高考數學關鍵能力提升專題講義

2022年高考數學關鍵能力提升專題講義目錄閱讀理解能力信息整理能力批判性思維能力語言表達能力一、關鍵能力閱讀理解能力專題綜述閱讀理解能力是指學生能從語言符號中獲取正確意義所需要的多種能力，是解答所有學科題的基礎能力．高考數學學科考查的閱讀理解能力不只是認識漢字、理解漢字，而是理解用漢字描述的數學定義、定理，考查的是以數學知識和背景為基礎和依托的文字語言、符號語言和圖形語言的理解能力.由下圖可知，2021年高考數學卷平均字數900左右，新高考卷要高于平均值，較往年中等偏少，但是公式的數量較往年有所提升，試卷承載的信息量沒有減少，對學生的閱讀理解能力的要求仍然較高. 圖1：高考數學試卷歷年平均字數圖2：高考數學試卷歷年圖表、公式數近2年新高考卷對閱讀理解的考查2020年新高考1卷2021年新高考1卷T4：以“日晷”為背景的數學文化題T16：民間剪紙藝術中抽象出數列模型T6：基本再生數與新冠肺炎，指數模型T18:“一帶一路”知識競賽中蘊含的概率統(tǒng)計問題T15：學生勞動實習中的零件加工實踐T19：空氣污染問題（PM與SO2相關性問題）專題探究探究1：符號定義問題抽象的符號語言是數學的重要特征，更是思維操作的便捷材料。對符號的理解掌握是數學解題的關鍵。全國卷在不同的年份都有探索，新高考內容改革以后逐步多了起來，這與中國高考評價體系將其發(fā)展水平作為測評要求直接相關。(2020全國Ⅱ卷理科T12)0-1周期序列在通信技術中有著重要應用.若序列a1a2?an?滿足ai∈{0,1}(i=1,2,?)，且存在正整數m，使得重要指標，下列周期為5的0-1序列中，滿足C(k)A.11010? B.11011? C.10001【閱讀突破】文字語言符號語言理解0-C理解描述周期數列性質的指標的含義對四個選項含義的閱讀理解一般的選擇題都是根據題目的條件進行推理或運算，得出結果后與選項進行比較，挑選出正確的選項．而本題需要根據題目的條件，對選項進行逐個驗算才能選出正確選項,對閱讀理解能力和計算能力都有較高要求.【解析呈現】由ai+m=ai知，序列C對于選項A，C=1C=1對于選項B，C=1對于選項D，C=1故選：C.(2021·云南昭通高三聯考)新型定義:對實數m與n新運算“?”:m?n=m,m-n≤1nA．(-∞,C．-∞,-探究2：概率統(tǒng)計建模高考數學試卷對數學閱讀能力的考查是全方位的，包括閱讀數學材料，理解其中的數學語言，還包括閱讀應用問題的材料，理解生活語言，從中抽象數量關系，利用數學語言進行描述，進而應用數學方法進行解決．高考對數學閱讀能力的要求包括讀懂、理清、弄通、會做．統(tǒng)計概率建模問題就是全方位考查數學閱讀理解能力的重要載體.（2018全國卷Ⅰ理科T20）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為p(0<p(1)記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(2)現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？【閱讀突破】文字語言符號語言理解商品檢驗中包含的概率思想f(理解相互獨立事件,通過獨立事件構建獨立重復試驗模型EX的含義理解問題(ii)包含的最小化檢驗成本的含義，將檢驗成本與概率中的數學期望聯系起來，所設計的問題具有現實意義本題以企業(yè)在銷售過程中的成本控制問題為背景，著眼于“最小化檢驗成本”的決策問題設計與設問，試題考查了獨立重復試驗概率模型、二項分布的知識和應用、概率的計算、參數的估計、隨機變量期望的計算與應用，同時考查了考生綜合運用所學知識解決實際問題的能力，試題具有很好的選拔功能，達到了考查閱讀、應用、建模能力的目的。【解析呈現】(1)20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(因此f'令f'(p)=0，得p=0.1當p∈(0.1,1)時，f'(p(2)由(1)知，p=0.1（i）令Y表示余下的180件產品中的不合格品件數，依題意知Y～B(180,0.1)，X所以EX=（ii）如果對余下的產品作檢驗，則這一箱產品所需要的檢驗費為400元．由于EX>400（2020廣東佛山模擬）某電子設備廠生產一種電子元件,質量控制工程師要在產品出廠前將次品檢出．估計這個廠生產的電子元件的次品率為0.2%,且電子元件是否為次品相互獨立.一般的檢測流程是:先把n個n>1電子元件串聯起來成組進行檢驗,若檢測通過,則全部為正品；若檢測不通過，則至少有一個次品，再逐一檢測,找出，若檢驗一個電子元件的花費為5分錢,檢測一組n個電子元件的花費為4+n分錢．當n=4時，估計一組待檢元件中有次品的概率；設每個電子元件的檢測費用的期望為A(n)，求試估計n的值，使每個電子元件檢測費用的期望最?。崾荆河?-pn≈1-探究3：數學模型問題數學模型問題基于生產、生活、科研等背景，需要綜合運用生活語言、符號語言、圖形語言等研究其中的數量關系.其中生活語言文字類型的應用問題就是包括比較長的用生活語言敘述的關系，重點是理解生活語言，從中抽象數量關系，而復雜數學關系類型的試題特點是用比較抽象、嚴謹、規(guī)范的數學語言敘述問題，解題的重點是對數學語言的理解，厘清各元素之間的關系．嚴謹性和抽象性是數學語言的特征之一，理解數學語言是數學閱讀的核心問題．(2021年新高考1卷T16)某校學生在研究民間剪紙藝術時,發(fā)現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折,規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙,對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180【閱讀突破】文字語言符號語言理解剪紙是如何對折的，對折前后規(guī)則型號的變化20dm理解剪紙對折后不同規(guī)則型號圖形的面積變化k分析對折次數與對折后形成不同規(guī)則圖形面積之和的關系，從中抽象出數列模型，利用錯位相減法求和.數學源于生活，本題以民間剪紙藝術為載體，通過構建數列模型，歸納出數列的通項公式，并利用錯位相減法求出數列的前n項和，考查了閱讀理解能力、邏輯思維能力、數學建模等能力，考查了理性思維、數學應用、數學探索學科素養(yǎng).【解析呈現】（1）由對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，所以對著三次的結果有：52×12，5×6，故對折4次可得到如下規(guī)格：54×12，52×6，5×3，（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為12的等比數列，首項為120

