2022-2023學(xué)年江蘇省鹽城市、南京市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年江蘇省鹽城市、南京市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（5分）“a3+a9＝2a6”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件2．（5分）若復(fù)數(shù)z滿足|z﹣1|≤2，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)組成圖形的面積為（）A．π B．2π C．3π D．4π3．（5分）已知集合A={x|x-1x-a＜0}．若A∩N*＝A．{1} B．（﹣∞，1） C．[1，2] D．（﹣∞，2]4．（5分）把5個(gè)相同的小球分給3個(gè)小朋友，使每個(gè)小朋友都能分到小球的分法有（）A．4種 B．6種 C．21種 D．35種5．（5分）某研究性學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，由雙曲線C：x2a2-y2A．2 B．2 C．5 D．56．（5分）△ABC中，AH為BC邊上的高且BH→=3HC→，動(dòng)點(diǎn)P滿足AP→A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心7．（5分）若函數(shù)f（x）＝x3+bx2+cx+d滿足f（1﹣x）+f（1+x）＝0對一切實(shí)數(shù)x恒成立，則不等式f'（2x+3）＜f'（x﹣1）的解集為（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，﹣4） C．（﹣4，0） D．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）8．（5分）四邊形ABCD是矩形，AB＝3AD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，將四邊形AEFD繞EF旋轉(zhuǎn)至與四邊形BEFC重合，則直線ED，BF所成角α在旋轉(zhuǎn)過程中（）A．逐步變大 B．逐步變小 C．先變小后變大 D．先變大后變小二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）（多選）9．（5分）若X～N（μ，σ2），則下列說法正確的有（）A．P（X＜μ+σ）＝P（X＞μ﹣σ） B．P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）＜P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ） C．P（X＜μ+σ）不隨μ，σ的變化而變化 D．P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）隨μ，σ的變化而變化（多選）10．（5分）已知函數(shù)f（x）＝3sinx﹣4cosx．若f（α），f（β）分別為f（x）的極大值與極小值，則（）A．tanα＝﹣tanβ B．tanα＝tanβ C．sinα＝﹣sinβ D．cosα＝﹣cosβ（多選）11．（5分）已知直線l的方程為（a2﹣1）x﹣2ay+2a2+2＝0，a∈R，O為原點(diǎn)，則（）A．若OP≤2，則點(diǎn)P一定不在直線l上 B．若點(diǎn)P在直線l上，則OP≥2 C．直線l上存在定點(diǎn)P D．存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)P總不在直線l上（多選）12．（5分）如圖，圓柱OO'的底面半徑為1，高為2，矩形ABCD是其軸截面，過點(diǎn)A的平面α與圓柱底面所成的銳二面角為θ，平面α截圓柱側(cè)面所得的曲線為橢圓Ω，截母線EF得點(diǎn)P，則（）A．橢圓Ω的短軸長為2 B．tanθ的最大值為2 C．橢圓Ω的離心率的最大值為22D．EP＝（1﹣cos∠AOE）tanθ三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13．（5分）(2x+1x)5的展開式中，14．（5分）設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)(ω＞0)，則使f（x）在(-15．（5分）在概率論中常用散度描述兩個(gè)概率分布的差異．若離散型隨機(jī)變量X，Y的取值集合均為{0，1，2，3，?，n}（n∈N*），則X，Y的散度D(X||Y)=i=0nP(X=i)lnP(X=i)P(Y=i)．若X，Y的概率分布如下表所示，其中0＜p＜1，則D（X01P1212Y01P1﹣pp16．（5分）已知數(shù)列{an}、{bn}滿足bn=an+12，n=2k-1an+1，n=2k其中k∈N*，{bn}是公比為q的等比數(shù)列，則an+1an=四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an+1＝3an﹣4n，n∈N*．（1）判斷數(shù)列{an﹣2n﹣1}是否是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn=(2n-1)2nanan+1，求數(shù)列{b18．