2022-2023學(xué)年山東省臨沂一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年山東省臨沂一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．（5分）已知空間向量a→=(2，-3，4)，b→=(-4，m，n)，m，n∈R，若a→A．2 B．﹣2 C．14 D．﹣142．（5分）設(shè)直線l的斜率為k，且﹣1≤k＜3，求直線l的傾斜角αA．[0，π3)∪(C．(π6，3．（5分）拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程為y＝1，則a的值為（）A．-12 B．﹣2 C．-4．（5分）已知等比數(shù)列{an}的前n項積Tn滿足T7T2=32A．128 B．256 C．512 D．10245．（5分）由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線y2a2-xA．y212-xC．x24-6．（5分）若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則“S2024＜0，S2025＞0”是“a1012?a1013＜0”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件7．（5分）設(shè)P是拋物線C1：x2＝4y上的動點(diǎn)，M是圓C2：（x﹣5）2+（y+4）2＝4上的動點(diǎn)，d是點(diǎn)P到直線y＝﹣2的距離，那么d+|PM|的最小值是（）A．52-2 B．52-1 C．58．（5分）已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）與雙曲線x2m2-y2n2=1（m＞0，n＞0）具有相同焦點(diǎn)F1、F2，P是它們的一個交點(diǎn)，且∠F1A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．（多選）9．（5分）對于非零空間向量a→，b→，A．若a→?b→＜0，則B．若a→=(1，2，3)，b→C．若a→?bD．若a→=(1，0，0)，b→=(0，2，0)，c→=(0，0，3)，則（多選）10．（5分）已知曲線C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上 B．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為n C．若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±-mnD．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線（多選）11．（5分）如圖，此形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法．商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…．設(shè)第n層有an個球，從上往下n層球的總數(shù)為Sn，則（）A．S6＝56 B．a(chǎn)n+1﹣an＝n C．a(chǎn)2023＝1012×2023 D．1（多選）12．（5分）在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一點(diǎn)，且D1Q→=λD1AA．CN與QM異面 B．三棱錐A﹣DMN的體積跟λ的取值無關(guān) C．不存在λ使得AM⊥QM D．當(dāng)λ=12時，過A，Q，M三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）已知兩直線l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5＝0，l2：6x+（2m﹣1）y＝5，若l1⊥l2，則實數(shù)m＝．14．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+1=an-1a15．（5分）已知平面α的一個法向量n→=(-2，-2，1)，點(diǎn)A（﹣1，﹣3，0）在平面α內(nèi)，若點(diǎn)B（m，0，2﹣m）在平面α內(nèi)，則m＝16．（5分）如圖，已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|＝6，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)2P與y軸交于點(diǎn)A，△APF1的內(nèi)切圓在邊四、解答題：本題共6小題，共70分．17．（10分）如圖所示，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AB＝2，AA1＝4，∠DAB＝∠A1AB＝∠DAA1＝60°，A1N→=3NC1→，（1）試用a→，b→，c→表示AM（2）求MN的長度．18．（12分）已知直線l經(jīng)過兩條直線2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交點(diǎn)，且與直線x+y﹣2＝0垂直．（1）求直線l的一般式方程；（2）若圓C的圓心為點(diǎn)（3，0），直線l被該圓所截得的弦長為22，求圓C19．（12分）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}，其前n項和為Sn，a1＝1．