2023年高考數(shù)學母題題源解密（新高考卷）：二項式定理與隨機變量分布（原卷版）

專題17二項式定理與隨機變量的分布

【母題來源】2022年新高考I卷

【母題題文】

。一?)(x+y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

【母題來源】2022年新高考n卷

【母題題文】

隨機變量X服從正態(tài)分布Ng<72),若p(2<x<2,5)=0.36,貝UP(X>2.5)=_____

倒題闌回

【命題意圖】

1.考察二項式定理及其應用，考察基本計算能力和邏輯推導能力.

2.考察正太分布，考察正態(tài)分布特征.

【命題方向】

1.二項展開基本定理，還會涉及到三項展開?？疾焯囟?，特定項的系數(shù)，二項式系數(shù)，同時會涉及到賦值

法的應用。多為小題.

2.考察正太分布，二項分布，超幾何分布等常見的分布.

【得分要點】

一、二項式定理

(a+b)"=Cna"+Cnci"~'b+??,+Cha""rb'+,?"+C"bn(nGN')

這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(。+6)"的二項展開式，其中的系數(shù)C；；(r=(),1,

2,…，〃)叫做第，+L項的二項式系數(shù).式中的CZ”以叫做二項式展開式的第廠+1項(通項),用T?i表示,

即展開式的第，+1項;J?=CZ)方.

二、常見隨機變量的分布列

(1)兩點分布：

若隨機變量X服從兩點分布，則其分布列為

X01

p1-pp

其中夕=P(X=1)稱為成功概率.

(2)超幾何分布

在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取“件，其中恰有X件次品,則事件{X=解發(fā)生的概率為P(X=乃=筆上

k=0,1,2,…，m,其中m=min{M,n},且“WN,MwN,n,M,NGN*,稱分布列為超幾何分布列.

X01…m

Cl/C允Lc%c弘

p…

c氐c%，C!<

(3)二項分布

如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是P(X

=k)=Ci,Pkq"-k,其中％=0,1,2,3,…，n,?=1-尸.于是得到隨機變量X的概率分布如下：

X01k?.?n

PC?,P°q"CW/T…C爐…CAPnq°

由于心產(chǎn)嚴*恰好是二項展開式(尸+?)"=€：2)/+(：04"-1+…+C爐卬-*+…+0嚴曠中的第/+1項(4=0,

1,2,〃)中的值，故稱隨機變量X為二項分布，記作X~B(〃，P).

三.離散型隨機變量的均值與方差

(2)。⑶=￡(即_￡：(田)2“為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(R的平均偏離程度，其算

術平方根而方為隨機變量X的標準差.

2,二項分布的均值、方差

若X~B(〃,p),貝DX=np[\-p).

3.兩點分布的均值、方差

若X服從兩點分布，則EX=p(p為成功概率)，DX=p(1-p).

4.離散型隨機變量均值與方差的性質(zhì)

E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)(a,6為常數(shù)).

1.（2021?湖北?高三開學考試）已知隨機變量X~N（0,02）,且P（X<a）="?,a>0,則P（-a<X<a）=

（用加表示）

2.（2020?海南?三亞市第二中學高三階段練習）某超市經(jīng)營的某種包裝優(yōu)質(zhì)東北大米的質(zhì)量X（單位：kg）

服從正態(tài)分布'（25,0.04）,任意選取一袋這種大米，質(zhì)量在24.8~25.4像的概率為.（附：若

Z~N（〃,（J2）,貝IJ尸c）=0.6826,P（|Z-“v2c）=0.9544,P（|Z-〃|<3c）=0.9974）

..1Q

3.（2022?遼寧大連一模）已知隨機變量dNl,4,且P（小l）=P（fNa-3）,則上+—_（0<》<0）的

xa-x

最小值為.

4.（2022?江蘇?揚中市第二高級中學模擬預測）在（底-盅J（〃N3,2w”9,〃,peN*）展開式中，第2,3,4

項二項式系數(shù)依次成等差數(shù)列，且展開式中有常數(shù)項，則該常數(shù)項是第項.

5.（2021?廣東?珠海市第二中學高三階段練習）若（2+x）,=旬+%（1+%）+%（1+*）2+-+%（1+切”,則

出+為+/+…+陽+%=.

6.（2022?湖南?長郡中學一模）已知（1-4》產(chǎn)=%+叱+--+%）22》2°22,則

6,〃24“34.?“2022_

萬+5+^+…+萍------------

7.（2022?湖北?襄陽五中二模）已知函數(shù)/（x）=10x+3cosx在尸0處的切線與直線”x-y=0平行，則二項

式（l+x+x2）（i-x）"展開式中含/項的系數(shù)為

8.（2022?重慶八中模擬預測）為了監(jiān)控某種食品的生產(chǎn)包裝過程，檢驗員每天從生產(chǎn)線上隨機抽取

%（4eN*）包食品，并測量其質(zhì)量（單位：g）.根據(jù)長期的生產(chǎn)經(jīng)驗，這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下每包食品質(zhì)量

服從正態(tài)分布漢（〃,）.假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記，表示每天抽取的k包食品中其質(zhì)量在（〃-3。,〃+3c）之外

的包數(shù)，若。的數(shù)學期望E⑹>03,則左的最小值為.

附：若隨機變量X服從正態(tài)分布則尸（"3。<X<〃+3。）=0.9973.

9.（2021?河北?武安市第一中學高三階段練習）隨機變量f的可能值1,2,3,且尸（$=1）=30-1,尸仔=3）=1-。,

則。（f）的最大值為.

10.（2022?山東師范大學附中模擬預測）已知隨機變量CN（4,"）,且P（43）=P（絆。+1）,則

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-+------（0<x<a）的最小值為.

xa-x

11.（2022?河北保定?二模）若（2x+g）（x+￡]”展開式中各項的系數(shù)之和為96,則展開式中x?的系數(shù)為

12.（2022?山東濟寧?二模）從甲、乙、丙3名同學中選出2人擔任正、副班長兩個職位，共有〃種方法，則

的展開式中的常數(shù)項為.（用數(shù)字作答）

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13.（2022?福建?廈門一中模擬預測）已知（;r-ax）（x-