2023學年福建莆田高三第六次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知隨機變量X的分布列如下表：

X-101

Pabc

其中a,b,c>0.若X的方差對所有ae(0,l—8)都成立，貝(J()

,12,1,2

A.h<—B.h<-C.b>—D.b>-

3333

2,等比數(shù)列｛a,,｝中，4=：,q=2,則%與W的等比中項是()

8

11

+--

A.±4B.4一4D.4

3.若復數(shù)二滿足iz—2=i,則|z|=()

5.若函數(shù)/(幻=sin2x的圖象向右平移占個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

6

則0的最大值為().

7157r7%

A.—C.—D.—

2-71212

6.在AABC中，"cosA<cos3"是"sinA>sin3”的(

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.

113

A.-1B.-C.一D.-

422

8.已知函數(shù)/(x)=lnx+ur+。的圖象在點(l,a+b)處的切線方程是y=3x-2,則。―b=(

A.2B.3

9.如圖，在中，點M是邊改的中點，將4Z8A船著AM翻折成448M且點8不在平面內(nèi)，點尸是線

段3'C上一點.若二面角與二面角/>-/河~。的平面角相等，則直線力尸經(jīng)過4』"<：的()

A.重心B.垂心C.內(nèi)心D.夕卜心

10.執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出S的值為()

1231143

B.—D.—

12602060

1T

11.將函數(shù)/(x)=sin(3x+：)的圖像向右平移風，">0)個單位長度，再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的6倍(縱

6

坐標不變)，得到函數(shù)g(x)的圖像，若g(x)為奇函數(shù)，則〃?的最小值為()

712萬7171

A.—B.—C.—D.—

991824

12.已知向量a,h滿足|〃|=L|〃|=G,且[與方的夾角為?，則(a+b)-(2a-h)=()

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/a)」"一以乂優(yōu)Tnx),若在定義域內(nèi)恒有/(?〈(J,則實數(shù)”的取值范圍是

\nx-ax

22

14.已知雙曲線二-匕=1的右準線與漸近線的交點在拋物線=2如上，則實數(shù)P的值為.

412

15.若關于x的不等式l°g[(4'T+X2')<°在工>。時恒成立，則實數(shù)丸的取值范圍是

2

xy<2

16.設實數(shù)x,y滿足04x42,則點P(x,y)表示的區(qū)域面積為.

0<y<2%

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在AABC中，/為8C邊上一點，N84M=45°,cosZAMC=—.

5

(1)求sinB；

4—?1——?

(2)若MC=-BM,AC=4,求

2

1

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=ln——OY92+X(?>0).

2x

(1)討論函數(shù)大幻的極值點的個數(shù)；

(2)若人外有兩個極值點七,々，證明->]一102.

19.(12分)如圖，四棱錐E-ABC。的側(cè)棱OE與四棱錐?4BC。的側(cè)棱防都與底面ABCD垂直，ADLCD,

AB//CD,AB=3,AD=CD=4,AE=5,AF=3y[2.

(1)證明：DF〃平面BCE.

(2)設平面A8尸與平面尸所成的二面角為仇求COS26.

20.(12分)根據(jù)國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)，1978年至2018年我國GQP總量從0.37萬億元躍升至90萬億元，實際增長了242

倍多，綜合國力大幅提升.

國內(nèi)生產(chǎn)總值-GDP（萬億）

將年份1978,1988,1998,2008,2018分別用1,2,3,4,5代替，并表示為人>表示全國GOP總量，表中

_]5

z,=lny(i=l,2,3,4,5),z=

3,=1

tyz火(L)2火”)(y，T

1=11=1f=l

326.4741.90310209.7614.05

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計圖表，判斷公=初+。與$=ce"'（其中e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為全國

G。尸總量y關于『的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由），并求出）'關于/的回歸方程.

（2）使用參考數(shù)據(jù)，估計2020年的全國GAP總量.

