2022年重慶高考數(shù)學(xué)真題及答案

2022年重慶高考數(shù)學(xué)真題及答案

注意事項(xiàng)：

1.答卷前,考生務(wù)必將自己得姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.答選擇題疇,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目得答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題畤,將答案寫在答題卡上.寫在本試卷

上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出得四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求得.

1.已知集合4={-1,1,2,4},8=,卜一1區(qū)1},則48=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合8后可求

【詳解】8={x|0WxW2},故AB={1,2},

故選:B.

2.(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)得乘法可求(2+2i)(l-2i).

【詳解】(2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,

故選:D.

3.中國(guó)得古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨得住處,更是美學(xué)和哲學(xué)得體現(xiàn).如圖是某古建筑物得剖面

圖，是舉，OA，OG，C4,BA是相等得步，相鄰桁得舉步之比分別為

票==冗,景=k2,—^=%,若勺,是公差為0.1得等差數(shù)列,且直線

C/jjJD/11

Q4得斜率為0.725,則%=()

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)。。=DCt==84=1,則可得關(guān)于女3得方程,求出其解后可得正確得選

項(xiàng).

【詳解】設(shè)。2=DC]=CB]-=1,則CC,==k2,AA]-k3,

DD[+CC|+BB]+AA1

依題意，有"一0.2=占,&-0.1=k2，且=0.725

OD]+DC]+CB}+BA,

u-，0.5+3&-0.3crcu

所以-------2------=0.725，故％=。n-9n,

4

故選:D

4.已知a=(3,4),b=(l,()),c=a+仍，若<a,c>=<b,c>,則f=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量得運(yùn)算和向量得夾角得余弦公式得坐標(biāo)形式化簡(jiǎn)即可求得

,.9+3/+163+/

【詳解】解：，=(3+f,4),cosa,c=cosb,c,即一—=解得t=5,

故選:C

5.有甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰得不同排列

方式有多少種()

A.12種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【解析】

【分析】利用捆綁法處理丙丁,用插空法安排甲,利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解

【詳解】因?yàn)楸∫谝黄?先把丙丁捆綁,看做一個(gè)元素,連同乙,戊看成三個(gè)元素排列,有

3!種排列方式;為使甲不在兩端,必須且只需甲在此三個(gè)元素得中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置

插入，有2種插空方式;注意到丙丁兩人得順序可交換，有2種排列方式,故安排造5名同學(xué)共

有：3!x2x2=24種不同得排列方式，

故選:B

6.角a,/?滿足sin(a+￡)+cos(a+￡)=2&cosa+石卜姑萬，則()

A.tan(a+P)=lB.tan(<z+0=T

C.tan(a—，)=1D.tan(a-/7)=-1

【答案】D

【解析】

【分析】由兩角和差正余弦公式化簡(jiǎn),結(jié)合同角三角函數(shù)得商數(shù)關(guān)系即可得解.

【詳解】由已知

得：sinacos/3+cosasin夕+cosacos力-sinasin/?=2(cosa-sina)sin/7,

即：sintzcos(3-cosasin耳+8Sacos,+sinasin/7=0,

即：sin(a-4)+cos(a—4)=0,

所以=

故選:D

7.正三棱臺(tái)高為1,上下底邊長(zhǎng)分別為3?和46,所有頂點(diǎn)在同一球面上,則球得表面積

罡（）

A.1007tB.128兀C.144KD.1927r

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面半徑不弓，再根據(jù)球心距，圓面半徑,

以及球得半徑之間得關(guān)系，即可解出球得半徑,從而得出球得表面積.

【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面得半徑小與，所以2^=上反,2匕=上①，即

sin60~sin60

4=3,弓=4,設(shè)球心到上下底面得距離分別為4,球得半徑為R,所以

4=JR2_9,4=JR2_16,故|4一蜀=1或4+4=1，即收二9-1斤-16=1或

22

V/?-9+奴—16=1，解得R=25符合題意,所以球得表面積為S=47tA2=JOOK.