（1）若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，S10＝70，求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a4=18，求滿足Sn＞100an時20．（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，點(diǎn)D，E分別在棱AA1和棱CC1上，且AD=12CE＝1，M為棱A1B（Ⅰ）求證：C1M⊥B1D；（Ⅱ）求二面角B﹣B1E﹣D的正弦值；（Ⅲ）求直線AB與平面DB1E所成角的正弦值．21．（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1+a2+?+an﹣1﹣an＝﹣2（n≥2且n∈N*），且a2＝4．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列{2n(an-1)(an+122．（12分）如圖，橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)P（1，（1）求橢圓C的方程；（2）AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)P），設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3．問：是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．

2022-2023學(xué)年山東省臨沂一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．（5分）已知空間向量a→=(2，-3，4)，b→=(-4，m，n)，m，n∈R，若a→A．2 B．﹣2 C．14 D．﹣14【解答】解：a→∥b→，則b→=λa→，即（﹣4，m，n）＝∴-4=2λm=-3λn=4λ，解得λ＝﹣2，m＝6，n＝﹣8，則m﹣故選：C．2．（5分）設(shè)直線l的斜率為k，且﹣1≤k＜3，求直線l的傾斜角αA．[0，π3)∪(C．(π6，【解答】解：直線l的斜率為k，且﹣1≤k＜3∴﹣1≤tanα＜3，α∈[0，π∴α∈[0，π3）∪[3π4，故選：D．3．（5分）拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程為y＝1，則a的值為（）A．-12 B．﹣2 C．-【解答】解：由題意得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=1又準(zhǔn)線方程是y＝1，則-14a=1故選：C．4．（5分）已知等比數(shù)列{an}的前n項積Tn滿足T7T2=32A．128 B．256 C．512 D．1024【解答】解：等比數(shù)列{an}的前n項積Tn，T7所以a5＝2，所以T9故選：C．5．（5分）由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線y2a2-xA．y212-xC．x24-【解答】解：設(shè)雙曲線的一個焦點(diǎn)為（0，﹣c），一條漸近線方程為y=abx，即ax則焦點(diǎn)到漸近線的距離d=bc∵e=ca=2，c2＝a2+b2∴a2=43∴雙曲線方程為：3y故選：B．6．（5分）若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則“S2024＜0，S2025＞0”是“a1012?a1013＜0”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：由S2024＜0，S2025＞0可得{an}單調(diào)遞增，且公差大于0，故S2023＜0，S2023即a1+a2023＝2a1012＜0，a1+a2025＝2a1013＞0，即a1012＜0，a1013＞0，因此a1012?a1013＜0，當(dāng)a1012＞0，a1013＜0時，此時{an}單調(diào)遞減，則不可能滿足S2024＜0，S2025＞0，因此“S2024＜0，S2025＞0”是“a1012?a1013＜0”的充分不必要條件，故選：C．7．（5分）設(shè)P是拋物線C1：x2＝4y上的動點(diǎn)，M是圓C2：（x﹣5）2+（y+4）2＝4上的動點(diǎn)，d是點(diǎn)P到直線y＝﹣2的距離，那么d+|PM|的最小值是（）A．52-2 B．52-1 C．5【解答】解：圓（x﹣5）2+（y+4）2＝4的圓心（5，﹣4），半徑為2．拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線方程為：y＝﹣1，如圖：d為P到y(tǒng)＝﹣2的距離，P為拋物線x2＝4y上一動點(diǎn)，M為（x﹣5）2+（y+4）2＝4上一動點(diǎn)，d+PM最小值就是FC2的連線與拋物線的交點(diǎn)是P，與圓的交點(diǎn)為M，過P作PN垂直直線y＝﹣1的交點(diǎn)為N，有拋物線的定義可知：PF＝PN，即1+|PF|+|PM|的最小值就是d+PM最小值，∵F（0，1），C2（5，﹣4），∴|FC2|=52+(-4-1∴d+|PM|≥1+|FC2|﹣2＝52-所以d+PM最小值為52-故選：B．8．