線性回歸方程?=邑:+4中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：

,￡（七一元）（凹一方

人二上，-------------，a=y-bx.

f（七一元丫

i=l

參考數(shù)據(jù):

n45678

e"的近似值5514840310972981

21.（12分）設數(shù)列的前〃項和為S”，且勺=/,4+/=25"+/,數(shù)列步/滿足勺=%,點尸。斗,+,在x-y+2=0上,

n€N

（1）求數(shù)列m/,他/的通項公式；

b

（2）設c,=二求數(shù)列伍）的前〃項和卻

22.(10分)設函數(shù)/(x)=|x+3],g(x)=|2x-l|.

(1)解不等式/(x)<g(x)；

(2)若2/(x)+g(x)>"+4對任意的實數(shù)x恒成立，求。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

根據(jù)X的分布列列式求出期望，方差，再利用a+b+c=l將方差變形為O(X)=—/)+1-6從而可以利用二

次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值為1-&<|，進而得出結(jié)論.

【詳解】

由X的分布列可得X的期望為E(X)=—a+c,

又a+/7+c=l,

所以X的方差￡>(X)=(-1+Q-C)2a+(a_cFb+(l+Q-c)2c

=(q-c)2(a+b+c)-2(a-+〃+c

=-(a—c)+a+c

=-(2a—1+〃)~+l-b

=-4la———I+1-/7,

因為〃￡(0,1—b),所以當且僅當a=一二時,O(X)取最大值1—仇

又o(x)＜；對所有ae(O,l-8)成立，

12

所以解得。

故選:D.

【點睛】

本題綜合考查了隨機變量的期望、方差的求法，結(jié)合了概率.二次函數(shù)等相關知識，需要學生具備一定的計算能力,屬于中

檔題.

2.A

【解析】

利用等比數(shù)列｛《,｝的性質(zhì)可得1a8，即可得出.

【詳解】

設巴與。8的等比中項是X.

由等比數(shù)列｛《,｝的性質(zhì)可得Y=a4a8，，8=±。6.

:,%與的等比中項x=±4=±'x25=±4.

8

故選A.

【點睛】

本題考查了等比中項的求法，屬于基礎題.

3.D

【解析】

把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)模的計算公式計算.

【詳解】

解：由題意知，iz=2+i,

…出=3='=j,

ii2-1

=—2i|=jF+(_2)2=方,

故選：D.

【點睛】

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)模的求法.

4.A

【解析】

由已知新運算Q十b的意義就是取得。力中的最小值，

因此函數(shù)〃x)=l十x<0，

只有選項A中的圖象符合要求，故選A.

5.C

【解析】

由題意利用函數(shù)曠=4$皿(如+⑼的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出。的最大值.

【詳解】

解：把函數(shù)/(X)=sin2x的圖象向右平移￡個單位長度得到函數(shù)g(x)=sin(2x--)的圖象，

若函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,上單調(diào)遞增，

—

在區(qū)間【0,〃］上，2x——Gl—,2a——］,

333

則當。最大時，2a-g=g,求得“=當，

3212

故選：C.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)y=Asin(g+g)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題.

6.C

【解析】

由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出cos4<cosB的等價條件為A>3,再利用大角對大邊，結(jié)合正弦定理可判斷出

“cosA<cosB"是"sinA>sin3”的充分必要條件.

【詳解】

?.?余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間(0,乃)上單調(diào)遞減，且0<A<",0<B<TV,

由cosAccosB,可得A>3,；.a>匕，由正弦定理可得sinA>sin3.

因此，“cosA<cosB"是"sinA>sin3”的充分必要條件.

故選：C.

【點睛】

本題考查充分必要條件的判定，同時也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對大邊以及正弦定理的應用，考查推理能力,

屬于中等題.

7.C

【解析】

試題分析：???/(-2)=2-2=；,==l—-g=；.故C正確.

考點：復合函數(shù)求值.

8.B

【解析】

根據(jù)/'(1)=3求出。=2,再根據(jù)(1,“+?也在直線y=3x-2上，求出b的值，即得解.

【詳解】

因為f(x)='+a，所以/'(1)=3

x

所以1+。=3,。=2,

又(l,a+A)也在直線y=3x-2上，

所以a+Z?=l,

解得。=21=-1,

所以“一人=3.