故選：A.

8.若函數(shù)/a)得定義域?yàn)镽,且f(x+y)+f(x—y)=/(x)/(y)J⑴=1,則

22

，/(%)=()

*=l

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)/(x)得一個(gè)周期為6,求出函數(shù)一個(gè)周期中得

/(1),/(2),,/(6)得值，即可解出.

【詳解】因?yàn)?(%+丁)+/(%-丫)=/(%)/()。，令》=1,^=0可得，2/(l)=/(l)/(O),

所以/(0)=2,令X=0可得，〃>)+〃-)，)=2/(y),即=/(-y),所以函數(shù)/(x)

為偶函數(shù)，令y=l得，/(x+l)+/(x_l)=/(x)/(l)=/(x),即有

/(x+2)+/(x)=/(x+1),從而可知/(x+2)=_/(x_l),f(x-l)=-f(x-4),故

〃x+2)="x—4),即/(x)=f(x+6),所以函數(shù)〃x)得一個(gè)周期為6.

因?yàn)?/p>

/(2)=/(1)-/(0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,

f(4)=f(-2)=f(2)=-l,〃5)=/(—1)=/⑴=1,〃6)=/(0)=2,所以

一個(gè)周期內(nèi)得/。）+/（2）++/（6）=0.由于22除以6余4,

22

所以￡/億）=/■⑴+/（2）+〃3）+/.（4）=1-1-2-1=-3.

k=\

故選:A.

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出得選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)得得5分,部分選對(duì)得得2分,有選錯(cuò)得得0分.

9.函數(shù)/（x）=sin（2x+0）（0<9<7r）得圖象以（手0）中心對(duì)稱，則（）

A.y=/。）在（0,：5）單調(diào)遞減

（兀11兀、

B.y=/（x）在［一五，五有2個(gè)極值點(diǎn)

7兀

C.直線無二▼是一條對(duì)稱軸

D.直線y=—x是一條切線

2

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)得性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出.

【詳解】由題意得：方■）=5布［9+°）=0,所以自+夕=%兀，kwZ,

471

即0=---+攵兀,Z￡Z,

又0<夕<兀，所以％=2除9=g^/（x）=sin（2x+g）.

除2x+92兀3兀

對(duì)A,當(dāng)萬由正弦函數(shù)y=sin”圖象知y=/（x）在

[TT1lir|271I715TTI

對(duì)B,當(dāng)一不附，2x+—e\—,—\,由正弦函數(shù)y=sin”圖象知y=f(x)只

有1個(gè)極值點(diǎn)，由2x+與=與，解得x=Il,即x=Il為函數(shù)得唯一極值點(diǎn);

對(duì)c,當(dāng)x=4s除2x+@=3兀，外如）=0,直線x=F不是對(duì)稱軸;

6366

對(duì)D,由y'=2cos|2x+一|=一1得：cos|2x+一=一一,

2兀2兀2兀4兀

解得2x+——=——+2E或2x+——=——+2E,ZeZ,

3333

7T

從而得：x=E或x=—+Z兀，女eZ,

3

所以函數(shù)y=fM在點(diǎn)［°，等）處得切線斜率為k=兒句=2cosy=-1,

切線方程為：y—@=—（x—0）即y=—X.

22

故選:AD.

