2022-2023學年山東省淄博四中高二（上）期末數(shù)學試卷含答案

2022-2023學年山東省淄博四中高二（上）期末數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A＝“第一枚硬幣正面朝上”，事件B＝“第二枚硬幣反面朝上”，則A與B的關系為（）A．互斥 B．相互對立 C．相互獨立 D．相等2．（5分）圓（x+2）2+（y﹣12）2＝4關于直線x﹣y+6＝0對稱的圓的方程為（）A．（x+6）2+（y+4）2＝4 B．（x﹣4）2+（y+6）2＝4 C．（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4 D．（x﹣6）2+（y﹣4）2＝43．（5分）已知向量a→=(-2，4，3)，b→=(1，-2，x)，若a→A．-32 B．103 C．﹣2 4．（5分）拋物線y＝2x2的焦點坐標為（）A．(12，0) B．(-125．（5分）已知直線l：ax﹣y+1＝0與圓C：（x﹣1）2+y2＝4相交于兩點A，B，當a變化時，△ABC的面積的最大值為（）A．1 B．2 C．2 D．26．（5分）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，直線l'：x﹣y+2＝0，動點M在C上運動，記點M到直線l與l′的距離分別為d1，d2，O為坐標原點，則當d1+d2最小時，cos∠MFO＝（）A．22 B．23 C．247．（5分）過圓O：x2+y2＝1內一點(14，12)作直線交圓O于A，B兩點，過A，A．x+2y﹣4＝0 B．x﹣2y+4＝0 C．x﹣2y﹣4＝0 D．x+2y+4＝08．（5分）如圖，棱長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為正方體表面BCC1B1上的一個動點，E，F(xiàn)分別為BD1的三等分點，則|PE|+|PF|的最小值為（）A．33 B．522 C．1+二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）9．（5分）已知橢圓C：xA．橢圓C的焦點在x軸上 B．橢圓C的長軸長是短軸長的3倍 C．橢圓C的離心率為63D．橢圓C上的點到其一個焦點的最大距離為6（多選）10．（5分）下列四個命題中是真命題的是（）A．圓C1：x2+y2+2x＝0與圓C2：x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0恰有三條公切線 B．若點P（3a+1，4a）在圓（x﹣1）2+y2＝1的內部，則a∈(-C．若直線y＝x+b與曲線y=4-x2只有一個公共點，則bD．函數(shù)y＝|x|的圖象與圓（x﹣m）2+y2＝8有兩個公共點，則m∈（﹣4，4）（多選）11．（5分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點．則（）A．直線EF與直線AE垂直 B．直線A1G與平面AEF平行 C．平面AEF截正方體所得的截面面積為92D．點A1和點D到平面AEF的距離相等（多選）12．（5分）P為橢圓C1：x24+y23=1上的動點，過P作C1切線交圓C2：x2+y2＝12于M，N，過M，A．S△OPQ的最大值為32B．S△OPQ的取大值為33C．Q的軌跡是x2D．Q的軌跡是x三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）甲，乙，丙三個同學獨立求解同一道數(shù)學題，他們各自解出該數(shù)學題的概率分別為12，23，3414．（5分）已知圓O：x2+y2＝1，過點P（2，1））作圓O的切線，則切線方程為．15．（5分）已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞0，b＞0）在左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，O是坐標原點，16．（5分）已知△ABC為等腰直角三角形，C為直角頂點，AC中點為D（0，2），斜邊上中線CE所在直線方程為3x+y﹣7＝0，且點C的縱坐標大于點E的縱坐標，則AB所在直線的方程為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）根據(jù)調查，某學校開設了“街舞”、“圍棋”、“武術”三個社團，三個社團參加的人數(shù)如表所示：社團街舞圍棋武術人數(shù)320240200為調查社團開展情況，學校社團管理部采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為n的樣本，已知從“圍棋”社團抽取的同學比從“街舞”社團抽取的同學少2人．