故選：B

【點睛】

本題主要考查導數(shù)的幾何意義，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

9.A

【解析】

根據(jù)題意/'到兩個平面的距離相等，根據(jù)等體積法得到S"BW=S"CM,得到答案.

【詳解】

二面角P-8與二面角P-AM-C的平面角相等，故。到兩個平面的距離相等.

故I’P-AB.=I/P-ACM,即〃%-PCM,兩三棱錐高相等，故與叩材=5">0初，

故B'P=CP,故P為。，中點.

故選：4

【點睛】

本題考查了二面角，等體積法，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.

10.D

【解析】

根據(jù)框圖，模擬程序運行，即可求出答案.

【詳解】

運行程序，

s=二一1,j=2,

12,1.°

s=—I---1—,i=3,

552

123.11.

s——I--1---1------,I=4

55523f

_I234,111.1

5555234

1234,111.=

s——I--1---1---1--------,I=5?

5555234

12345,1

s=—H--1--1--1---1---；一9=6,結(jié)束循環(huán)，

555552

1(I|I1A1~3~743

故輸出s=—(1+2+3+4+5)-1+-+-+-+-=3--—

5(2345J6060'

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了程序框圖，循環(huán)結(jié)構(gòu)，條件分支結(jié)構(gòu)，屬于中檔題.

11.C

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則表示出g(x),根據(jù)g(x)是奇函數(shù)，可得，〃的取值，再求其最小值.

【詳解】

JT-TT

解：由題意知，將函數(shù)/(x)=sin(3x+一)的圖像向右平移鞏，〃>0)個單位長度，^,y=sin3(x—，〃)+—,再將

66

式

y=sin3x-3m+-圖像上各點的橫坐標伸長到原來的6倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)g(x)的圖像,

，g(x)=sin(—x-3m+—),

因為g(x)是奇函數(shù)，

JTrrK7T

所以一3機+—=)br/eZ,解得加=之一絲歡eZ,

6183

7T

因為機>0,所以”的最小值為一.

18

故選：C

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題.

12.A

【解析】

根據(jù)向量的運算法則展開后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.

【詳解】

{a+b)-(2a-b)=2a-b'+a-b-2-3+].x\/3x^---.

22

故選：A.

【點睛】

本題主要考查數(shù)量積的運算，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=e'與對數(shù)函數(shù)y=Inx圖象可將原題轉(zhuǎn)化為.一分)(lnx-ox)<0恒成立問題，湊而可知y=公

的圖象在過原點且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間；利用過一點的曲線切線的求法可求得兩切線斜率，結(jié)合分母不為零

的條件可最終確定。的取值范圍.

【詳解】

由指數(shù)函數(shù)y=，與對數(shù)函數(shù)v=Inx圖象可知：e*>Inx，

x

.../(%)<0恒成立可轉(zhuǎn)化為￡^士<0恒成立，即(e，-5)(lnx—詞<0恒成立，.”>以>lnx，即丁=6是

Inx-ox

夾在函數(shù)》="與y=lnx的圖象之間，

>=辦的圖象在過原點且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間.

設過原點且與y=InX相切的直線與函數(shù)相切于點(m,lnm),

(m=e

i1nm

則切線斜率匕=一=——,解得：，1；

mmh=一

、e

設過原點且與y=決相切的直線與函數(shù)相切于點,

“〃〃=1

則切線斜率公="=J,解得：〈;

nk?=e

當a=l時，lnx--x<0,又Inx-orwO,4滿足題意；

eee

"1、

綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為一,e.

Le；

【點睛】

本題考查恒成立問題的求解，重點考查了導數(shù)幾何意義應用中的過一點的曲線切線的求解方法；關鍵是能夠結(jié)合指數(shù)

函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為切線斜率的求解問題；易錯點是忽略分母不為零的限制，忽略對于臨界值能否取得

的討論.

3

14.-

2

【解析】

求出雙曲線的漸近線方程，右準線方程，得到交點坐標代入拋物線方程求解即可.

【詳解】

222A

解：雙曲線土一匕=1的右準線x=±=3=l,漸近線y=±百x,

412c4，

22

雙曲線上-匕=1的右準線與漸近線的交點(1,±6),

412

交點在拋物線y2=2px上，

可得：3=2/7,

3

解得〃=].