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn),過拋物線C:丁=2px（p>0）得焦點(diǎn)/得直線與。交于A,8兩點(diǎn),

點(diǎn)4在第一象限，點(diǎn)M（p,0）,若1人用=141/|,則（）

A.直線AB得斜率為2aB.1051=|OF|

C.\AB|>4|OF|D.ZOAM+ZOBM<ISO°

【答案】ACD

【解析】

【分析】由|A耳=|AM|及拋物線方程求得&日,當(dāng)），再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；

表示出直線AB得方程,聯(lián)立拋物線求得8（2,-殍）,即可求出|。目判斷B選項(xiàng)；由拋物

線得定義求出1=辭即可判斷C選項(xiàng)；由.03<0,M4-MB<0求得

ZAOB,ZAMB為鈍角即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于A,易得F（^,0），由|AF|=可得點(diǎn)A在外/得垂直平分線上,則A點(diǎn)橫坐標(biāo)為

2_3p,

2~4

代入拋物線可得/=2p-^=|p2,則冬當(dāng)，字），則直線AB得斜率為

aP

二—=2#,A正確；

3￡_￡

42

L1P

對(duì)于B,由斜率為2指可得直線A6得方程為％=5而y+彳聯(lián)立拋物線方程得

V一2py”=(),

設(shè)8（石,％）,則丫5p+必=逅p,則％=-遜，代入拋物線得

=2p-X1,解

263

號(hào)＜。,則

7

NA08為鈍角,

岑t/卦當(dāng)卜殍卜胃

則NAAffi為鈍角，

又ZAOB+ZAMB+NOAM+NOBM=360,則ZOAM+40BM<180,D正確.

故選:ACD.

11.如圖，四邊形ABCQ為正方形，EDL平面ABCDFB〃ED,AB=ED=2FB,記三

棱錐E—AC。，F(xiàn)-ABC,/—ACE得體積分別為憶匕,匕，則（）

A.匕=2%B.匕=2匕

C.匕=匕+匕D,2匕=3Vl

【答案】CD

【解析】

【分析】直接由體積公式計(jì)算匕,匕，連接8D交AC于點(diǎn)〃，連接由

匕=匕-EFM+%_EFM計(jì)算出匕，依次判斷選項(xiàng)即可?

設(shè)AB=￡D=2FB=2a,因?yàn)椤闑)_L平面A8CDFB\￡?,則

23

Vt=^-ED-SACD=^-2a-\2a)=^a,

%=gSA8C=,連接BD交AC于點(diǎn)M,連接EM,FM,易得

BD1AC,

又匹，平面ABCD,ACu平面ABCD,則ED上AC,又EDBD=D,ED,BDu平

面BDEF,則AC，平面BDEF,

又BM=DM=、BD=Oa,過F做FGLDE于G,易得四邊形BOGE為矩形,則

2

FG=BD=2EG=a,

則

EM=

EF=Ja

1Q歷

￡Af2+FM2sn=—EM-FM=一片,AC=2五a，

22

則匕=匕-EFM+VJEFM=gAC?sEFM=2/,則2匕=3V,,匕=3彩，匕=匕+%,故A、

B錯(cuò)誤;C、D正確.

故選:CD.

12.對(duì)任意x,y,X?+)2-孫=1,則()

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>\

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)得真假.

【詳解】因?yàn)?三也(a,blR),由4+產(chǎn)一初=i可變形

I2)2

為，(%+才-1=3孫43蘭上，解得一2?%+丁〈2,當(dāng)且僅當(dāng)》=丁=-1

畤，x+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l畤，x+y=2,所以A錯(cuò)誤,B正確;

22

由f+y2—町=1可變形為卜2+>2)_]=盯〈與21,解得爐+產(chǎn)。，當(dāng)且僅當(dāng)

X=>=±1畤取等號(hào),所以C正確;

x丁丫+=1,設(shè)無-_j.=cos6,^^y=sin。，所以

因?yàn)?+：/一肛=1變形可得

2）

2

x=cos0+忑sin。，因止匕

9572111

x9+y9=cos6+—sin6+—j=sinecose=l+—；=sin2e——cos20+—

3G633

=！+；豆11（26-5]€|'3,2],所以當(dāng)％=理》=一立疇滿足等式,但是》2+2?1不

3316八3」33

成立，所以D錯(cuò)誤.

故選:BC.