（12分）在△ABC中，AC=2，∠BAC=π3，P為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，滿足AP⊥CP，（1）若AP＝PC，求△ABC的面積；（2）若BC=7，求AP19．（12分）為深入貫徹黨的教育方針，全面落實(shí)《中共中央國務(wù)院關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》，某校從2022年起積極推進(jìn)勞動(dòng)課程改革，先后開發(fā)開設(shè)了具有地方特色的家政、烹飪、手工、園藝、非物質(zhì)文化遺產(chǎn)等勞動(dòng)實(shí)踐類校本課程．為調(diào)研學(xué)生對新開設(shè)勞動(dòng)課程的滿意度并不斷改進(jìn)勞動(dòng)教育，該校從2022年1月到10月每兩個(gè)月從全校3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取150名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：月份x246810滿意人數(shù)y8095100105120（1）由表中看出，可用線性回歸模型擬合滿意人數(shù)y與月份x之間的關(guān)系，求y關(guān)于x的回歸直線方程y?（2）10月份時(shí)，該校為進(jìn)一步深化勞動(dòng)教育改革，了解不同性別的學(xué)生對勞動(dòng)課程是否滿意，經(jīng)調(diào)研得如統(tǒng)計(jì)表：滿意不滿意合計(jì)男生651075女生552075合計(jì)12030150請根據(jù)上表判斷是否有95%的把握認(rèn)為該校的學(xué)生性別與對勞動(dòng)課程是否滿意有關(guān)？參考公式：b?=i=1P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，平面PAC⊥平面PBD，AB＝AD＝AP＝2，四棱錐P﹣ABCD的體積為4．（1）求證：BD⊥PC；（2）求平面PAD與平面PCD所成銳二面角的余弦值．21．（12分）如圖，已知橢圓x24+y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)C是橢圓上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)O平行于AC的直線與橢圓交于點(diǎn)M，N，AC的中點(diǎn)為點(diǎn)D，直線OD與橢圓交于點(diǎn)P，Q，點(diǎn)P，（1）當(dāng)|AC|=5時(shí)，求cos∠（2）求|PQ|?|MN|的最大值．22．（12分）已知函數(shù)f(x)=x+1（1）當(dāng)x＞﹣1時(shí)，求函數(shù)g（x）＝f（x）+x2﹣1的最小值；（2）已知x1≠x2，f（x1）＝f（x2）＝t，求證：|x

2022-2023學(xué)年江蘇省鹽城市、南京市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（5分）“a3+a9＝2a6”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【解答】解：如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，根據(jù)等差中項(xiàng)的擴(kuò)展可得一定有a3+a9＝2a6，反之a(chǎn)3+a9＝2a6成立，不一定有數(shù)列{an}是等差數(shù)列，所以“a3+a9＝2a6”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的必要不充分條件．故選：B．2．（5分）若復(fù)數(shù)z滿足|z﹣1|≤2，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)組成圖形的面積為（）A．π B．2π C．3π D．4π【解答】解：z在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)是半徑為2的圓及圓內(nèi)所有點(diǎn)，S＝4π．故選：D．3．（5分）已知集合A={x|x-1x-a＜0}．若A∩N*＝A．{1} B．（﹣∞，1） C．[1，2] D．（﹣∞，2]【解答】解：若a＞1，則A={x|x-1x-a＜0}=（1，a），結(jié)合A∩N*＝若a＝1，則A＝?，滿足A∩N*＝?；若a＜1，則A={x|x-1x-a＜0}=（a，1），滿足A∩N綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：（﹣∞，2]．故選：D．4．（5分）把5個(gè)相同的小球分給3個(gè)小朋友，使每個(gè)小朋友都能分到小球的分法有（）A．4種 B．6種 C．21種 D．35種【解答】解：利用隔板法：由題可知使每個(gè)小朋友都能分到小球的分法有C4故選：B．5．（5分）某研究性學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，由雙曲線C：x2a2-y2A．