（Ⅰ）求三個社團分別抽取了多少同學；（Ⅱ）若從“圍棋”社團抽取的同學中選出2人擔任該社團活動監(jiān)督的職務，已知“圍棋”社團被抽取的同學中有2名女生，求至少有1名女同學被選為監(jiān)督職務的概率．18．（12分）如圖，四邊形ABEF為正方形，若平面ABCD⊥平面ABEF，AD∥BC，AD⊥DC，AD＝2DC＝2BC．（Ⅰ）求二面角A﹣CF﹣D的余弦值；（Ⅱ）判斷點D與平面CEF的位置關系，并說明理由．19．（12分）已知△ABC的頂點坐標分別為A（﹣3，0），B(-1，-22)，C（3，0）．圓M（Ⅰ）求圓M的方程；（Ⅱ）直線l與圓M相切，求直線l與兩坐標軸所圍成的三角形面積最小時l的方程．20．（12分）設拋物線C：x2＝2py（p＞0），其焦點為F，準線為l，點P為C上的一點，過點P作直線l的垂線，垂足為M，且|MF|＝|FP|，F(xiàn)M→（1）求拋物線C的方程；（2）設點Q為C外的一點且Q點不在坐標軸上，過點Q作拋物線C的兩條切線，切點分別為A，B，過點Q作y軸的垂線，垂足為S，連接AS，BS，證明：直線AS與直線BS關于y軸對稱．21．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PC⊥BC，AB⊥平面PBC，AG＝GC，PD＝DA．（1）求證：平面BDG⊥平面ABC；（2）若AB＝BC＝CP＝2，求平面ABD與平面CBD的夾角大?。?2．（12分）已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1（a，b＞0）的左頂點為A（﹣2，0），點P（2，1）在漸近線上，過點P的直線交雙曲線E的右支于B，C兩點，直線AB（1）求雙曲線E的方程；（2）求證：O為MN的中點．

2022-2023學年山東省淄博四中高二（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A＝“第一枚硬幣正面朝上”，事件B＝“第二枚硬幣反面朝上”，則A與B的關系為（）A．互斥 B．相互對立 C．相互獨立 D．相等【解答】解：根據(jù)題意，事件A＝“第一枚硬幣正面朝上”，事件B＝“第二枚硬幣反面朝上”，兩個事件可以同時發(fā)生，也可以都不發(fā)生，A事件發(fā)生與否對B事件沒有影響，是相互獨立事件，故選：C．2．（5分）圓（x+2）2+（y﹣12）2＝4關于直線x﹣y+6＝0對稱的圓的方程為（）A．（x+6）2+（y+4）2＝4 B．（x﹣4）2+（y+6）2＝4 C．（x﹣4）2+（y﹣6）2＝4 D．（x﹣6）2+（y﹣4）2＝4【解答】解：由圓的方程（x+2）2+（y﹣12）2＝4可得，圓心坐標（﹣2，12）半徑為2，由題意可得關與直線x﹣y+6＝0對稱的圓的圓心為（﹣2，12）關于直線對稱的點，半徑為2，設所求圓的圓心為（a，b），則a-22-b+122+6=0故圓的方程為（x﹣6）2+（y﹣4）2＝4．故選：D．3．（5分）已知向量a→=(-2，4，3)，b→=(1，-2，x)，若a→A．-32 B．103 C．﹣2 【解答】解：已知向量a→=（﹣2，4，3），b→若a→∥b→，則則（﹣2，4，3）＝λ（1，﹣2，x），整理得λ=-2，x=-3故選：A．4．（5分）拋物線y＝2x2的焦點坐標為（）A．(12，0) B．(-12【解答】解：拋物線的方程為y＝2x2，則拋物線的標準方程為x2即拋物線的焦點坐標為（0，18故選：C．5．（5分）已知直線l：ax﹣y+1＝0與圓C：（x﹣1）2+y2＝4相交于兩點A，B，當a變化時，△ABC的面積的最大值為（）A．1 B．2 C．2 D．2【解答】解：設AC與BC的夾角為θ，由題意可知，S△ABC=12AC×BC×sinθ=12r2sinθ≤1故△ABC的面積的最大值為2．故選：C．6．（5分）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，直線l'：x﹣y+2＝0，動點M在C上運動，記點M到直線l與l′的距離分別為d1，d2，O為坐標原點，則當d1+d2最小時，cos∠MFO＝（）A．22 B．23 C．