20+8400*x0*(1+x0)^19-1200*(1+x0)^19);n=1;while(abs(x1-x0)>=1.0e-6)&(n<=100)x0=x1;x1=x0-(420*x0*(1+x0)^20-60*((1+x0)^20-1))/(420*(1+x0)^20+8400*x0*(1+x0)^19-1200*(1+x0)^19);n=n+1;endx1NMATLAB程序截圖計算結(jié)果與分析由計算結(jié)果可以看出，Newton迭代收斂速度很快，僅通過7次計算便得到了所需進(jìn)度的近似解。

2．線性方程組的數(shù)值解法……………配置指定成分合金問題描述先要求配置某種合金，其成分為Al-Hg-Ge-Pb，要求利用已有的Al-Hg-Ge-Pb合金、Al-Hg-Ge合金、Al-Pb合金和純Al配置。其原料成分和目標(biāo)成分要求如下表：元素中間合金（wt%）目標(biāo)合金（wt%)Al-Hg-Ge-PbAl-Hg-GeAl-PbAl40805067Hg3010\15Ge1510\8Pb15\5010若現(xiàn)在欲配置100kg目標(biāo)成分的Al-Hg-Ge-Pb合金，需要準(zhǔn)備多少上述中間合金。(2)建立模型為了搭配合理，我們假設(shè)3種不同的中間合金的質(zhì)量分別為x1、x2、x3，純Al的質(zhì)量為x4，單位為kg。得到如下方程組：0.4x1+0.8x2+0.5x3+x4=670.3x1+0.1x2=150.15x1+0.1x2=80.15x1+0.5x3=10將上面的方程組寫成矩陣的形式為：aX=b其中，，，模型假設(shè)：以上數(shù)據(jù)真實有效由此該問題的模型可以建立如下：可見解上述問題就需要對上面這個線性方程組進(jìn)行求解。算法選擇在此選擇的算法為Jacobi迭代算法，同時與矩陣直接除法即精確解做對比。Jacobi迭代公式為：計算流程與MATLAB程序%Jacobi迭代法x0=[0,0,0,0];x1=[1,1,1,1];i=1;whilenorm(x1-x0)>=0.001&&i<100x0=x1;x1(1)=1/0.3*(-0.1*x0(2)+15);x1(2)=1/0.1*(-0.15*x0(1)+8);x1(3)=1/0.5*(-0.15*x0(1)+10);x1(4)=1/1*(-0.4*x0(1)-0.8*x0(2)-0.5*x0(3)+67);i=i+1;endx1i%直接除法a=[0.40.80.510.30.1000.150.1000.1500.50];b=[6715810]’;x=a\bMATLAB程序截圖：計算結(jié)果與分析由結(jié)果可見，經(jīng)過37次迭代，Jacobi迭代法產(chǎn)生了足夠精確的結(jié)果（誤差小于0.001）。與精確解對比，已經(jīng)足以完成原先的合金配置要求。同時為了確保Jacobi迭代矩陣的收斂，在編程的時候?qū)⒎匠探M中的各方程順序做了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。