2 B．2 C．5 D．5【解答】解：由題意，雙曲線y=5x兩漸近線為x軸和故為等軸雙曲線，離心率為2．故選：A．6．（5分）△ABC中，AH為BC邊上的高且BH→=3HC→，動(dòng)點(diǎn)P滿足AP→A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心【解答】解：設(shè)|BC|＝4a，|AH|＝b，以H為原點(diǎn)，HC→、HA→方向?yàn)閤、因?yàn)锽H→所以|BH|＝3a，|HC|＝a，則H（0，0），B（﹣3a，0），C（a，0），A（0，b），則BC→設(shè)P（x，y），則AP→∵AP→∴4ax=-1即x＝﹣a，即點(diǎn)P的軌跡方程為x＝﹣a，而直線x＝﹣a平分線段BC，即點(diǎn)P的軌跡為線段BC的垂直平分線，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得點(diǎn)P的軌跡一定過△ABC的外心，故選：A．7．（5分）若函數(shù)f（x）＝x3+bx2+cx+d滿足f（1﹣x）+f（1+x）＝0對一切實(shí)數(shù)x恒成立，則不等式f'（2x+3）＜f'（x﹣1）的解集為（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，﹣4） C．（﹣4，0） D．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）【解答】解：由f（1﹣x）+f（1+x）＝0，對上式求導(dǎo)可得﹣f'（1﹣x）+f'（1+x）＝0，即f'（1+x）＝f'（1﹣x），所以f'（x）關(guān)于x＝1對稱，因?yàn)閒'（x）＝3x2+2bx+c，所以f'（x）圖像的開口向上，對稱軸為x＝1，由f'（2x+3）＜f'（x﹣1），得|2x+3﹣1|＜|x﹣1﹣1|，解得﹣4＜x＜0．故選：C．8．（5分）四邊形ABCD是矩形，AB＝3AD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，將四邊形AEFD繞EF旋轉(zhuǎn)至與四邊形BEFC重合，則直線ED，BF所成角α在旋轉(zhuǎn)過程中（）A．逐步變大 B．逐步變小 C．先變小后變大 D．先變大后變小【解答】解：由題可知初始時(shí)刻ED與BF所成角為0，故B，C錯(cuò)誤，在四邊形AEFD繞EF旋轉(zhuǎn)過程中，EF⊥DF，EF⊥FC，DF∩FC＝F，DF，F(xiàn)C?平面DFC，所以EF⊥平面DFC，EF?平面EFCB，所以平面DFC⊥平面EFCB，故D在平面BCFE內(nèi)的投影P一直落在直線CF上，所以一定存在某一時(shí)刻EP⊥BF，而DP⊥平面EFCB，DP⊥BF，又DP∩PE＝P，DP，PE?平面DPE，所以BF⊥平面DPE，此時(shí)DE與BF所成角為π2，然后α故直線ED，BF所成角α在旋轉(zhuǎn)過程中先變大后變小，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．故選：D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）（多選）9．（5分）若X～N（μ，σ2），則下列說法正確的有（）A．P（X＜μ+σ）＝P（X＞μ﹣σ） B．P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）＜P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ） C．P（X＜μ+σ）不隨μ，σ的變化而變化 D．P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）隨μ，σ的變化而變化【解答】解：對于A、B：根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得出P（X＜μ+σ）＝P（X＞μ﹣σ）與P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ），故A正確，B錯(cuò)誤；對于C、D：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可得出P（X＜μ+σ）與P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）都不隨μ，σ的變化而變化，表示的概率為定值，故C正確，D錯(cuò)誤；綜上：選項(xiàng)A、C正確．故選：AC．（多選）10．（5分）已知函數(shù)f（x）＝3sinx﹣4cosx．若f（α），f（β）分別為f（x）的極大值與極小值，則（）A．tanα＝﹣tanβ B．tanα＝tanβ C．sinα＝﹣sinβ D．cosα＝﹣cosβ【解答】解：已知f（x）＝3sinx﹣4cosx＝5sin（x﹣φ），其中sinφ=45，因?yàn)閒（α），f（β）分別為f（x）的極大值與極小值，所以α=φ+π2+2k1π，β=φ-π2+2可得α﹣β＝π+2（k1+k2）π，因?yàn)閗1、k2∈Z，所以k1+k2∈Z，不妨設(shè)k＝k1+k2，此時(shí)α﹣β＝π+2kπ，k∈Z，所以α＝β+π+2kπ，tanα＝tan（β+π+2kπ）＝tanβ，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；而sinα＝sin（β+π+2kπ）＝﹣sinβ，故選項(xiàng)C正確；又cosα＝cos（β+π+2kπ）＝﹣cosβ，故選項(xiàng)D正確．