第n次對折后的圖形面積為120×12n根據（1）的過程和結論，猜想為n+1種（證明從略），故得猜想Sn=則12兩式作差得：1=360-因此，S=720故答案為：5；720-(2021·全國·模擬預測）放射性元素的原子核有半數發(fā)生衰變時所需要的時間叫半衰期，這種理論也應用在醫(yī)學上，醫(yī)學上半衰期的具體定義為藥物在生物體內濃度下降一半所需要的時間．現有A，B兩種新研制的藥物，為研究其藥性特點，在兩只身體狀況一致的小白鼠體內分別注射藥物A，B，已知藥物A的半衰期為8小時，設經過n-1個半衰期，A，B兩種藥物的濃度分別為an,bn，若b1=2A．6小時 B．小時 C．10小時 D．12小時專題升華學會用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界，數學閱讀能力的培養(yǎng)是滲透在平常學習的點點滴滴之中的.掌握閱讀策略.數學是一門嚴謹的學科，有自己的語言，在閱讀中對不同的素材內容，采用不同的策略方法．同時數學是一種“數形結合”的語言，所以閱讀試題通常也需要學生在三種語言之間的頻繁的轉換，相互補充，弄清楚試題所表達的意思．加強邏輯思維能力培養(yǎng).高考試題雖然語言簡潔，但是所包含的內容卻十分豐富，要理解這些語言需要有較高的思維能力與閱讀能力．在閱讀中要把重點放在對知識的消化、對試題數量關系的分析、理解和抽象之上．【答案詳解】變式訓練1【答案】B【解析】由x-x2解得x≤-12或x因為方程f(x)-c=0的有兩解，即y如圖所示：結合圖象，可得c<-2或-即實數c的取值范圍是(-∞故選：B.變式訓練2【解析】（1）設事件A：一組件中有次品，則事件A：一組4件中無次品，即4件產品均正品．