24【解答】解：由拋物線的定義可知，d1＝|MF|，設MN⊥l'，垂足為N，∴d1+d2＝|MF|+|MN|，當M、F、N三點共線時，d1+d2最小，∵拋物線C：y2＝4x，∴焦點F（1，0），∴|FN|＝d=|1×1-0+2|設直線l'與x軸的交點為D，令y＝0，得x＝﹣2，即FD＝2+1＝3，在Rt△DNF中，cos∠MFO＝cos∠NFD=3故選：A．7．（5分）過圓O：x2+y2＝1內一點(14，12)作直線交圓O于A，B兩點，過A，A．x+2y﹣4＝0 B．x﹣2y+4＝0 C．x﹣2y﹣4＝0 D．x+2y+4＝0【解答】解：設P（x0，y0），則以OP為直徑的圓C的方程為x（x﹣x0）+y（y﹣y0）＝0，即x2+y2﹣x0x﹣y0y＝0①．∵PA、PB是圓O的切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB，則A、B在圓C上，∴AB是圓O與圓C的公共弦，又圓O：x2+y2＝1②，∴①﹣②可得直線AB的方程為x0x+y0y﹣1＝0．又點(14，12)滿足方程，∴14∴點P的坐標滿足方程x+2y﹣4＝0．故選：A．8．（5分）如圖，棱長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為正方體表面BCC1B1上的一個動點，E，F(xiàn)分別為BD1的三等分點，則|PE|+|PF|的最小值為（）A．33 B．522 C．1+【解答】解：如圖，找F關于平面BCC1B1的對稱點F′，連接EF′交平面BCC1B1于P0，則P0即為滿足|PE|+|PF|最小的點，∵正方體的棱長為3，∴BD∴EF=13BD1=3，F(xiàn)F′＝2×∠D1FF′+∠BD1C1＝π，又cos∠BD1C在△EFF′中，由余弦定理可得：EF'=(即|PE|+|PF|的最小值為11．故選：D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）9．（5分）已知橢圓C：xA．橢圓C的焦點在x軸上 B．橢圓C的長軸長是短軸長的3倍 C．橢圓C的離心率為63D．橢圓C上的點到其一個焦點的最大距離為6【解答】解：由已知橢圓方程可得：a2＝m﹣4，b2＝12﹣m，則c=a所以22m-16=4，則m所以橢圓的方程為：x22+y26=1，且2a所以2a2b=3，故B正確，焦點在y橢圓的離心率為e=ca=橢圓C上的點到其一個焦點的最大距離為a+c=6+2，故故選：BC．（多選）10．（5分）下列四個命題中是真命題的是（）A．圓C1：x2+y2+2x＝0與圓C2：x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0恰有三條公切線 B．若點P（3a+1，4a）在圓（x﹣1）2+y2＝1的內部，則a∈(-C．若直線y＝x+b與曲線y=4-x2只有一個公共點，則bD．函數(shù)y＝|x|的圖象與圓（x﹣m）2+y2＝8有兩個公共點，則m∈（﹣4，4）【解答】解：對于A，圓C1：（x+1）2+y2＝1，則C1（﹣1，0），半徑r1＝1，圓C2：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝16，則C2（2，4），半徑r2＝4，所以|C1C2|＝5＝r1+r2，故兩圓外切，所以兩圓恰好有三條公切線，A正確；對于B，若點P（3a+1，4a）在圓（x﹣1）2+y2＝1的內部，則（3a+1﹣1）2+（4a）2＜1．解得-15＜a＜對于C，曲線y=4-x2化為x2+y2則曲線表示以原點為圓心，2為半徑x軸上半部分的圓（包括x軸），當直線y＝x+b過點（2，0）時，b＝﹣2，當直線y＝x+b過點（﹣2，0）時，b＝2，當直線y＝x+b與曲線y=4-x2相切時，有|b|2=所以b＝22，若直線y＝x+b與曲線y=4-x2只有一個公共點，則﹣2≤b＜2或b＝22對于D，因為圓（x﹣m）2+y2＝8關于x軸對稱，則y＝|x|的圖象與圓（x﹣m）2+y2＝8有兩個公共點，即直線x﹣y＝0的圖象與圓（x﹣m）2+y2＝8有兩個公共點，所以圓心（m，0）到直線x﹣y＝0的距離|m|2＜22，所以m∈（﹣4，4），故故選：ABD．（多選）11．（5分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點．則（）A．直線EF與直線AE垂直 B．直線A1G與平面AEF平行 C．平面AEF截正方體所得的截面面積為92D．點A1和點D到平面AEF的距離相等【解答】解：對于選項A，設EF⊥AE，又CD⊥EF，則EF⊥平面ABCD，則EF⊥EC，又EF與EC不垂直，即假設不成立，即選項A錯誤；對于選項B，連接AD1，則平面AEF與平面AEFD1重合，又A1G∥D1F，又D1F?