3

故答案為

2

【點睛】

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)以及拋物線的簡單性質(zhì)的應用，是基本知識的考查，屬于基礎題.

15.2>-3

【解析】

利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將不等式去掉對數(shù)符號，再依據(jù)分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化成求構(gòu)造函數(shù)最值問題，進而求得4的取

值范圍。

【詳解】

由logl(4'T+2-2')(()得4川+九.2、>1,兩邊同除以2*，得到，2>-i--4-2',

22

0,設由函數(shù)y=；-4r在(1,+8)上遞減,

所以1一4/<1一4=一3,故實數(shù)/I的取值范圍是42-3。

t

【點睛】

本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問題的常規(guī)解法——分離參數(shù)法。

16.l+21n2

【解析】

先畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出交點坐標，利用定積分即可求解.

【詳解】

xy<2

畫出實數(shù)x,y滿足04x42表示的平面區(qū)域，如圖(陰影部分)：

0<y<2A:

故答案為：1+2山2

【點睛】

本題考查了定積分求曲邊梯形的面積，考查了微積分基本定理，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)巫；(2)4

10

【解析】

(1)B=ZAMC-ZBAM,利用兩角差的正弦公式計算即可；

(2)設=在AAfiM中，用正弦定理將AM用x表示，在AACN中用一次余弦定理即可解決.

【詳解】

(I)vcosZAMC=—,

5

?、?/—2A/5

,?sin/LAMC----,

5

所以，sinB=sin(ZAMC-ZBAA/)

=sinZAMC-cosZBAM-cosZAMC-sinZBAM

_2#)V2V5V2Vio

一^2r

(2)'：MC^-BM,

2

二設MC=x,BM^2x,

..a-加BMAM

在A鉆河中，由正弦定理得，——-,

sin45°sin3

2x_AM

：.0-M,

7(r

2#)

??AM=--x9

5

,:AC2=A"+MC2-2AM?MCcosZAMC，

.2422c25/5VS

?A?4-=—x'+x-2--x-x----

555

MC=x=4.

【點睛】

本題考查兩角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查學生的運算求解能力，是一道容易題.

18.(1)見解析(2)見解析

【解析】

⑴求得函數(shù)“X)的定義域和導函數(shù)/'(x),對。分成a=0,a2),0<a<：三種情況進行分類討論，判斷出/(x)

OO

的極值點個數(shù).

1f\x.)+/(x)a1

(2)由(1)知aw(0，x)，結(jié)合韋達定理求得與馬的關系式，由此化簡J~八一2的表達式為2aln—+—+2。，

8%+工222

a13/(%.)+/(x,)3,

通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)證得2。也刊+上+2a>2—ln2,由此證得八"'一〉：—ln2成立.

224xt+x24

【詳解】

10)

(1)函數(shù)f(x)=In----or+x=-ln2x-or+x的定義域為九￡(0,+oo)

2x

/(x)=---2ax+1=2ax十一~~-,xG(0,+oo),

xx

(i)當。=0時；/(x)=~~~-,

X

因為X￡(0,l)時，/(x)<0,X￡(l,+oo)時，f{x}>0,

所以X=1是函數(shù)/1)的一個極小值點；

3)若Q>()時，

若A=1—8。4(),即421時，f\x)<0,

8

在(0,+8)是減函數(shù)，〃x)無極值點.

若A=l—8。>0,即0<〃<1時，

8

/(x)-2ax2一x+i=o有兩根&,々，%I+x2=—>0,xtx2=—>0,

-2a~2a

xi>0,x,>0不妨設0<%<x2

當xe(0,xJ和xe(%2，+8)時，f\x)<0,

當xe(X],尤2)時，f\x)>0,

公公是函數(shù),f(x)的兩個極值點,

綜上所述。=0時，/(x)僅有一個極值點；

a2,時，/(x)無極值點；0＜。＜，時，/5)有兩個極值點.