又4件產品是否是次品相互獨立，則PA=1-0.0024，

（2）設每組n個電子元件的檢測費用為X，則X的所有可能取值為n+4，6n+4，

PX=nXn6P0.9981-0.998所以EX=n+4(3)An=6+4n-5×0.998n=6+4n-5×(1-0.002)n變式訓練3【答案】B【解析】設b1=2a1=2，則b1=2，a1=1．當藥物A的濃度為a16時，藥物A經歷了15個半衰期，故藥物A，B已被注射進小白鼠體內8×15=120小時，設藥物B的半衰期為故選:B二、關鍵能力信息整理能力專題綜述信息整理能力是指在對大量、無序的信息進行篩選、分類、歸納并形成新的意義的過程中所需要的多種能力，是創(chuàng)新性解決問題的重要能力之一。數學的信息整理能力表現為用數學的眼光發(fā)現問題，用數學的思想方法準確地概括和描述問題，理性地分析和解決問題.如2020年新高考I卷第19題（=2\*ROMANII卷第19題）均通過數學模型的形式，考查學生的閱讀理解、信息整理和分析信息的能力。高考中主要通過結構不良型試題、圖形探究型試題、圖表信息型試題試題來考查信息整理能力專題探究探究1：結構不良型問題數學科的結構不良問題包括：1）問題條件或數據部分缺失或冗余：2）問題目標界定不明確；3）具有多種解決方法、途徑；4）具有多種評價解決方法的標準；5）涉及的概念、規(guī)則和原理等不確定。高考數學的結構不良題一般是在在給出的幾個條件中，要求考生先選擇后補充，體現適度開放的試題特點.(2020新高考=1\*ROMANI卷T17)在①ac=3，②csinA=3，③c=3問題：是否存在△ABC，它的內角的對邊分別為a,b,c,且sin注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【閱讀突破】備選條件已有條件過程及結論=1\*GB3①ac=3=1\*Arabic1．sinA=32.C由正、余弦定理解得△ABC=2\*GB3②csinA=3由正、余弦定理，同角三角函數關系式解得△ABC=3\*GB3③c=3b由正、余弦定理解得△ABC備選條件的不同決定計算過程的繁雜程度條件1可以由正弦定理轉化為邊a,選擇不同條件得出結論有差異本題以解三角形為背景設計，題目本身給定若干條件（三角形并不能隨之確定），讓學生在另外給出的三個條件中自主選擇，通過對試題信息的處理，不同的選擇，解題思路不同，結論就不同，對條件信息的選擇和處理決定了解題的方向，因此給考生提供了充分的選擇和展示自己的舞臺．【解析呈現】由sinA=3sin則：c2=a選擇條件①的解析：據此可得：ac=3m×m選擇條件②的解析：據此可得：cosA則：sinA=1--選擇條件③的解析：可得cb=m與條件c=3(2021·重慶月考)已知△ABC的內角A,Ba+b是否存在以a,b,c為邊的三角形？若存在，求出△ABC面積；若不存在，說明理由.

