2023年高考數(shù)學(xué)母題題源解密（新高考卷）：二項(xiàng)式定理與隨機(jī)變量分布（原卷版）

專題17二項(xiàng)式定理與隨機(jī)變量的分布

【母題來源】2022年新高考I卷

【母題題文】

。一?)(x+y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

【母題來源】2022年新高考n卷

【母題題文】

隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布Ng<72),若p(2<x<2,5)=0.36,貝UP(X>2.5)=_____

倒題闌回

【命題意圖】

1.考察二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用，考察基本計(jì)算能力和邏輯推導(dǎo)能力.

2.考察正太分布，考察正態(tài)分布特征.

【命題方向】

1.二項(xiàng)展開基本定理，還會(huì)涉及到三項(xiàng)展開?？疾焯囟?xiàng)，特定項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)，同時(shí)會(huì)涉及到賦值

法的應(yīng)用。多為小題.

2.考察正太分布，二項(xiàng)分布，超幾何分布等常見的分布.

【得分要點(diǎn)】

一、二項(xiàng)式定理

(a+b)"=Cna"+Cnci"~'b+??,+Cha""rb'+,?"+C"bn(nGN')

這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(。+6)"的二項(xiàng)展開式，其中的系數(shù)C；；(r=(),1,

2,…，〃)叫做第，+L項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).式中的CZ”以叫做二項(xiàng)式展開式的第廠+1項(xiàng)(通項(xiàng)),用T?i表示,

即展開式的第，+1項(xiàng);J?=CZ)方.

二、常見隨機(jī)變量的分布列

(1)兩點(diǎn)分布：

若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則其分布列為

X01

p1-pp

其中夕=P(X=1)稱為成功概率.

(2)超幾何分布

在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取“件，其中恰有X件次品,則事件{X=解發(fā)生的概率為P(X=乃=筆上

k=0,1,2,…，m,其中m=min{M,n},且“WN,MwN,n,M,NGN*,稱分布列為超幾何分布列.

X01…m

Cl/C允Lc%c弘

p…

c氐c%，C!<

(3)二項(xiàng)分布

如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是P(X

=k)=Ci,Pkq"-k,其中％=0,1,2,3,…，n,?=1-尸.于是得到隨機(jī)變量X的概率分布如下：

X01k?.?n

PC?,P°q"CW/T…C爐…CAPnq°

由于心產(chǎn)嚴(yán)*恰好是二項(xiàng)展開式(尸+?)"=€：2)/+(：04"-1+…+C爐卬-*+…+0嚴(yán)曠中的第/+1項(xiàng)(4=0,

1,2,〃)中的值，故稱隨機(jī)變量X為二項(xiàng)分布，記作X~B(〃，P).

三.離散型隨機(jī)變量的均值與方差

(2)。⑶=￡(即_￡：(田)2“為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(R的平均偏離程度，其算

術(shù)平方根而方為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

2,二項(xiàng)分布的均值、方差

若X~B(〃,p),貝DX=np[\-p).

3.兩點(diǎn)分布的均值、方差

若X服從兩點(diǎn)分布，則EX=p(p為成功概率)，DX=p(1-p).

4.離散型隨機(jī)變量均值與方差的性質(zhì)

E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)(a,6為常數(shù)).

1.（2021?湖北?高三開學(xué)考試）已知隨機(jī)變量X~N（0,02）,且P（X<a）="?,a>0,則P（-a<X<a）=

（用加表示）

2.（2020?海南?三亞市第二中學(xué)高三階段練習(xí)）某超市經(jīng)營(yíng)的某種包裝優(yōu)質(zhì)東北大米的質(zhì)量X（單位：kg）

服從正態(tài)分布'（25,0.04）,任意選取一袋這種大米，質(zhì)量在24.8~25.4像的概率為.（附：若

Z~N（〃,（J2）,貝IJ尸c）=0.6826,P（|Z-“v2c）=0.9544,P（|Z-〃|<3c）=0.9974）

..1Q

3.（2022?遼寧大連一模）已知隨機(jī)變量dNl,4,且P（小l）=P（fNa-3）,則上+—_（0<》<0）的

xa-x

最小值為.

4.（2022?江蘇?揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在（底-盅J（〃N3,2w”9,〃,peN*）展開式中，第2,3,4

項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列，且展開式中有常數(shù)項(xiàng)，則該常數(shù)項(xiàng)是第項(xiàng).

5.（2021?廣東?珠海市第二中學(xué)高三階段練習(xí)）若（2+x）,=旬+%（1+%）+%（1+*）2+-+%（1+切”,則

出+為+/+…+陽+%=.

6.（2022?湖南?長(zhǎng)郡中學(xué)一模）已知（1-4》產(chǎn)=%+叱+--+%）22》2°22,則

6,〃24“34.?“2022_

萬+5+^+…+萍------------

7.（2022?湖北?襄陽五中二模）已知函數(shù)/（x）=10x+3cosx在尸0處的切線與直線”x-y=0平行，則二項(xiàng)

式（l+x+x2）（i-x）"展開式中含/項(xiàng)的系數(shù)為

8.（2022?重慶八中模擬預(yù)測(cè)）為了監(jiān)控某種食品的生產(chǎn)包裝過程，檢驗(yàn)員每天從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取

%（4eN*）包食品，并測(cè)量其質(zhì)量（單位：g）.根據(jù)長(zhǎng)期的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下每包食品質(zhì)量

服從正態(tài)分布漢（〃,）.假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記，表示每天抽取的k包食品中其質(zhì)量在（〃-3。,〃+3c）之外

的包數(shù)，若。的數(shù)學(xué)期望E⑹>03,則左的最小值為.

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布則尸（"3。<X<〃+3。）=0.9973.

9.（2021?河北?武安市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）隨機(jī)變量f的可能值1,2,3,且尸（$=1）=30-1,尸仔=3）=1-。,

則。（f）的最大值為.

10.（2022?山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量CN（4,"）,且P（43）=P（絆。+1）,則

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-+------（0<x<a）的最小值為.

xa-x

11.（2022?河北保定?二模）若（2x+g）（x+￡]”展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為96,則展開式中x?的系數(shù)為

12.（2022?山東濟(jì)寧?二模）從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2人擔(dān)任正、副班長(zhǎng)兩個(gè)職位，共有〃種方法，則

的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）

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13.（2022?福建?廈門一中模擬預(yù)測(cè)）已知（;r-ax）（x-