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.己知隨機(jī)變量才服從正態(tài)分布N（2,cr2）,且P（2<XV2.5）=0.36,則

尸（X>2.5）=.

7

【答案】0.14##—.

50

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線得性質(zhì)即可解出.

【詳解】因?yàn)閄N（2Q2）,所以p（x<2）=P（X>2）=0.5,因此

P（X>2.5）=P（X>2）-P（2<XW2.5）=0.5-0.36=0.14.

故答案為：0.14.

14.寫出曲線y=ln|_x|過坐標(biāo)原點(diǎn)得切線方程:,.

【答案】①.y=-x②.y=--x

ee

【解析】

【分析】分x>0和x<0兩種情況，當(dāng)x>0畤設(shè)切點(diǎn)為（毛』!1天），求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即

可求出切線得斜率,從而表示出切線方程,再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出為,即可求出切線方程,

當(dāng)x<0畤同理可得；

【詳解】解：因?yàn)閥=ln|x|,

當(dāng)x〉0疇y=lnx,設(shè)切點(diǎn)為（不』11%），由y'=L，所以y'L』=一，所以切線方程為

X玉）

y-lnx0=—(x-x0),

%

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以Tn%=一(一/)，解得%=e,所以切線方程為y—l=!(x—e),

xoe

即y=-x；

e

當(dāng)無^畤尸爪-立設(shè)切點(diǎn)為國(guó)叭一西》由了二匕所以川門尸匕所以切線方程

X%

為y-ln(-xJ=-!-(x-X|),

x\

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn),所以-In(-xj=-(-x,),解得再=-e,所以切線方程為

%］

y-1=—(x+e)，即y=--x；

-ee

故答案為：y=-x-,y=--x

ee

15.已知點(diǎn)A(—2,3),5(0,a),若直線AB關(guān)于丁=a得對(duì)稱直線與圓

(x+3)2+(y+2)2=1存在公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a得取值范圍為.

]_3

【答案】

3,2

【解析】

［分析］首先求出點(diǎn)A關(guān)于y=a對(duì)稱點(diǎn)A得坐標(biāo),即可得到直線/得方程,根據(jù)圓心到直線

得距離小于等于半徑得到不等式,解得即可；

【詳解】解：A(—2,3)關(guān)于y=a對(duì)稱得點(diǎn)得坐標(biāo)為A'(—2,2a—3),5(0,a)在直線y=a

上，

所以A8所在直線即為直線/,所以直線/為y=3二尤+a,即(a-3)x+2y-2a=0；

-2

圓C:（x+3）-+（y+2）一=1,圓心C（—3,-2）,半徑r=l,

依題意圓心到直線/得距離d=<1

,1313

即（5—5a）Y（a—3）9一+22,解得力4號(hào)，即ae-,1

故答案為：-A

16.已知橢圓1+匕=1,直線/與橢圓在第一象限交于A,6兩點(diǎn),與x軸,y軸分別交于必N

兩點(diǎn)，且|M4|=|NB|,||=2百，則直線/得方程為

【答案】x+V2y-2V2=0

【解析】

【分析】令A(yù)8得中點(diǎn)為E,設(shè)A（%,X）,8（9,%）,利用點(diǎn)差法得到《E?MB=一（，設(shè)直

線AB:y=q；+,〃，女＜0,機(jī)＞0,求出M、N得坐標(biāo)，再根據(jù)|MN|求出A、"2,即可得

解；

【詳解】解:令A(yù)3得中點(diǎn)為E,因?yàn)閨M4|=|NB|,所以眼目=|N￡|,

2222

設(shè)B（9,%），則工+里=1，二+*=1，

6363

所以立_4+日一迂=0,即&々）&+"2）+（乂+%）&「％）=0

663363

（）（）

y+%%—%=一；,BPkOE-kAB設(shè)直線AB:y=Ax+M,攵<0,m>0,

（王—+W）22

JTl（十吟所以《囁

令尤=（）得y=m，令y=0得x=-一，即M,o"o,9,

k

m

即A：x」一=—1,解得上=一變或％=變（舍去）,

m222

~2k

又|MN|=26,即\MN\=+（國(guó)丁=2JL解得加=2或加=一2（舍去）,

所以直線48:^=-三8+2,即工+女y一2夜=0;

故答案為：x+&y-2&=0

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.已知｛4｝為等差數(shù)列，也｝是公比為2得等比數(shù)列，且生―么="3-仇=”一％.