從①cosC=1補充在上面的問題中并作答.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．探究2：圖形探究型問題圖形探究型試題強調對圖形與圖形關系及其反映的數量和數量關系的探究.具體考查對幾何圖形進行組合、拼接、分割、旋轉、對稱、添加輔助線等,當然還包括平面圖形翻折成空間圖形,空間圖形平面化處理等等.此外,圖形探究往往還涉及對圖形語言的閱讀與理解,即將文字符號語言圖形化:無圖想圖、構圖等，這類題目均聚焦圖形信息整理能力的考查.(2020全國=1\*ROMANI卷理科T16)如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，AB=AD=3，AB⊥AC【閱讀突破】觀圖形特征找等量關系選性質定理空間圖形平面化AEBF在△ACE中，利用余弦定理求邊在△BCF中，利用余弦定理求【解析呈現】∵AB⊥AC，AB由勾股定理得BC=同理得BD=6，在△ACE中，AC=1，AE=由余弦定理得C=1+3-∴CF=CE=1，在△BCF中，BC由余弦定理得cos∠故答案為：-14(2020河北衡水模擬)正三角形ABC的邊長為2,將它沿高AD翻折,使點B與點C間的距離為3，此時四面體ABCD外接球表面積為()A.7πB.19πC.77探究3：圖表信息型問題高考注重考查考生讀圖識圖以及對圖表中蘊含的信息進行提取、加工，計算，總結提煉規(guī)律性結論的應用能力.統(tǒng)計圖表型的試題的特點就是包含一定數量的圖表，強調對圖表的直觀感受和理解，從圖表中識別和提取信息、挖掘數量關系或者將圖表互化，推理驗證得到結論等等．(2020年新高考=2\*ROMANII卷T9)我國新冠肺炎疫情進入常態(tài)化，各地有序推進復工復產，下面是某地連續(xù)11天復工復產指數折線圖，下列說法正確的是()A.這11天復工指數和復產指數均逐日增加

B.這11天期間，復產指數增量大于復工指數的增量

C.第3天至第11天復工復產指數均超過80%D.第9天至第11天復產指數增量大于復工指數的增量【閱讀突破】圖表類型：折線圖圖表含義：復產指數隨天數變化曲線；復工指數隨天數變化曲線提醒：關注復產（復工）曲線自身變化情況以及兩條曲線變化對比的差異點【解析呈現】由圖可知，這11天的復工指數和復產指數有增有減，故A錯；

由折線的變化程度可見這11天期間，復產指數增量小于復工指數的增量，故B錯誤；

第3天至第11天復工復產指數均超過80%，故C正確；

第9天至第11天復產指數增量大于復工指數的增量，D正確；故選：CD.(2021·山東單元測試)小張一星期的總開支分布如圖①所示，一星期的食品開支如圖②所示，則以下說法正確的是A.儲蓄金額為300元B.日常開支比食品中的其他開支多150元

C.娛樂開支比通信開支多50元D.肉類開支占總開支的1專題升華解三角形和數列能夠作為結構不良題，很重要的原因是因為構成三角形和等差等比數列的基本元素（量）比較豐富，同時由于內蘊方程和伴隨要素的原因使得基本元素（量）能夠實現方程的多樣性，為方程思想的考查提供了豐富的切入點．在大部分立體圖形局部化的求解過程中,都可以轉化為解三角形問題,因此解三角形的方法不僅僅應用于解決平面的多邊形問題,解決解析幾何中直線與圓錐曲線問題,還應用于立體幾何中多面體和旋轉體問題.在統(tǒng)計圖表閱讀與信息整理中對不同的素材內容，采用不同的策略方法，熟練每一種圖表及其含義、優(yōu)點．數學是一種“數形結合”的語言，所以閱讀試題通常也需要學生在三種語言之間的頻繁的轉換，相互補充，弄清楚試題所表達的意思.【答案詳解】變式訓練1【解析】若選①：由余弦定理得cosC=解得：ab=6，又由a+b=5，解得a=3b=2或a=2b=3

