2.6 矩陣的逆及其求法課件

一、逆矩陣的概念二、方陣可逆的判別定理第六節(jié)矩陣逆及其求法

第二章三、逆矩陣的基本性質(zhì)四、用矩陣的初等變換求逆矩陣12.6矩陣的逆及其求法設(shè)

n

元線(xiàn)性方程組線(xiàn)性方程組的矩陣表示法（2）22.6矩陣的逆及其求法則求（1）的解的問(wèn)題歸結(jié)為求(2)的解矢量問(wèn)題，而后者即求中未知矩陣X的問(wèn)題。這需要用到逆矩陣的問(wèn)題。代數(shù)方程的解問(wèn)矩陣方程的解是否為?若可以，那么的含義是什么呢？32.6矩陣的逆及其求法定義1設(shè)A為n階方陣，如有n階方陣B，使AB=

BA=

E.則稱(chēng)A

為可逆陣，B

為A

的逆陣，記作又稱(chēng)可逆陣為非奇異陣，不可逆陣為奇異陣.例設(shè)因?yàn)?/p>

AB=BA=

E.所以B

是A

的一個(gè)逆矩陣。一、逆矩陣的概念42.6矩陣的逆及其求法

若方陣

A

可逆，則其逆矩陣唯一

.證明設(shè)

B

和

C

都是

A

的逆矩陣，則由定義有

AB=BA=E，AC=CA=E，B=BE=B(AC)=(BA)C

=EC=C.

所以逆矩陣唯一.單位矩陣的逆為其本身。對(duì)角矩陣的逆為（如果它可逆的話(huà)）52.6矩陣的逆及其求法方陣的可逆滿(mǎn)足性質(zhì)：(3)A、B

均是同階可逆陣，則

(3)(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E.(4)AT(A-1)T=(A-1A)T=(E)T=E,證明

只證(3)和(4).62.6矩陣的逆及其求法

矩陣可逆的條件：設(shè)

矩陣中元素

aij

的代數(shù)余子式

Aij

，定義稱(chēng)為

A

的伴隨矩陣.72.6矩陣的逆及其求法例2.16求二階方陣的伴隨矩陣.解所以82.6矩陣的逆及其求法定理2.1證明：由第一章行列式展開(kāi)定理及其推論知類(lèi)似有92.6矩陣的逆及其求法定理2.2矩陣A可逆充分必要條件是且當(dāng)時(shí)，

證明：必要性．設(shè)A可逆，于是有兩邊取行列式有，因此充分性．設(shè)由定理2.1知故有102.6矩陣的逆及其求法由逆矩陣定義知，A

可逆，且其逆為定理2.2不僅給出了判斷矩陣可逆的方法，還給出了求解逆矩陣的一種方法.A可逆A是非奇異矩陣A是滿(mǎn)秩矩陣112.6矩陣的逆及其求法逆矩陣的求法一：伴隨矩陣法例2.15設(shè)判斷A

是否可逆，如果可逆，求出其逆矩陣.解因?yàn)楣蔄

可逆，且122.6矩陣的逆及其求法推論若方陣A、B

有AB=E，則A、B

均可逆.證明因?yàn)楣视谑茿、B

均可逆.132.6矩陣的逆及其求法例2.17求解線(xiàn)性方程組解方法一(Cramer法則)由于于是有142.6矩陣的逆及其求法方法二(逆陣法)因?yàn)榉匠炭蓪?xiě)成矩陣形式Ax=b，其中由于故A

可逆，因此其中152.6矩陣的逆及其求法于是162.6矩陣的逆及其求法利用方陣的逆矩陣及矩陣的乘法給出了求解變量個(gè)數(shù)等于方程個(gè)數(shù)的一種方法(第一章給出了行列式法)，但對(duì)于n

較大時(shí)，兩種方法都不適用.我們將在余下的章節(jié)討論第三種方法.172.6矩陣的逆及其求法例2.18設(shè)求A+B.解由于AB=A+B

，于是(A–E)B=A,又于是而182.6矩陣的逆及其求法所以故192.6矩陣的逆及其求法例2.19設(shè)A

為3

階矩陣，且求解由于于是202.6矩陣的逆及其求法解：例6212.6矩陣的逆及其求法二、逆矩陣求解方法二——初等變換法初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算，為了充分發(fā)揮其作用，有必要對(duì)它進(jìn)一步探討。

定理3

A可逆方法：

求

222.6矩陣的逆及其求法例7

求下列矩陣的逆矩陣解：232.6矩陣的逆及其求法242.6矩陣的逆及其求法解

2不存在。252.6矩陣的逆及其求法設(shè)A、B為n階方陣，且A可逆，則（A|B）(E|A-1B)定理3262.6矩陣的逆及其求法例8

求解下列矩陣方程解272.6矩陣的逆及其求法

設(shè)

，

，

，例10

求X

。解

，

，

，

，

，282.6矩陣的逆及其求法

，

，292.6矩陣的逆及其求法例12已知求解302.6矩陣的逆及其求法例13312.6矩陣的逆及其求法例14若，判別可逆，及并求其逆。解可逆且可逆，且(1)(2)322.6矩陣的逆及其求法=，，則設(shè)A,B分別是m階,n階可逆矩陣，，求解，D可逆，設(shè)。例15332.6矩陣的逆及其求法，設(shè)關(guān)于分塊對(duì)角矩陣有下列運(yùn)算性質(zhì)：

4、秩（A）=秩5、可逆時(shí)，則A可逆，且342.6矩陣的逆及其求法定理4：

方陣A可逆的充分必要條件是它能表示

成一些初等矩陣的乘積：

定理5設(shè)A，B是矩陣，則以下三個(gè)條件等價(jià)（1）A與B等價(jià)；(3)