⑴證明：4=4;

⑵求集合,回=an,+a],\<m<500｝中元素個(gè)數(shù).

【答案】（1）證明見解析；

⑵9.

【解析】

【分析】（1）設(shè)數(shù)列｛4｝得公差為d,根據(jù)題意列出方程組即可證出；

（2）根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得m=2k-2,即可解出.

【小問1詳解】

4+d—2b\=q+2d—44，即可解得，4=4=￡，所以

設(shè)數(shù)列｛4｝得公差為d,所以,

%+d—2b、-8/7]-(q+3d)

原命題得證.

【小問2詳解】

由⑴知，4=4■，所以a=4+6o4x2i=4+（加-1）4+4,即2*T=2加，亦

即m=2"2G[1,500],解得2K攵<10,所以滿足等式得解女=2,3,4,./0,故集合

伙電=4“+4/WmW500｝中得元素個(gè)數(shù)為10—2+1=9.

18.記乙得三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,其對(duì)邊分別為a,6,c,分別以a,&。為邊長(zhǎng)得三個(gè)正

三角形得面積依次為E,$2，$3，已知E—，+用=立,sinB.

23

(1)求.ABC得面積；

(2)若sinAsinC=求b.

3

【答案】(1)立

8

⑵g

【解析】

［分析］⑴先表示出S”S2,邑，再由￡—$2+S3=乎求得。2+°2一6=2,結(jié)合余弦定

理及平方關(guān)系求得衣，再由面積公式求解即可；

h~nr

⑵由正弦定理得=--一，即可求解.

sin2BsinAsinC

【小問1詳解】

由題意得￡='。2.@=@〃§3=@。2,則

'2242434

cc626［262G

S,-S.+S,=——a----b+——c-——，

1234442

〃22,2

222

即a+c-b=2,由余弦定理得cos3=^~~--匕，整理得accos5=l,則cos5>0,

2ac

又sin3二'，

3

則cosB=Jl—=逑，。，=^_=述，則s=J_acsin8=受；

"(3)3cosB428

【小問2詳解】

bb2a

由正弦定理得：一'則sin2臺(tái)一sinA

sinBsinAsinCsinCsinAsinC

eb33.?1

則-----=_、b7=—smB=—

sinB222

19.在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者得年齡，得到如下得樣本

數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.

(1)估計(jì)該地區(qū)造種疾病患者得平均年齡(同一組中得數(shù)據(jù)用該組區(qū)間得中點(diǎn)值做代表);

(2)估計(jì)該地區(qū)一人患道種疾病年齡在區(qū)間［20,70)得概率;

(3)己知該地區(qū)適種疾病得患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)得人口占該地區(qū)總

人口得16%,從該地區(qū)任選一人,若此人年齡位于區(qū)間［40,50),求此人患該種疾病得概

率.(樣本數(shù)據(jù)中得患者年齡位于各區(qū)間得頻率做為患者年齡位于該區(qū)間得概率,精確到

0.0001)

【答案】(1)44.65歲;

(2)0.89;

(3)0.0014.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)平均值等于各矩形得面積乘以對(duì)應(yīng)區(qū)間得中點(diǎn)值得和即可求出;

(2)設(shè)A=｛一人患適種疾病得年齡在區(qū)間［20,70)｝,根據(jù)對(duì)立事件得概率公式

P(A)=1-P(A)即可解出;

(3)根據(jù)條件概率公式即可求出.