88

(2)由(1)知，當且僅當ae(0,：)時，Ax)有極小值點再和極大值點々，且王，々是方程2℃2—%+1=。的兩

8

根,

11e

玉+X,---,X]%2=---，則

"2a~2a

~/(玉)+/(工2)7112112、°、

所以------------=(In----axx+%,+In-----ax^+x2)-(2(7)

x]+x22x]2X2

=[-(In2%+ln2%2)-a(x；+x；)+(%+x2)]-2a

=[-ln(4xjX2)-a(xf+石)+(2+x2)]-2tz

a4。~a2a

八a1.1._,ci1.

=(In--------+1+—)?2。=2。In—+—+2Q

24a2a22

設g(a)=2aln@+L+2a,則g'(a)=21n3+4,又。€(0,,)，即

2228216

所以g'(a)=21n0+4<21n-!-+4=—41n4+4<0

216

113

所以g3)是(0,-)上的單調(diào)減函數(shù)，g(a)>g(-)=二-In2

884

/(x)+f(x>)3._

???/(x)有兩個極值點％,x2,則J[-〉]Tn2

XiI

【點睛】

本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點，考查利用導數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學思想方法，考查化歸與

轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.

7

19.(1)證明見解析(2)-一

25

【解析】

(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可得DE//BF,然后根據(jù)勾股定理計算可得8F=OE,最后利用線面平行的判定定理,

可得結(jié)果.

(2)利用建系的方法，可得平面ABf的一個法向量為平面CO尸的法向量為應，然后利用向量的夾角公式以及

平方關系，可得結(jié)果.

【詳解】

(1)因為。EJ_平面ABC。，所以OE1A。，

因為4。=4,AE=5,OE=3,同理8尸=3,

ABCD,ABCD,

所以DE//BF,又BF=DE,

所以平行四邊形BEAR故DFUBE,

因為8EU平面BCE,2平面BCE

所以。尸〃平面BCE；

(2)建立如圖空間直角坐標系，

C(0,4,0),F(4,3,-3),

DC=(0,4,0),OF=(4,3,-3),

設平面CO尸的法向量為玩=(x,y,z),

m-DC-4y=0

由<,令x=3,得根=(3,0,4),

tn-DF=4x+3y-3z=Q

易知平面ABF的一個法向量為n=(1,0,0),

3

所以cosV而n>~—,

7

故COS26=2COS20-\-----.

25

【點睛】

本題考查線面平行的判定以及利用建系方法解決面面角問題，屬基礎題.

CC/?、dta,1.405-2.312/-2.312\l.405r-x,—

20.(1)y=ce,y=e=(eJe；z(2)148萬億兀.

【解析】

(1)由散點圖知y=ce”更適宜，對？=ce"兩邊取自然對數(shù)得Iny=lnc+力，令z=lny,a=lnc,b=d,則

z=a+bt,再利用線性回歸方程的計算公式計算即可；

(2)將f=5.2代入所求的回歸方程中計算即可.

【詳解】

(1)根據(jù)數(shù)據(jù)及圖表可以判斷，

y=ce1"更適宜作為全國GDP總量>關于t的回歸方程.

對曠=。6”兩邊取自然對數(shù)得lny=lnc+力，令z=lny,a=lnc,b=d,得z=a+4.

5,

.2訃T

14.05

因為匕二『-----------=1.405,

10

<=i

所以a=』一百=1.903-1.405x3=—2.312,

所以z關于r的線性回歸方程為z=1.405f-2.312，

所以>關于r的回歸方程為V=34°5—2.312=卜-2.312)以4叫

(2)將/=5.2代入5=/4°5-2.312,其中1.405x5.2—2.312=4.994,

于是2020年的全國GAP總量約為：y=e4"4?e5=148萬億元.

【點睛】

本題考查非線性回歸方程的應用，在處理非線性回歸方程時，先作變換，轉(zhuǎn)化成線性回歸直線方程來處理，是一道中

檔題.

21.(1)b“=l+d>2=2〃-l

12n-1n+1

(2)T=3-------------7=3--

"2-3"-22-3"-13'"1

【解析】

(1)利用4與S”的遞推關系可以%的通項公式；尸點代入直線方程得與+/-%=2,可知數(shù)列出/是等差數(shù)列，用公式

求解即可.(2)用錯位