故選：BCD．（多選）11．（5分）已知直線l的方程為（a2﹣1）x﹣2ay+2a2+2＝0，a∈R，O為原點(diǎn)，則（）A．若OP≤2，則點(diǎn)P一定不在直線l上 B．若點(diǎn)P在直線l上，則OP≥2 C．直線l上存在定點(diǎn)P D．存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)P總不在直線l上【解答】解：O到l的距離d=2(1+若OP≤2，則點(diǎn)P有可能在直線l上，A錯(cuò)誤；由O到l的距離d=2(1+a2)(a2-1)原直線可變形為a2（x+2）﹣a?2y+2﹣x＝0，令x+2=02y=02-x=0，此時(shí)無解，即直線l不過定點(diǎn)，一定存在無數(shù)個(gè)P不在直線l上，C錯(cuò)誤，故選：BD．（多選）12．（5分）如圖，圓柱OO'的底面半徑為1，高為2，矩形ABCD是其軸截面，過點(diǎn)A的平面α與圓柱底面所成的銳二面角為θ，平面α截圓柱側(cè)面所得的曲線為橢圓Ω，截母線EF得點(diǎn)P，則（）A．橢圓Ω的短軸長為2 B．tanθ的最大值為2 C．橢圓Ω的離心率的最大值為22D．EP＝（1﹣cos∠AOE）tanθ【解答】解：橢圓Ω在底面上的投影為底面圓O，所以短軸長為底面圓直徑，即為2，故A正確；當(dāng)平面α過AC時(shí)，tanθ的最大值為tan∠CAB＝1，故B錯(cuò)誤；橢圓短軸長為定值2，所以長軸長最長為AC時(shí)，離心率最大為22，故C過E作橢圓Ω所在平面和底面的交線垂線，垂足為G，連接AE，設(shè)則∠AOE＝α，由題意可得AO⊥AG，由余弦定理可得AE=A由∠GAE=π則EG=AE?sin∠GAE=AE?sinα由題意可得∠PGE＝θ，PE⊥GE，所以EP＝（1﹣cos∠AOE）tanθ，故D正確．故選：ACD．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13．（5分）(2x+1x)5的展開式中，【解答】解：Tr+1=?5r(2x)5-r(1x)r=∴x3的系數(shù)是24故答案為：80．14．（5分）設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)(ω＞0)，則使f（x）在(-π2，π【解答】解：f(x)=sin(ωx+令-π2+2kπ≤ωx+π3解得2kπ-5π6ω≤x≤2kπ+即函數(shù)f（x）在[2kπ-5π6ω，而函數(shù)f（x）在(-令2kπ-5π6ω≤02kπ+∵k∈Z，則k取0，此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增為[-則(-則-π2≥-則使f（x）在(-π2，π故答案為：13（答案不唯一，滿足ω∈(15．（5分）在概率論中常用散度描述兩個(gè)概率分布的差異．若離散型隨機(jī)變量X，Y的取值集合均為{0，1，2，3，?，n}（n∈N*），則X，Y的散度D(X||Y)=i=0nP(X=i)lnP(X=i)P(Y=i)．若X，Y的概率分布如下表所示，其中0＜p＜1，則D（X01P1212Y01P1﹣pp【解答】解：根據(jù)已知公式D(X||Y)=i=0得D(X||Y)=12ln12(1-p)+12ln1令y＝﹣4p2+4p，開口向下，對稱軸為p=1∴﹣4p2+4p在0＜p＜1上，0＜﹣4p2+4p≤1，則14p(1-p)則D(X||Y)=1故答案為：[0，+∞）．16．（5分）已知數(shù)列{an}、{bn}滿足bn=an+12，n=2k-1an+1，n=2k其中k∈N*，{bn}是公比為q的等比數(shù)列，則an+1an=q2【解答】解：當(dāng)n＝2k﹣1時(shí)，bn=an+12，即ak＝b2k﹣1，則an+1∵{bn}是公比為q的等比數(shù)列，∴b2n+1b2n-1∵q2＞0，∴{an}中的項(xiàng)同號(hào)，當(dāng)n＝2k時(shí)，bn=an+1，∴則{an}中的項(xiàng)都為正，即an＞0，∴bn=an+12＞0，∴q＞0，∵bn=an+12，n=2k-1an+1，n=2k，∴a2＝b3，∴a∵bn=an+12，n=2k-1an+1∴q3（1+q）＝24，q4﹣16+q3﹣8＝0，解得q＝2，∴a5故答案為：q2；1024．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an+1＝3an﹣4n，n∈N*．（1）判斷數(shù)列{an﹣2n﹣1}是否是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn=(2n-1)2nanan+1，求數(shù)列{b【解答】解：（1）由于a1﹣2﹣1＝0，故數(shù)列{an﹣2n﹣1}不是等比數(shù)列．