平面AEF，A1G?平面AEF，則線A1G與平面AEF平行，即選項B正確；對于選項C，平面AEF截正方體所得的截面為等腰梯形EFD1A，其面積為(2+22對于選項D，設A1D∩AD1＝O，又|A1O|＝|DO|，即A1和點D到平面AEF的距離相等，即選項D正確，故選：BCD．（多選）12．（5分）P為橢圓C1：x24+y23=1上的動點，過P作C1切線交圓C2：x2+y2＝12于M，N，過M，A．S△OPQ的最大值為32B．S△OPQ的取大值為33C．Q的軌跡是x2D．Q的軌跡是x【解答】解：根據(jù)題意，作出圖象如圖所示，不妨設點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（m，n），故切點M，N所在的直線方程為mx+ny=12又點P為橢圓上的一點，故切線MN的方程為x1x由①②可得，m12即m＝3x1，n＝4y1，不妨設直線MN交OQ于點H，故PH⊥OQ，設直線OQ的方程為nx﹣my＝0，則|PH|=|n又|OQ|=m所以△OPQ的面積S=1當且僅當x124所以S△OPQ的最大值為32故選項A正確，選項B錯誤；因為點P在橢圓上，則x1又m＝3x1，n＝4y1，則14×m所以動點Q的軌跡是x2故選項C正確，選項D錯誤．故選：AC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）甲，乙，丙三個同學獨立求解同一道數(shù)學題，他們各自解出該數(shù)學題的概率分別為12，23，34，則這道數(shù)學題被解出來的概率為【解答】解：設這道數(shù)學題被解出來為事件A，則P（A）＝1﹣（1-12）（1-23）（1故答案為：232414．（5分）已知圓O：x2+y2＝1，過點P（2，1））作圓O的切線，則切線方程為y＝1或4x﹣3y﹣5＝0．【解答】解：由題意可知，22+12＝5＞1，故P在圓外，由圓O：x2+y2＝1，以及P（2，1），則過點P做圓O的切線斜率一定存在，設切線為y＝k（x﹣2）+1，即kx﹣y﹣2k+1＝0，則圓心O（0，0）到直線kx﹣y﹣2k+1＝0的距離d=|-2k+1|k2+(-1)2故切線方程為y＝1或4x﹣3y﹣5＝0．故答案為：y＝1或4x﹣3y﹣5＝0．15．（5分）已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞0，b＞0）在左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，O是坐標原點，|F【解答】解：令橢圓半焦距為c，因為|F1F2|=2|PF1|，則|PF1|在△F1PF2中，由余弦定理得：|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF1|cos∠F1PF2，即4c2＝（2c）2+（2a-2c）2﹣22c?（2a-2c）?（-12），整理得c2+2因此有e2+2e﹣2＝0，而0＜e＜1，解得e=10-故答案為：10-16．（5分）已知△ABC為等腰直角三角形，C為直角頂點，AC中點為D（0，2），斜邊上中線CE所在直線方程為3x+y﹣7＝0，且點C的縱坐標大于點E的縱坐標，則AB所在直線的方程為x﹣3y+1＝0．【解答】解：∵斜邊上中線CE所在直線方程為3x+y﹣7＝0，且點C的縱坐標大于點E的縱坐標，∴可設C（a，﹣3a+7），E（b，﹣3b+7），（a＜b），∵AC中點為D（0，2），∴A（﹣a，3a﹣3），∴kAE∵△ABC為等腰直角三角形，CE為中線，∴CE⊥AB，即kAE∴a+b＝3①，∵CE＝AE，D是AC的中點，∴AC⊥DE，∴kCDkED＝﹣1，即-3a+5a?-3b+5b=-1，化簡整理可得，2ab＝3（a聯(lián)立①②解得a＝1，b＝2，∴E（2，1），∵kAB∴直線AB的方程為y﹣1=13(x-2)，即x故答案為：x﹣3y+1＝0．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）根據(jù)調查，某學校開設了“街舞”、“圍棋”、“武術”三個社團，三個社團參加的人數(shù)如表所示：社團街舞圍棋武術人數(shù)320240200為調查社團開展情況，學校社團管理部采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為n的樣本，已知從“圍棋”社團抽取的同學比從“街舞”社團抽取的同學少2人．