安全工程專業(yè)課件1.5實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

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實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理5、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是實(shí)驗(yàn)結(jié)果的最終表現(xiàn)，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行記錄、整理、計(jì)算、分析、擬合等，從中獲得實(shí)驗(yàn)結(jié)果。常見(jiàn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法有：列表法、作圖法、圖解法、逐差法和最小二乘法等。5.1列表法列表法就是將一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和計(jì)算的中間數(shù)據(jù)依據(jù)一定的形式和順序列成表格。列表法可以簡(jiǎn)單明確地表示出各種量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，便于分析和發(fā)現(xiàn)資料的規(guī)律性，也有助于檢查和發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中的問(wèn)題，這就是列表法的優(yōu)點(diǎn)。

設(shè)計(jì)記錄表格時(shí)要做到：（1）表格設(shè)計(jì)要合理，以利于記錄、檢查、運(yùn)算和分析。（2）表格中涉及的各物理量，其符號(hào)、單位及量值的數(shù)量級(jí)均要表示清楚。但不要把單位寫在數(shù)字后。（3）表中數(shù)據(jù)要正確反映測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字和不確定度。列入表中的除原始數(shù)據(jù)外，計(jì)算過(guò)程中的一些中間結(jié)果和最后結(jié)果也可以列入表中。（4）表格要加上必要的說(shuō)明。實(shí)驗(yàn)室所給的數(shù)據(jù)或查得的單項(xiàng)數(shù)據(jù)應(yīng)列在表格的上部，說(shuō)明寫在表格的下部。【例1-3】煤層瓦斯含量自然解吸數(shù)據(jù)表1-1：煤礦名稱

測(cè)試地點(diǎn)

測(cè)試日期

測(cè)試人員

取煤深度（m）

鉆孔傾角（°）

損失時(shí)間（s）

鉆孔直徑（mm）

解吸時(shí)長(zhǎng)（分）解吸量（ml）解吸時(shí)長(zhǎng)（分）解吸量（ml）解吸時(shí)長(zhǎng)（分）解吸量（ml）0

6

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1

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305.2作圖法作圖法是在坐標(biāo)紙上用圖線表示物理量之間的關(guān)系，揭示物理量之間的聯(lián)系。作圖法既有簡(jiǎn)明、形象、直觀、便于比較研究實(shí)驗(yàn)結(jié)果等優(yōu)點(diǎn)，它是一種最常用的數(shù)據(jù)處理方法。作圖法的基本步驟：（1）選用合適的坐標(biāo)紙與坐標(biāo)分度值，選擇合適的坐標(biāo)紙，包括類型和大小。坐標(biāo)分度值的選取要符合測(cè)量值的準(zhǔn)確度，即應(yīng)能反映出測(cè)量值的有效數(shù)字位數(shù)。（2）標(biāo)明坐標(biāo)軸：以橫軸代表自變量（一般為實(shí)驗(yàn)中可以準(zhǔn)確控制的量，如溫度、時(shí)間等），以縱軸代表因變量（如壓力、解吸量等）），用粗實(shí)線在坐標(biāo)紙上描出坐標(biāo)軸，在軸端注明物理量名稱、符號(hào)、單位，并按順序標(biāo)出軸線整分格上的量值。

（3）描點(diǎn)和連線。根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，用直尺和筆尖使其函數(shù)對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)準(zhǔn)確地落在相應(yīng)的位置。一張圖紙上畫(huà)上幾條實(shí)驗(yàn)曲線時(shí)，每條圖線應(yīng)用不同的標(biāo)記如“+”、“×”、“⊙”、“Δ”等符號(hào)標(biāo)出，以免混淆。盡量不要僅用“·”標(biāo)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，以免連線時(shí)看不清楚。（4）連成圖線：使用直尺、曲線板等工具，按實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的總趨勢(shì)連成光滑的曲線。由于存在測(cè)量誤差，且各點(diǎn)誤差不同，不可強(qiáng)求曲線通過(guò)每一個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，但應(yīng)盡量使曲線兩側(cè)的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)靠近圖線，并使數(shù)據(jù)點(diǎn)均勻分布在曲線（直線）的兩側(cè)，且盡量貼近曲線。個(gè)別偏離過(guò)大的點(diǎn)要重新審核，屬過(guò)失誤差的應(yīng)剔去。（5）標(biāo)明圖名，在圖紙下方或空白位置寫出圖線的名稱，必要時(shí)還可寫出某些說(shuō)明。5.3圖解法在實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)實(shí)驗(yàn)圖線做出以后，可以根據(jù)已有圖線，采用解析方法找出物理量之間的函數(shù)關(guān)系，這種由圖線求經(jīng)驗(yàn)公式的方法稱為圖解法。實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常遇到的圖線是直線、拋物線、雙曲線、指數(shù)曲線、對(duì)數(shù)曲線。特別是當(dāng)圖線是直線時(shí)，采用此方法更為方便。1、由實(shí)驗(yàn)圖線建立經(jīng)驗(yàn)公式的一般步驟（1）根據(jù)解析幾何知識(shí)判斷圖線的類型；（2）由圖線的類型判斷公式的可能特點(diǎn)；（3）利用半對(duì)數(shù)、對(duì)數(shù)或倒數(shù)坐標(biāo)紙，把原曲線改為直線；（4）確定常數(shù)，建立起經(jīng)驗(yàn)公式的形式，并用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)所得公式的準(zhǔn)確程度。