【小問1詳解】

平均年齡元=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.012+75x0.006+85x0.002)x10=44.65(歲).

【小問2詳解】

設(shè)A=｛一人患適種疾病得年齡在區(qū)間［20,70)所以

P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)xl0=l-0.11=0.89.

【小問3詳解】

設(shè)8=｛任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)｝,C=｛任選一人患道種疾?。?

則由條件概率公式可得

P(BC)0.1%x0.023xl00.001x0.23

P(C|B)=0.0014375?0.0014.

P(B)16%0.16

20.如圖，P。是三棱錐產(chǎn)一ABC得高，PA=PB,ABJ,AC,6是依得中點(diǎn).

c

￡

o，'''

⑴求證：OE//平面PAC;

(2)若NA8O=NCBO=30°,PO=3,P4=5,求二面角C—A￡—8得正弦值.

【答案】(1)證明見解析

,、11

⑵一

13

【解析】

【分析】(1)連接30并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)。，連接。4、PO,根據(jù)三角形全等得到

Q4=03,再根據(jù)直角三角形得性質(zhì)得到AO^DO,即可得到。為8。得中點(diǎn)從而得到

0E〃尸。，即可得證；

(2)過點(diǎn)A做Az〃OP,如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角得余弦值，再

根據(jù)同角三角函數(shù)得基本關(guān)系計(jì)算可得；

小問1詳解】

證明：連接3。并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)，連接。4、PD,

因?yàn)镻O是三棱錐P-ABC得高,所以P0，平面ABC,AO,BOu平面ABC,

所以POJ_AO、POA.BO,

又,所以△PQ4=&POB，即。4=,所以ZOAB=ZOBA,

又AB_LAC,即ABAC=90。，所以ZOAB+ZOAD=90°,NOBA+ZODA=90°,

所以NQQ4=NQ4Z>

所以AO=Z)O,即AO=OO=QB,所以。為8D得中點(diǎn)，又E為PB得中點(diǎn)，所以

0E//PD,

又0EO平面B4C,PDu平面P4C,

所以0E〃平面PAC

【小問2詳解】

解:過點(diǎn)A做Az//OP,如圖建立平面直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镻0=3,AP=5,所以Q4=JAP2_O02=行

又NOBA=NOBC=30°,所以30=204=8,則AD=4,AB=，6

所以AC=12,所以。（26,2,0）,8（4百,0,0）,P（2G,2,3）,C（0,12,0）,所以

=（4>/3,0,0）,AC=（0,12,0）,

3

n-AE=3\/3x+y+—z=0

設(shè)平面AES法向量為”=（x,y,z）,則，2，令z=2,則

n?AB—4>/3x=0

y=-3,x=0,所以〃=（0,—3,2）；

.3

..、m-AE=36a+bT—c=0/-

設(shè)平面AEC得法向量為根二（〃/,c）,則，2，令々二行，則

m-AC=nb=0

c=—6,Z?=0,所以m二(G,。,-6)；

/\n-m-124百

所以3<〃叫=麗=而訴=一百

設(shè)二面角。一AE—3為仇由圖可知二面角C-AE-B為鈍二面角，

所以cos6=—勺叵，所以sin6=J1—cos2g=U

1313

故二面角C—AE—3得正弦值為以；

13

21.設(shè)雙曲線C:*■-卷=1(。>0,6>0)得右焦點(diǎn)為尸(2,0),漸近線方程為y=±V3x.

(1)求C得方程；

⑵過尸得直線與「得兩條漸近線分別交于48兩點(diǎn),點(diǎn)。(西,乂),。(々,％)在。上，且

%>々>0,必>0.過戶且斜率為-百得直線與過。且斜率為￡得直線交于點(diǎn)M,請(qǐng)從下

面①②③中選取兩個(gè)做為條件，證明另外一個(gè)條件成立：

①材在AB上;②尸?！?5；③|1=|.