（5分）已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）與雙曲線x2m2-y2n2=1（m＞0，n＞0）具有相同焦點(diǎn)F1、F2，P是它們的一個交點(diǎn)，且∠F1A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：設(shè)|PF1|＝s，|PF2|＝t，P為第一象限的交點(diǎn)，由橢圓和雙曲線的定義可得s+t＝2a，s﹣t＝2m，解得s＝a+m，t＝a﹣m，在三角形F1PF2中，∠F1PF2=π可得4c2＝s2+t2﹣2stcosπ3=a2+m2+2am+a2+m2﹣2am﹣（a2﹣m即有a2+3m2＝4c2，可得a2即為1e則3e12+e22=14（1e12+3e22）（3e1≥14（6+29）＝3，當(dāng)且僅當(dāng)e22e12=9故選：B．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．（多選）9．（5分）對于非零空間向量a→，b→，A．若a→?b→＜0，則B．若a→=(1，2，3)，b→C．若a→?bD．若a→=(1，0，0)，b→=(0，2，0)，c→=(0，0，3)，則【解答】解：對于A，若a→?b→＜0，則a→，所以θ是鈍角或θ＝π，所以選項A錯誤；對于B，因為a→?b→=-1﹣2+3＝0，所以a→⊥對于C，根據(jù)向量的數(shù)量積定義知，a→?b→=b→?c對于D，因為b→≠λa→+μb→，所以向量aa→，b→，c→故選：BD．（多選）10．（5分）已知曲線C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上 B．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為n C．若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±-mnD．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線【解答】解：A．若m＞n＞0，則1m＜1n，則根據(jù)橢圓定義，知x2B．若m＝n＞0，則方程為x2+y2=1n，表示半徑為1nC．若m＜0，n＞0，則方程為x21m+y21n若m＞0，n＜0，則方程為x21m+y21n故C正確；D．當(dāng)m＝0，n＞0時，則方程為y＝±1n表示兩條直線，故D故選：ACD．（多選）11．（5分）如圖，此形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法．商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…．設(shè)第n層有an個球，從上往下n層球的總數(shù)為Sn，則（）A．S6＝56 B．a(chǎn)n+1﹣an＝n C．a(chǎn)2023＝1012×2023 D．1【解答】解：由題意得a1＝1，a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，???，an﹣an﹣1＝n，由以上式子累加得an＝1+2+???+n=n(n+1)2（∵a1＝1滿足上式，∴an=n(n+1)由已知a2＝3，a3＝6，a4＝10，a5＝15，a6＝21，∴S6＝a1+a2+a3+a4+a5+a6＝1+3+6+10+15+21＝56，故A正確；∵an﹣an﹣1＝n，則an+1﹣an＝n+1，故B錯誤；由通項公式得a2023=2023×20242=∵1a∴1a1+1a2+???+1a故選：ACD．（多選）12．（5分）在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一點(diǎn)，且D1Q→=λD1AA．CN與QM異面 B．三棱錐A﹣DMN的體積跟λ的取值無關(guān) C．不存在λ使得AM⊥QM D．當(dāng)λ=12時，過A，Q，M【解答】解：對于A，連接AC，CQ，則M，N分別為AC，AQ的中點(diǎn)，MN為△AQC的中位線，∴MN∥CQ，則CN，QM共面，故A錯誤；對于B，VA﹣DMN＝VN﹣ADM=13S對于C，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則D1（0，0，2），A1（2，0，2），∵Q是棱A1D1上一點(diǎn)，且D1Q→=λD1AAM→=（﹣1，1，0），QM→AM→?QM→=2λ﹣1+1＝2λ，λ＝0時，AM對于D，當(dāng)λ=12時，過A，Q，M三點(diǎn)的平面截正方體所得截面為梯形AG=22-2∴當(dāng)λ=12時，過A，Q，S=12×(故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）已知兩直線l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5＝0，l2：6x+（2m﹣1）y＝5，若l1⊥l2，則實數(shù)m＝﹣1或-92【解答】解：因為l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5＝0，l2：6x+（2m﹣1）y＝5，且l1⊥l2，所以6（m+2）+（m+3）（2m﹣1）＝0，即2m2+11m+9＝（2m+9）（m+1）＝0，解得m＝﹣1或m=-9所以m＝﹣1或m=-9故答案為：﹣1或-914．（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+1=an-1a【解答】解：求不動點(diǎn)，設(shè)f(x)=x-1x+2，令f（x）＝x得：x-1x+2=x，化簡得：x顯然該方程無解，這種情況下{an}一般是周期不大的周期數(shù)列，我們只需算出前幾項，找規(guī)律即可，由題意，a1＝2，所以a2=a1-1a1+2=14從而{an}是以6為周期的周期數(shù)列，故a2023＝a337×6+1＝a1＝2．