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認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：牟**（實(shí)名認(rèn)證）

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IP屬地：北京 上傳時(shí)間：2023-12-27 格式：DOC 頁數(shù)：7 大?。?95.04KB 積分：1.2 舉報(bào) 版權(quán)申訴

-1-矩陣分解在信號(hào)和圖像處理方面的應(yīng)用矩陣?yán)碚撌且婚T發(fā)展完善、理論嚴(yán)謹(jǐn)、方法獨(dú)特的理論基礎(chǔ)課程，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯能力、推理能力具有重要作用，但它又能廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。矩陣?yán)碚撝饕獌?nèi)容包括線性空間、線性變換、范數(shù)理論；矩陣分析；矩陣分解；廣義逆矩陣；特征值的估計(jì)以及廣義特征值等。用矩陣的理論和方法來處理現(xiàn)代工程技術(shù)中的各種問題已經(jīng)越來越普遍。下面簡(jiǎn)單介紹一下矩陣的奇異值分解在信號(hào)和圖像處理方面的簡(jiǎn)單應(yīng)用。此方法近年來在數(shù)據(jù)降維和壓縮,濾波器設(shè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)估計(jì)、小波變換結(jié)果的后續(xù)處理等很多領(lǐng)域都獲得了重要的應(yīng)用。在濾波器設(shè)計(jì)方面，VOZALIS等將SVD用于協(xié)同濾波，他們的研究結(jié)果表明，SVD提高了協(xié)同濾波過程中預(yù)測(cè)的質(zhì)量和精度。而在消噪方面，LEHTOLA等利用SVD和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)相結(jié)合，對(duì)心電信號(hào)(Electrocardiogram，ECG)進(jìn)行處理，消除了噪聲的影響，提高了心電圖診斷的準(zhǔn)確性。同時(shí)奇異值分解已用于從孕婦皮膚測(cè)量信號(hào)中提取胎兒心電信號(hào)。在另一些研究中SVD則被利用來實(shí)現(xiàn)特征提取和弱信號(hào)分離，如LIU等利用SVD從背景噪聲強(qiáng)烈的振動(dòng)信號(hào)中提取周期性沖擊信息。SVD在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中也獲得了應(yīng)用，如TEOH等利用SVD實(shí)現(xiàn)了對(duì)隱層空間中模式的線性獨(dú)立性分析，進(jìn)而決定了隱層神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)的數(shù)目。SVD的正交化特性在對(duì)小波和小波包變換結(jié)果的后續(xù)處理中也得到了有效的應(yīng)用，如XIE等利用SVD對(duì)小波包分解后的肌電信號(hào)進(jìn)行正交化處理，以獲得代表肢體運(yùn)動(dòng)模式的最優(yōu)特征，進(jìn)而對(duì)肌電信號(hào)進(jìn)行分類，用于對(duì)假肢的控制。小波多分辨分析的本質(zhì)就是把信號(hào)在一系列不同層次的空間上進(jìn)行分解，獲得相應(yīng)的近似和細(xì)節(jié)信號(hào)，從而以不同的層次顯示信號(hào)的各種概貌和細(xì)節(jié)特征[9]，這種多分辨思想使得小波分析在很多領(lǐng)域獲得了極為廣泛的應(yīng)用?；谶@種多分辨分析思想的思考，趙學(xué)智在SVD中提出了一種矩陣二分遞推構(gòu)造方法，根據(jù)該方法得到的SVD分解結(jié)果將分屬于不同層次的空間，而且下一層次空間的基矢量是利用上一層次的近似基矢量而獲得的，實(shí)現(xiàn)了利用SVD以不同的層次來展現(xiàn)信號(hào)的概貌和細(xì)部特征。