（Ⅰ）求三個社團分別抽取了多少同學；（Ⅱ）若從“圍棋”社團抽取的同學中選出2人擔任該社團活動監(jiān)督的職務，已知“圍棋”社團被抽取的同學中有2名女生，求至少有1名女同學被選為監(jiān)督職務的概率．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得n320+240+200=8從“圍棋”社團抽取的同學240×8（Ⅱ）由（Ⅰ）知，從“圍棋”社團抽取的同學為6人，其中2位女生記為A，B，4位男生記為C，D，E，F(xiàn)，則從這6位同學中任選2人，不同的結果有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共15種，從這6位同學中任選2人，沒有女生的有：{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共6種故至少有1名女同學被選中的概率1-18．（12分）如圖，四邊形ABEF為正方形，若平面ABCD⊥平面ABEF，AD∥BC，AD⊥DC，AD＝2DC＝2BC．（Ⅰ）求二面角A﹣CF﹣D的余弦值；（Ⅱ）判斷點D與平面CEF的位置關系，并說明理由．【解答】解：（Ⅰ）取AB中點G，連接BG、BD，因為AD∥BC，AD⊥DC，AD＝2DC＝2BC，所以四邊形BCDG是正方形，所以DC＝BG=1所以BD⊥AB，因為四邊形ABEF為正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，所以BE⊥AB，BE⊥BD，所以BA、BD、BE兩兩垂直，建系如圖，不妨設BC＝1，C（-22，22，0），F(xiàn)（2，0，2），A（2，0，0），DCF→=（322，-22，2），CA→=（32令m→=（1，3，0），因為CF→?m→=0，CA→?m→因為CF→?n→=0，CD→?n→因為二面角A﹣CF﹣D是銳角，所以二面角A﹣CF﹣D的余弦值為|m（Ⅱ）點D不在平面CEF上，理由如下：假設點D在平面CEF上，因為C在平面CEF上，所以平面CEF∩平面ABCD＝CD，又因為EF∥平面ABCD，所以EF∥CD，因為CG∥AB∥EF，所以CD∥CG，與CD∩CG＝C矛盾，所以點D不在平面CEF上．19．（12分）已知△ABC的頂點坐標分別為A（﹣3，0），B(-1，-22)，C（3，0）．圓M（Ⅰ）求圓M的方程；（Ⅱ）直線l與圓M相切，求直線l與兩坐標軸所圍成的三角形面積最小時l的方程．【解答】解：（Ⅰ）設圓M方程為：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），則9-3D+F=01+8-D-22E+F=0∴圓M方程為：x2+y2﹣9＝0，即x2+y2＝9．（Ⅱ）由題意知：直線l在x，y軸的截距不為零，∴可設l：xa+yb=1，即∵l與M相切，∴|-ab|a2+b2=3，即∴|ab|≥18，即當|a|=|b|=32時，直線l此時所有可能的結果為：a=32b=32或a=32b=-3∴l(xiāng)方程為：x+y-32=0或x-y-32=0或20．（12分）設拋物線C：x2＝2py（p＞0），其焦點為F，準線為l，點P為C上的一點，過點P作直線l的垂線，垂足為M，且|MF|＝|FP|，F(xiàn)M→（1）求拋物線C的方程；（2）設點Q為C外的一點且Q點不在坐標軸上，過點Q作拋物線C的兩條切線，切點分別為A，B，過點Q作y軸的垂線，垂足為S，連接AS，BS，證明：直線AS與直線BS關于y軸對稱．【解答】解：（1）∵|PM|＝|PF|＝|FM|，∴△PFM為等邊三角形，∴∠FMP＝∠PFM＝60°，又FM→?FP設直線l交y軸于N點，則在Rt△MNF中∠NMF＝30°，|NF|＝1＝p，∴C的方程為x2＝2y；證明：（2）設點Q（a，b）（a≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），又C的方程為x2＝2y可化為y=x22，∴y所以過點A且與C相切的直線的斜率為x1，過點B且與C相切的直線的斜率為x2，所以直線QA的方程為y﹣y1＝x1（x﹣x1），直線QB的方程為y﹣y2＝x2（x﹣x2），又直線QA與QB均過點Q，b﹣y1＝x1（a﹣x1），b﹣y2＝x2（a﹣x2），又x12=2y1，x22=2y2，∴y1＝ax所以直線AB的方程為y＝ax﹣b，聯(lián)立方程y＝ax﹣b和x2＝2y得方程組x2消去y得x2﹣2ax+2b＝0，∵