故答案為：2．15．（5分）已知平面α的一個法向量n→=(-2，-2，1)，點(diǎn)A（﹣1，﹣3，0）在平面α內(nèi)，若點(diǎn)B（m，0，2﹣m）在平面α內(nèi)，則m＝【解答】解：平面α的一個法向量n→=(-2，-2，1)，點(diǎn)A（﹣1，﹣3，0）在平面點(diǎn)B（m，0，2﹣m）在平面α內(nèi)，∴AB→=（m+1，3，2﹣∴AB→?n→=-∴m＝﹣2．故答案為：﹣2．16．（5分）如圖，已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|＝6，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)2P與y軸交于點(diǎn)A，△APF1的內(nèi)切圓在邊【解答】解：設(shè)△APF1的內(nèi)切圓在邊AF1，AP上的切點(diǎn)分別為M，N，則|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1Q|，|PQ|＝|PN|，又由△OAF1?△OAF2，∴|AF1|＝|AF2|，∴|F1Q|＝|F1M|＝|F2N|＝|F2P|+|PN|＝|F2P|+|PQ|，∴|PF1|﹣|PF2|＝|F1Q|+|PQ|﹣|PF2|＝|F2P|+2|PQ|﹣|PF2|＝2|PQ|＝2，又|PF1|﹣|PF2|＝2a，則2a＝2，∴a＝1，又|F1F2|＝6，∴2c＝6，∴c＝3，∴雙曲線的離心率e=c故答案為：3．四、解答題：本題共6小題，共70分．17．（10分）如圖所示，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AB＝2，AA1＝4，∠DAB＝∠A1AB＝∠DAA1＝60°，A1N→=3NC1→，（1）試用a→，b→，c→表示AM（2）求MN的長度．【解答】（1）連接AM，AN，如圖所示：∵A1N→=3NC1→，∴BD1→=BC→+BA→（2）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，四邊形ABCD是菱形，AB＝2，AA1＝4，∠DAB＝∠A1AB＝∠DAA1＝60°，則a→又MN→∴(MN∴MN=|MN故MN的長度為3318．（12分）已知直線l經(jīng)過兩條直線2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交點(diǎn)，且與直線x+y﹣2＝0垂直．（1）求直線l的一般式方程；（2）若圓C的圓心為點(diǎn)（3，0），直線l被該圓所截得的弦長為22，求圓C【解答】解：（1）由題意知2x-y-3=04x-3y-5=0，解得x=2∴直線2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交點(diǎn)為（2，1）；設(shè)直線l的斜率為k，∵l與直線x+y﹣2＝0垂直，∴k＝1；∴直線l的方程為y﹣1＝（x﹣2），化為一般形式為x﹣y﹣1＝0；（2）設(shè)圓C的半徑為r，則圓心為C（3，0）到直線l的距離為d=|3-0-1|由垂徑定理得r2＝d2+（12|AB|）2＝（2）2+（12×22解得r＝2，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣3）2+y2＝4．19．（12分）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}，其前n項和為Sn，a1＝1．（1）若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，S10＝70，求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a4=18，求滿足Sn＞100an時【解答】解：（1）數(shù)列{an}為公差為d的等差數(shù)列，S10＝70，a1＝1，可得10+12×10×9d＝70，解得則an＝1+43（n﹣1）=4（2）數(shù)列{an}為公比為q的等比數(shù)列，a4=18，a可得q3=18，即q則an＝（12）n﹣1，Sn=1-(12)nSn＞100an，即為2﹣（12）n﹣1＞100?（12）n即2n＞101，可得n≥7，即n的最小值為7．20．（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，點(diǎn)D，E分別在棱AA1和棱CC1上，且AD=12CE＝1，M為棱A1B（Ⅰ）求證：C1M⊥B1D；（Ⅱ）求二面角B﹣B1E﹣D的正弦值；（Ⅲ）求直線AB與平面DB1E所成角的正弦值．【解答】證明：（I）以C為原點(diǎn)，CA→，CB→，CC則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，3），A1（2，0，3），B1（0，2，3），D（2，0，1），E（0，0，2），M（1，1，3），∴C1∴C1M→?B1D→=2-2+0=0解：（Ⅱ）依題意，CA→=(2，0，0)是平面BB1EB設(shè)n→=(x，y，z)為平面DB1E的法向量，則n→不妨設(shè)x＝1，則n→∴cos?CA∴sin?CA∴二面角B﹣B1E﹣D的正弦值306（Ⅲ）依題意，AB→由（Ⅱ）知，n→=(1，-1，2)為平面DB1∴cos?AB∴直線AB與平面DB1E所成角的正弦值為3321