這種多分辨SVD的分解結(jié)果具有二階消失矩特性，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)中Lip指數(shù)a=0和a=l的奇異點(diǎn)位置的精確定位，這種定位不隨分解層數(shù)的改變而發(fā)生任何偏移，遠(yuǎn)優(yōu)于小波變換的奇異性檢測(cè)效果，多分辨SVD具有優(yōu)良的消噪效果，其本質(zhì)是基于正常信號(hào)和噪聲的相關(guān)性不同，從而造成了它們的奇異值分布不同，結(jié)果使得噪聲被分離到SVD細(xì)節(jié)中，而正常信號(hào)則保留在SVD近似信號(hào)中，消噪結(jié)果無相位偏差，是一種零相移消噪方法。最后，這種多分辨SVD可以提取到微弱的故障特征信息。設(shè)，，是的特征值，是的特征值，它們都是實(shí)數(shù)。且設(shè)則特征值與之間的關(guān)系為：，。設(shè)，的正特征值，的正特征值，稱，是的正奇異值，簡(jiǎn)稱奇異值。若是正規(guī)矩陣，則的奇異值是的非零特征向量的模長(zhǎng)。若，是的個(gè)正奇異值，則存在階酉矩陣和階酉矩陣，滿足：其中，，為奇異對(duì)角陣。滿足是對(duì)角陣，滿足是對(duì)角陣。的第列為的對(duì)應(yīng)于奇異值對(duì)應(yīng)的左奇異向量，的第列為的對(duì)應(yīng)于奇異值對(duì)應(yīng)的右奇異向量。它們的每一列均為單位向量，且各列之間相互正交。若，是的個(gè)正奇異值，則總有次酉矩陣，滿足：，其中。奇異值分解是一種基于特征向量的矩陣變換方法。奇異值分解是現(xiàn)代數(shù)值的最基本和最重要的工具之一。任意一個(gè)矩陣的奇異值是唯一的，它刻畫了矩陣數(shù)據(jù)的分布特征。直觀上，可以這樣理解矩陣的奇異值分解：將矩陣看成是一個(gè)線性變換，它將維空間的點(diǎn)映射到維空間。經(jīng)過奇異值分解后，這種變換被分割成3個(gè)部分，分別為、和，其中和都是標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣，它們對(duì)應(yīng)的線性變換就相當(dāng)于對(duì)維和維坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換。若為數(shù)字圖像，則可視為二維時(shí)頻信息，可將的奇異值分解公式寫為：其中，和分別是和的列矢量，是的非零奇異值。故上式表示的數(shù)字圖像可以看成是個(gè)秩為1的子圖疊加的結(jié)果，而奇異值為權(quán)系數(shù)。所以也表示時(shí)頻信息，對(duì)應(yīng)的和可分別視為頻率矢量和時(shí)間矢量，因此數(shù)字圖像中的時(shí)頻信息就被分解到一系列由和構(gòu)成的視頻平面中。由矩陣范數(shù)理論，奇異值能與向量2-范數(shù)和矩陣Frobenious-范數(shù)(F-范數(shù))相聯(lián)系。若以F-范數(shù)的平方表示圖像的能量，則由矩陣奇異值分解的定義知：。也就是說，數(shù)字圖像經(jīng)奇異值分解后，其紋理和幾何信息都集中在、之中，而中的奇異值則代表圖像的能量信息。性質(zhì)1：矩陣的奇異值代表圖像的能量信息，因而具有穩(wěn)定性。設(shè)，，是矩陣的一個(gè)擾動(dòng)矩陣。和的非零奇異值分別記為：和。且，是的最大奇異值。則有：。由此可知，當(dāng)圖像被施加小的擾動(dòng)時(shí)，圖像矩陣的奇異值變化不會(huì)超過擾動(dòng)矩陣的最大奇異值，所以圖像奇異值的穩(wěn)定性很好。性質(zhì)2：矩陣的奇異值具有比例不變性。設(shè)，矩陣的奇異值為，，矩陣()的奇異值為。則有：。性質(zhì)3：矩陣的奇異值具有旋轉(zhuǎn)不變性。設(shè)，矩陣的奇異值為，。若是酉矩陣，則矩陣的奇異值與矩陣的奇異值相同：。性質(zhì)4：設(shè)，。若，，所以可得：上式表明，在F-范數(shù)意義下，是在空間（秩為的維矩陣構(gòu)成的線性空間）中的一個(gè)將秩最佳逼近。因此可根據(jù)需要保留個(gè)大于某個(gè)閾值的而舍棄其余個(gè)小于閾值的且保證兩幅圖像在某種意義下的近似。這就為奇異值特征矢量的降維和數(shù)據(jù)壓縮等應(yīng)用找到了依據(jù)。奇異值分解壓縮原理分析：用奇異值分解來壓縮圖像的基本思想是對(duì)圖像矩陣進(jìn)行奇異值分解，選取部分的奇異值和對(duì)應(yīng)的左、右奇異向量來重構(gòu)圖像矩陣。根據(jù)奇異值分解的圖像性質(zhì)1和4可以知道，奇異值分解可以代表圖像的能量信息，并且可以降低圖像的維數(shù)。如果表示個(gè)維向量，可以通過奇異值分解將表示為個(gè)維向量。