∵an+1＝3an﹣4n，∴an+1﹣2（n+1）﹣1＝3an﹣4n﹣2（n+1）﹣1＝3（an﹣2n﹣1），同理an﹣2n﹣1＝3[an﹣1﹣2（n﹣1）﹣1]???a2﹣2×2﹣1＝3（a1﹣2×1﹣1）＝0，迭代得an+1-2(n+1)-1=3n(a1所以an＝2n+1．（2）bn所以Sn18．（12分）在△ABC中，AC=2，∠BAC=π3，P為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，滿足AP⊥CP，（1）若AP＝PC，求△ABC的面積；（2）若BC=7，求AP【解答】解：（1）在△APC中，∵AP⊥CP，AP＝PC，∴∠CAP=π∵AC＝2，∴AP＝PC=2∵∠BAC=π3，∴∠BAP在△APB中，∠APB=2π3，∠BAP=π12由正弦定理得，ABsin2π3=∴△ABC的面積為12AB?AC?sin∠BAC=12（2）在△ABC中，由余弦定理得7＝4+AB2﹣2AB，即AB2﹣2AB﹣3＝0，∵AB＞0，∴AB＝3，設(shè)∠CAP＝α，則AP＝2cosα，在△APB中，∠BAP=π3-α，∠ABP＝π-2π3-由正弦定理得，ABsin2π3=APsinα，∴3cosα∵α∈（0，π3），∴α=∴AP＝2×319．（12分）為深入貫徹黨的教育方針，全面落實(shí)《中共中央國務(wù)院關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》，某校從2022年起積極推進(jìn)勞動(dòng)課程改革，先后開發(fā)開設(shè)了具有地方特色的家政、烹飪、手工、園藝、非物質(zhì)文化遺產(chǎn)等勞動(dòng)實(shí)踐類校本課程．為調(diào)研學(xué)生對新開設(shè)勞動(dòng)課程的滿意度并不斷改進(jìn)勞動(dòng)教育，該校從2022年1月到10月每兩個(gè)月從全校3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取150名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：月份x246810滿意人數(shù)y8095100105120（1）由表中看出，可用線性回歸模型擬合滿意人數(shù)y與月份x之間的關(guān)系，求y關(guān)于x的回歸直線方程y?（2）10月份時(shí)，該校為進(jìn)一步深化勞動(dòng)教育改革，了解不同性別的學(xué)生對勞動(dòng)課程是否滿意，經(jīng)調(diào)研得如統(tǒng)計(jì)表：滿意不滿意合計(jì)男生651075女生552075合計(jì)12030150請根據(jù)上表判斷是否有95%的把握認(rèn)為該校的學(xué)生性別與對勞動(dòng)課程是否滿意有關(guān)？參考公式：b?=i=1P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+【解答】解：（1）由題意可得x=6，則i=15(x可得b?故y關(guān)于x的回歸直線方程為y?令x＝12，得y?據(jù)此預(yù)測12月份該校全體學(xué)生中對勞動(dòng)課程的滿意人數(shù)為3000×127（2）提出假設(shè)H0：該校的學(xué)生性別與對勞動(dòng)課程是否滿意無關(guān)，則K2因?yàn)镻（K2≥3.841）＝0.05，而4.17＞3.841，故有95%的把握認(rèn)為該校的學(xué)生性別與對勞動(dòng)課程是否滿意有關(guān)．20．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，平面PAC⊥平面PBD，AB＝AD＝AP＝2，四棱錐P﹣ABCD的體積為4．（1）求證：BD⊥PC；（2）求平面PAD與平面PCD所成銳二面角的余弦值．【解答】解：（1）證明：設(shè)AC∩BD＝O，在平面PAC內(nèi)過點(diǎn)A作AH⊥PO，垂足為H，因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PBD，平面PAC∩平面PBD＝PO，所以AH⊥平面PBD，又BD?平面PBD，所以BD⊥AH，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥PA，因?yàn)锽D⊥AH，PA∩AH＝A，PA?平面PAC，AH?平面PAC，所以BD⊥平面PAC，又因?yàn)镻C?平面PAC，所以BD⊥PC；（2）在△ABD中，由AB＝AD＝2，AB⊥AD，可得BD=22，∠DAC=由（1）知BD⊥AC，則VP-ABCD解得AC=32因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD，所以AP，AB，AD兩兩垂直，以AP，AB，AD為z，x，y軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，所以A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），C（3，3，0），P（0，0，2），所以PD→易知平面PAD的一個(gè)法向量為n→設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為m→則PD→?m所以cos?n所以平面PAD與平面PCD所成銳二