專題13 等腰三角形常見輔助線的作法（原卷版）

專題13等腰三角形常見輔助線的作法（原卷版）類型一作底邊中線（連接頂角頂點(diǎn)與底邊中點(diǎn)）1．（2023秋?萬州區(qū)校級(jí)月考）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°；AC＝8，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AD＝CE，連接DE、DF、EF．在此運(yùn)動(dòng)變化過程中，下列結(jié)論：①△DEF是等腰直角三角形，②四邊形CDFE保持面積不變，③DF的長度處于最小值時(shí)，CD的長為4；④S△CDE＝S△DEF；其中正確的結(jié)論是（）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．①②③2．（2023?成武縣校級(jí)三模）如圖，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且AE＝AF，求證：DE＝DF．3．（2020秋?新華區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，過A點(diǎn)的直線EF∥BC，且AE＝AF，求證：DE＝DF．

4．（2018秋?鄰水縣校級(jí)期末）如圖所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)D，交AC于F．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度數(shù)；（2）若點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，求證：∠CFD=12∠類型二作底邊上的高5．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，點(diǎn)D在BA的延長線上，CA＝CD，BD＝6，則AD＝（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2014?甘肅模擬）如圖，已知AB＝AC，BD⊥AC于點(diǎn)D，求證：∠DBC=12∠7．如圖，點(diǎn)D、E分別在BA、AC的延長線上，且AB＝AC，AD＝AE，求證：DE⊥BC．

8．（2019秋?河池期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、點(diǎn)E在BC邊上，且AB＝AC，AD＝AE．求證：DB＝CE．9．（2022秋?晉江市期中）如圖，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一點(diǎn)，且EA＝EC，求證：EB⊥AB．10．（2023春?市中區(qū)期末）小明遇到這樣一個(gè)問題如圖1，△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且BD＝BC，求證：∠ABC＝2∠ACD．小明發(fā)現(xiàn)，除了直接用角度計(jì)算的方法外，還可以用下面兩種方法：方法2：如圖2，作BE⊥CD，垂足為點(diǎn)E．方法3：如圖3，作CF⊥AB，垂足為點(diǎn)F．根據(jù)閱讀材料，從三種方法中任選一種方法，證明∠ABC＝2∠ACD．

類型三倍長中線法11．（2021秋?南通期中）如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝a，EF＝a，BF＝b，則AC的長為（）A．a(chǎn)+b B．2b C．1.5b D．b12．（2023?滕州市模擬）綜合與實(shí)踐小明遇到這樣一個(gè)問題，如圖1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍．小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個(gè)問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，構(gòu)造△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決．請(qǐng)回答：（1）小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是：；（填入你選擇的選項(xiàng)字母）A．SASB．SSSC．AASD．ASA（2）AD的取值范圍是．小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點(diǎn)就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)，G、F分別為AD，BC邊上的點(diǎn)，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的長．

類型四截長補(bǔ)短法13．（2007?沈陽）如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則△AMN的周長為．14．（2021秋?龍亭區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，CD平分∠ACB交AB于D，E為BC上一點(diǎn)，BE＝DE．求證：BC＝CD+AD．類型五角平分線+平行線構(gòu)造等腰三角形15．（2022春?驛城區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB的平分線OC上的任意一點(diǎn)，PD∥OA交OB于點(diǎn)D，PE⊥OA于點(diǎn)E，如果OD＝8cm，求PE的長．16．（2020秋?秦淮區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足為E．求證：AC＝2BE．

17．（2022秋?淮濱縣期末）已知A（﹣10，0），以O(shè)A為邊在第二象限作等邊△AOB．（1）求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)；（2）如圖，點(diǎn)M、N分別為OA、OB邊上的動(dòng)點(diǎn)，以MN為邊在x軸上方作等邊△MNE，連結(jié)OE，當(dāng)∠EMO＝45°時(shí)，求∠MEO的度數(shù)．類型六角平分線+垂直構(gòu)造等腰三角形18．（2020秋?朝陽區(qū)校級(jí)期中）我們知道“對(duì)稱補(bǔ)缺”的思想是解決與軸對(duì)稱圖形有關(guān)的問題的一種重要的添加輔助線的策略，參考這種思想解決下列問題如圖，在△ABC中，D為△ABC外