，

所以存在以a,若選②：cosC=解得：ab=12，因為由a+b=5≥2ab，當且僅當a=b=若選③sinC=22當cosC=13時，同①，可得S△ABC=12變式訓練2【答案】A【解析】以△BDC為底面，AD為高構造出一個三棱錐A-三棱柱中，底面△BDC，BD=CD=1，BC=3，

在△BCD中，由余弦定理可得BC2=BD2+CD2-2BD?CDcos∠BDC，

即3=1+1-2cos∠BDC，故選：A.變式訓練3【答案】A【解析】由題圖②知，小張一星期的食品開支為30+40+100+80+50=300元，

其中肉類開支為100元，占食品開支的13，而食品開支占總開支的30%，

所以小張一星期的肉類開支占總開支的百分比為30%×13=10%，故D錯誤；

小張一星期的總開支為300÷30%=1000元，

所以儲蓄金額為1000×30%=300元，日常開支為1000×20%=200元，故選：ABCμ=1→BP=BB1λ=12→BP=12BC+μBB1→取BC，μ=12→BP=λBC+12BB1→取BB1，【規(guī)范解析】易知，點P在矩形BCC對于A，當λ=1時，BP=BC+μBB△AB1P周長為AB對于B，當μ=1時，BP故此時P點軌跡為線段B1C1，而B1C則有P到平面A1BC的距離為定值，所以其體積為定值，故對于C，當λ=12取BC，B1C1中點分別為Q則BP=BQ+μQH，所以不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，A1(32,0,1)，PBP=(0,-12,μ)故H,Q均滿足，故對于D，當μ=12時，BP=λBC+BP=BM+λMN，所以P因為A(32，0,0)所以34+12y0-故選：BD．(2021河北月考)已知正數x，y，z滿足3xA.1x+12y=1z 探究2：代數推理題在數學科高考中，通過對邏輯推理和理性思維的考查，衡量其批判性思維的發(fā)展水平．而對于理性思維的考查，突出體現在綜合分析問題的過程之中，通過復雜情境的設計增強題目綜合性，考量學生是否能夠根據已知信息，從合理的角度思考問題，用合理的方法解決問題．例如在函數與導數問題中通過對代數推理能力的考查來達到批判性思維考查的目的.(2020全國=3\*ROMANIII卷理科T21)設函數f(x)=x3+bx+c，曲線（1）求b．（2）若f(x)有一個絕對值不大于1的零點，證明：f【思維引導】本題主要考查利用導數研究函數的零點，涉及到導數的幾何意義，反證法思想，體現了對批判性思維思維能力的考查要求.(1)f((2)由（1）f(xf→c>14或【規(guī)范解析】(1)f'(x)=3x2(2)由（1）可得f(x)=令f'x>0，得x>12或所以f(x)在-12且f-1=c-14,若f(x)所有零點中存在一個絕對值大于1的零點x0，則即c>14當c>14時,f-1=c又f-由零點存在性定理知f(x)在-4c即f(x)在-∞,-此時f(x)當c<-14時又-4由零點存在性定理知f(x)在1,-4c上存在唯一即f(x)在1,+∞上存在唯一此時f(x)綜上，f(x)所有零點的絕對值都不大于(2021江蘇月考)已知函數fx=ax-1x(a>1)

(1)(2)若x0為fx的零點，求證：專題升華多選題從主干到選項都圍繞著較大的主題展開，考查在復雜題目中提取有效、有用、合理的信息，作為邏輯推理的合理論據，需要較強的批判性思維能力。解決函數與導數問題通常運用分類討論思想、函數方程思想、轉化化歸思想，體會導數工具性價值；在解析幾何問題的解答中要體會代數方法解決幾何問題的特點，感受代數工具的價值.嘗試多角度解決問題，比較解法，選擇合理的途徑解決問題。【答案詳解】變式訓練1【答案】ABD【解析】令3xx=1logt31x+14x=4logt3=logt又2z=2logt6=logtxyz=1+12(lg2lg3+lg3lgx+yz=xz+yz=lg故選：ABD．變式訓練2【解答】(1)已知y=ax(a>1)和y=-1x在0,+∞遞增，