若的秩遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于和，則通過奇異值分解可以大大降低的維數(shù)。對(duì)于一個(gè)像素的圖像矩陣，設(shè)，其中，。按奇異值從大到小取個(gè)奇異值和這些奇異值對(duì)應(yīng)的左奇異向量及右奇異向量重構(gòu)原圖像矩陣。如果選擇的，這是無損的壓縮；基于奇異值分解的圖像壓縮討論的是，即有損壓縮的情況。這時(shí)，可以只用個(gè)數(shù)值代替原來的個(gè)圖像數(shù)據(jù)。這個(gè)數(shù)據(jù)分別是矩陣的前個(gè)奇異值，左奇異向量矩陣的前列和右奇異向量矩陣的前列元素。比率：稱為圖像的壓縮比。顯然，被選擇的奇異值的個(gè)數(shù)應(yīng)該滿足條件，即。故在傳送圖像的過程中，不需要傳個(gè)數(shù)據(jù)，而只需要傳個(gè)有關(guān)奇異值和奇異向量的數(shù)據(jù)即可。接收端，在接收到奇異值以及左奇異向量和右奇異向量后，可以通過：重構(gòu)出原圖像矩陣。與的誤差為：某個(gè)奇異值對(duì)圖像的貢獻(xiàn)可以定義為，對(duì)一幅圖像來說，較大的奇異值對(duì)圖像信息的貢獻(xiàn)量較大，較小的奇異值對(duì)圖像的貢獻(xiàn)較小。假如接近1，該圖像的主要信息就包含在之中。通常圖像的奇異值都具“大L曲線”，只有不多的一些比較大的奇異值，其它的奇異值相對(duì)較小，因此一般只需要比較小的k就使接近1。在滿足視覺要求的基礎(chǔ)上，按奇異值的大小選擇合適的奇異值個(gè)數(shù)，就可以通過將圖像恢復(fù)。越小，用于表示的數(shù)據(jù)量就小，壓縮比就越大，而越接近，則與就越相似。在一些應(yīng)用場(chǎng)合中，如果是規(guī)定了壓縮比，則可以由式求出，這時(shí)也同樣可以求出。奇異值分解壓縮應(yīng)用過程：在對(duì)圖像進(jìn)行操作時(shí)，因?yàn)榫仃嚨木S數(shù)一般較大，直接進(jìn)行奇異值分解運(yùn)算量大，可以將圖像分解為子塊，對(duì)各子塊進(jìn)行奇異值分解并確定奇異值個(gè)數(shù)，將每個(gè)子塊進(jìn)行重構(gòu)。這樣操作除了因?yàn)閷?duì)較小型的矩陣進(jìn)行奇異值分解的計(jì)算量比較小外，另一方面是為了利用原始圖像的非均勻的復(fù)雜性。如果圖像的某一部分比較簡(jiǎn)單，那么只需要少量的奇異值，就可以達(dá)到滿意的近似效果。為了保證圖像的質(zhì)量就需要較多的奇異值。但是各個(gè)子塊的奇異值數(shù)目，大小各不相同，因此可以考慮為每個(gè)子塊自適應(yīng)的選擇適當(dāng)?shù)钠娈愔禂?shù)目。一種簡(jiǎn)單的方法是定義奇異值貢獻(xiàn)量的和來選擇，其中是一個(gè)接近1的數(shù)。對(duì)常見的256×256.bmp格式的圖像（位圖），劃分為4×4個(gè)子塊，每個(gè)子塊大小為64×64。對(duì)每個(gè)子塊根據(jù)來選擇所需要的奇異值數(shù)目。增大的值來選擇奇異值數(shù)目，可以推理得隨著不斷增大，視覺效果越來越好。隨著不斷增大，需要的奇異值也增多，壓縮比會(huì)減小。經(jīng)過以上討論可知，用奇異值分解進(jìn)行圖像壓縮，肯定能取得成功，也具有較好的應(yīng)用價(jià)值，但仍然需要有以下值得去思考并改善：1、對(duì)子塊的劃分可以采取更加有效的方法來完成。例如對(duì)規(guī)模很大的矩陣，隨機(jī)抽取矩陣的某些行列得到規(guī)模較小的矩陣，計(jì)算小矩陣的奇異值，重復(fù)若干次，用這些小矩陣的奇異值逼近原始矩陣的奇異。2、影響運(yùn)算速度的因素是SVD變換運(yùn)算比較大，能否找到一個(gè)快速的SVD變換算法。另外，若已知圖像矩陣的奇異值及其特征空間，一般認(rèn)為較大的奇異值及其對(duì)應(yīng)的奇異向量表示圖像信號(hào)，而噪聲反映在較小的奇異值及其對(duì)應(yīng)的奇異向量上。依據(jù)一定的準(zhǔn)則選擇門限，低于該門限的奇異值置零(截?cái)?，然后通過這些奇異值和其對(duì)應(yīng)的奇異向量重構(gòu)圖像進(jìn)行去噪。若考慮圖像的局部平穩(wěn)性，也可以對(duì)圖像分塊奇異值分解去噪，這樣能在一定程度上保護(hù)圖像的邊緣細(xì)節(jié)。如果仔細(xì)分析，SVD去噪具有的方向性。根據(jù)SVD圖像性