3.估計與檢驗……………產(chǎn)品的合格檢驗問題描述因工作需要，某廠購買了兩批鋁合金板。為了確保最終產(chǎn)品尺寸穩(wěn)定，需要確保兩批板材厚度差異不大?，F(xiàn)分別在從兩批板材中各抽取10塊鋁合金板作為樣本，分別命名為A組和B組。A：30.4，30.2，30.1，29.9，29.7，30.1，30.4，30.0，29.6，29.5B：29.9，30.3，30.1，30.1，29.5，29.8，30.0，30.2，29.5，30.2問兩批鋁合金板厚度是否相同。建立模型做出以下假設(shè)：兩個樣本相互獨立。A、B兩樣本數(shù)據(jù)分別來自正態(tài)分布總體，且樣本方差相同，記為N(μ1，σ2）N(μ2，σ2）,μ1、μ2、σ2均未知。取α=0.05算法選擇解題分析如下：假設(shè)：H0：μ1=μ2H1：μ1≠μ2由于σ1=σ2=σ未知，選取統(tǒng)計量為其拒絕域為計算流程與MATLAB程序x=[30.430.230.129.929.730.130.430.029.629.5];y=[29.930.330.130.129.529.830.030.229.530.2];[H,sig,ci]=ttest2(x,y,0.05,-1)H=0sig=0.5874ci=-Inf0.2621MATLAB程序截圖:(5)計算結(jié)果與分析由MATLAB計算所得：H=0，即可認(rèn)為在置信區(qū)間α=0.05的顯著水平下，假設(shè)成立。所以可以得出結(jié)論，及兩批鋁合金板厚度一致。4.插值與擬合算法……………晶粒尺寸與退火時間的關(guān)系問題描述對于金屬材料而言，晶粒尺寸決定了材料的諸多性能，所以在實驗中我們往往希望得到預(yù)期的晶粒尺寸。而對變形鋁合金而言，晶粒尺寸又與加工后的退火時間有著密切的關(guān)系?，F(xiàn)在通過實驗測得某種鋁合金經(jīng)過一定量的形變后置于460℃下退火，測得不同退貨時間的晶粒尺寸如下表時間（h）0.511.523456尺寸（μm）53102160202413577624642現(xiàn)要求繪制晶粒尺寸與退火時間的關(guān)系圖，并求得退火時間為2.5小時時晶粒尺寸的大小。建立模型為繪制晶粒尺寸與退火時間的關(guān)系圖，必須求得實驗所測試的兩個時間段中間的晶粒尺寸。為此必須使用插值來求得近似的函數(shù)曲線。算法選擇使用差商算法，并與三次樣條插值算法進(jìn)行比較。在此令，即自然條件作為限制。在此選用的2階Newton基本插值多項式為：計算流程與MATLAB程序：%Newtona=[0.511.523456];b=[52102160202413577624642];f01=1:1:7;f012=1:1:6;fori=1:1:7f01(i)=(b(i+1)-b(i))/(a(i+1)-a(i));endfori=1:1:6f012(i)=(f01(i+1)-f01(i))/(a(i+2)-a(i));endn=1;fori=0:0.01:1x(n)=2+i;y(n)=b(4)+f01(4)*(x(n)-a(4))+f012(4)*(x(n)-a(4))*(x(n)-a(5));n=n+1;endplot(x,y)%splinea=[0.511.523456];b=[52102160202413577624642];a0=0.5:0.1:8;b0=spline(a,b,a0);x=spline(a,b,2.5)plot(a0,b0);holdon;plot(2.5,x,’-o’)MATLAB程序截圖：計算結(jié)果與分析對于Newton差商插值多項式計算了退火時間從2小時到3小時這段區(qū)域，圖形接近于線性增長。由樣條插值曲線圖分析可知，晶粒尺寸隨退火時間的改變而近似線性地增長，直到一定尺寸后變化區(qū)域平緩。同時根據(jù)計算結(jié)果，可知在2.5小時的退貨時間下，晶粒尺寸約為294.6nm。

5.回歸分析……………鎂合金析氫與時間關(guān)系問題描述鎂合金海水激活電池的一個重要性能指標(biāo)便是析氫速率。現(xiàn)在通過實驗制備得到了某種鎂合金，并將其置于NaCl溶液中，通過排水法收集氫氣，建立其析氫量與時間之間的關(guān)系。其實驗數(shù)據(jù)如下：時間/h123456析氫/ml0.92.13.86.29.011.8已知析氫量與時間為線性關(guān)系，現(xiàn)欲求出析氫量與與時間的函數(shù)關(guān)系。建立模型這是典型的一元線性回歸問題，其模型為。通過極大似然估計可得：。其中，。算法的選擇通過MATLAB編程可以很容易地求得上述未知量，從而得到未知參數(shù)a,b的估計值。計算過程及MATLAB程序x=1:1:6;y=[0.92.13.86.29.011.8];x0=mean(x);y0=mean(y);lxx=0;lxy=0;fori=1:1:6lxx=(x(i)-x0)^2+lxx;lxy=(x(i)-x0)*(y(i)-y0)+lxy;endb=lxy/lxx;a=y0-b*x0;abn=1:0.01:6;m=a+b*n;plot(x,y,'*')holdonplot(n,m)MATLAB程序截圖：計算結(jié)果與分析顯然兩者的函數(shù)關(guān)系為。由此關(guān)系可以預(yù)測任意時間下該種鎂合金在NaCl溶液中的析氫量。

6.數(shù)值積分法……………人口統(tǒng)計模型問題描述某城市2013年的人口密度近似為，P(r)表示距離市中心r公里區(qū)域內(nèi)的人口數(shù)，單位為美平方公里10萬人。試求距離市中心2公里區(qū)域內(nèi)的人口數(shù)。建立模型假設(shè)從城市中心到2公里范圍是由無數(shù)個非常小的同心圓環(huán)組成的，每一個環(huán)的寬度很小，以至于在環(huán)內(nèi)人口密度可以看成常數(shù)P(rj)。那么就可以得到所求的人口數(shù)：算法的選擇分別使用分段的梯形公式和Simpson公式對原函數(shù)進(jìn)行積分。表達(dá)式分別為和。（4）計算過程及MATLAB程序

functiony=fc(x)y=8*pi*x/(x^2+20);s1=0;s2=0;fori=0:0.1:1.9s2=s2+0.1/6*(fc(i)+4*fc((i+i+0.1)/2)+fc(i