注：若選擇不同得組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

2

【答案】⑴裂一匕=1

3

(2)見解析

【解析】

［分析］(D利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得C得值,利用漸近線方程求得。涉得關(guān)系,進(jìn)而利用a,b,c得

平方關(guān)系求得得值,得到雙曲線得方程；

(2)先分析得到直線AB得斜率存在且不為零,設(shè)直線4?得斜率為左以功%)，由③

8人2

I嗣=|則等價(jià)分析得到X。+ky=;由直線和QM得斜率得到直線方程，結(jié)合

°°0k2-3

雙曲線得方程，兩點(diǎn)間距離公式得到直線閭得斜率根=阻，由②PQ//A8等價(jià)轉(zhuǎn)化為

%

砥=3%,由①M(fèi)在直線AB上等價(jià)于kya=公(％-2),然后選擇兩個(gè)做為已知條件一個(gè)

做為結(jié)論,進(jìn)行證明即可.

【小問1詳解】

右焦點(diǎn)為/(2,0),.?.c=2,?.?漸近線方程為曠=±甚，...2=百，.?.匕=后,

c1=cr+b2=4a2—4,?,?<2=1,b—y/3?

；.c得方程為：了2-21=1；

3

【小問2詳解】

由已知得直線PQ得斜率存在且不為零,直線AB得斜率不為零，

若選由①②推③或選由②③推①:由②成立可知直線A3得斜率存在且不為零；

若選①③推②,則M為線段AB得中點(diǎn)，假若直線AB得斜率不存在,則由雙曲線得對(duì)稱性

可知M在x軸上，即為焦點(diǎn)尸，此畤由對(duì)稱性可知尸、。關(guān)于x軸對(duì)稱，與從而％=々，

已知不符；

總之,直線AB得斜率存在且不為零.

設(shè)直線AB得斜率為h直線AB方程為y=k（x-2）,

則條件①M(fèi)在AB上,等價(jià)于%=%■-2）。ky°=〃（/一2）;

兩漸近線得方程合并為3x2-/=0,

聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：（公—3）/一4公%+4公=0

設(shè)4（玉,%）,8（玉,％）,線段中點(diǎn)為N（/,%）,則

x+x2k~

34y=k(x-2)=臚_3

2~k2-3NN

設(shè)M（Xo，%）,

2

則條件③I等價(jià)于（Xo-X3）+（為一％）2=（七一%4『+（%一以『，

移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：

（七一項(xiàng)）［2/一（％,+式）］+（%-%）［2%-（必+%）］=0,

［2X0-（X3+X4）］+三&［2先一（%+"）］=°,即二一%+4（％一%）=°，

“3'4

,8公

H即n％+60=廠方；

K—3

由題意知直線PM得斜率為-6，直線QM得斜率為百，

由y—%=-73（不一%）,%一％=一%），

??X-%=+x2—2x0）,

所以直線PQ得斜率m=入二&=_6（%+>―2玉））,

玉-x2x1—x2

直線PM:y=-\/3(x-x0)+>?0,即y=%+6升一百x，

代入雙曲線得方程3/_>2—3=o,即(氐7)=3中,

得：(%+6尤o)12百無一(%+G/)]=3,

%

，條件②PQ//AB等價(jià)于m=koky()=3xn,

綜上所述：

條件①M(fèi)在AB上,等價(jià)于期。=嚴(yán)(％-2)；

條件②PQ//A3等價(jià)于矽0=3%；

條件③=忸叫等價(jià)于/+"o=4^—；

選①②推③：

2k2

由①②解得：/=—X。+60=4x0=-，，③成立;

K—DK—J

選①③推②：

2k26&2

由①③解得：x0=~4^,60=-^,

°r-3°k2-3

:.機(jī)=3%,.,.②成立;

選②③推①：

2