故fx在1,2單調遞增，故fxmax=f2=a2-12=72，解得：a=2；

(2)證明：若x0為fx的零點，則ax0=1x0，

又當x→+0時，fx→-∞,當x=1四、關鍵能力語言表達能力專題綜述語言表達能力和閱讀理解能力既相互聯系又彼此對應，其操作對象都是語言，閱讀理解是信息輸入的過程，語言表達則是信息輸出的過程，是閱讀理解結果的呈現.在高考中,對語言表達能力的考查不僅僅是對數學語言運用能力的考查，更是對思維過程的考查，通過考生的答題過程判斷考生是否真正理解數學概念和掌握數學思維方法,因此規(guī)范地語言表達至關重要.專題探究探究1：解三角形解答題規(guī)范解答在高考中解三角形試題往往與三角函數的性質、三角恒等變換等知識綜合起來考查，也比較靈活，也常與三角形中有關量（邊或角）的范圍交匯考查，書寫解析過程時盡量把角或邊的范圍找完善，避免結果的范圍過大．求最值時，有時也要用到重要不等式。(2021湖南聯考)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a(1)求A；(2)若2a+b【思維引導】等量關系→結合正弦定理+變形→利用余弦定理化邊為求角→求出A的值；等量關系+（1）的結論→利用正弦定理化邊為角之間的關系→求出C的表達式→利用兩角和的正弦公式求出sinC【規(guī)范解析】(1)∵△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，則sin2B+sin2C-2sinBsinC=sin2(2)∵2a+∴由正弦定理得2sinA+sinB=2sinC,

∴62+sin∵C∈0,2π3，∴C∴sinC=【得分要點】①寫全得步驟分：對于解題過程中得分點的步驟有則給分，無則沒分，所以得分點步驟一定要寫全，如第(1)問中沒有寫出0<A<π要第(2)問中由C∈0,2π②寫明得關鍵分：對于解題過程中的關鍵點，有則給分，無則沒分，所以在答題時要寫清得分關鍵點，如第(1)問中由正弦定理得b2第(2)問中由正弦定理得2sinA+sinB=2sinC③運算正確得計算分：解題過程中計算準確，是得滿分的根本保證，如得到sinC-π6=(2022江蘇月考)在△ABC中，角A,B若3asinC+acosC(2)若a=3，求探究2：立體幾何解答題規(guī)范表達高考立體幾何解答題，對語言表達能力有兩方面的要求，敘述推理證明步驟和書寫計算求解過程.高考中的立體幾何考題定位為中低檔題，難度不大.但不少考生的得分不如預期，會做的題目卻得不到滿分，主要問題出在解答過程的表達不夠規(guī)范上.立體幾何解答題的解答過程需要不少文字、符號，但也不是寫得越多越好，寫要寫在關鍵點上，得分點上.(2020新高考=1\*ROMANI卷T20)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明：l⊥平面PDC(2)已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面【思維引導】(1)由已知線線平行→線面平行→線線平行→線線垂直→線面垂直；(2)已知+（1）的結論→建立合適的空間直角坐標系→平面QCD的法向量n和PB→利用sinθ=【規(guī)范解析】(1)∵PD⊥底面ABCD，且AD?平面ABCD，∴PD⊥AD，

∵ABCD為正方形，∴AD⊥DC，

又∵PD∩DC=D，且PD、DC在平面PDC內，∴AD⊥平面PDC，

∵AD//BC，且BC?平面PBC，AD?平面PBC，∴AD//平面PBC（2）以D為坐標原點，DA的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系D-因為PD=AD=1設Q(m,0,1)，m>0設平面QCD的法向量為n=(x,y,z)，則令x=1，則z=-m，所以平面QCD