2、用直線圖解法求直線的方程如果作出的實(shí)驗(yàn)圖線是一條直線，則經(jīng)驗(yàn)公式應(yīng)為直線方程

y＝kx＋b（1-20）要建立此方程，必須由實(shí)驗(yàn)直接求出k和b，一般有兩種方法。（1）斜率截距法在圖線上選取兩點(diǎn)P1（x1，y1）和P2（x2，y2），注意不得用原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，而應(yīng)從圖線上直接讀取，其坐標(biāo)值最好是整數(shù)值。所取的兩點(diǎn)在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)應(yīng)盡量彼此分開(kāi)一些，以減小誤差。由解析幾何知，上述直線方程中，k為直線的斜率，b為直線的截距。k可以根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出。則斜率為：

（1-21）

其截距b為x＝0時(shí)的y值；若原實(shí)驗(yàn)中所繪制的圖形并未給出x＝0段直線，可將直線用虛線延長(zhǎng)交y軸，則可量出截距。如果起點(diǎn)不為零，也可以由式

（1-22）求出截距，求出斜率和截距的數(shù)值代入方程中就可以得到經(jīng)驗(yàn)公式。3、曲線改直，曲線方程的建立在許多情況下，函數(shù)關(guān)系是非線性的，但可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換化成線性關(guān)系，在作圖法中用直線表示，這種方法叫做曲線改直。作這樣的變換不僅是由于直線容易描繪，更重要的是直線的斜率和截距所包含的物理內(nèi)涵是我們所需要的。例如：

（1）y=axb，式中a、b為常量，可變換成lgy=blgx+lga，lgy為lgx的線性函數(shù)，斜率為b，截距為lga。（2）y=abx，式a、b中為常量，可變換成lgy=（lgb）x+lga，lgy為x的線性函數(shù)，斜率為lgb，截距為lga。（3）PV=C，式中C為常量，要變換成P=C（1/V），P是1/V的線性函數(shù)，斜率為C。（4）y2=2px式中p為常量，y=±x1/2，y是x1/2的線性函數(shù)，斜率為±。（5）y=x/（a+bx），式中a、b為常量，可變換成1/y=a（1/x）+b，1/y為1/x的線性函數(shù)，斜率為a，截距為b。（6）s=v0t+at2/2，式中v0，a為常量，可變換成s/t=（a/2）t+v0，s/t為t的線性函數(shù)，斜率為a/2，截距為v0。

【例1-4】在恒定溫度下，一定質(zhì)量的氣體的壓強(qiáng)P隨容積V而變，畫(huà)P～V圖。為一雙曲線型如圖1-3所示。用坐標(biāo)軸1/V置換坐標(biāo)軸V，則P～1/V圖為一直線，如圖1-4所示。直線的斜率為PV＝C，即玻-馬定律。

圖1-3P～V曲線圖1-4P～1/V曲線P0

1/vPV05.4逐差法對(duì)隨等間距變化的物理量x進(jìn)行測(cè)量和函數(shù)可以寫成x的多項(xiàng)式時(shí)，可用逐差法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。例如，一空載長(zhǎng)為的彈簧，逐次在其下端加掛質(zhì)量為m的砝碼，測(cè)出對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度依次為：，為求每加一單位質(zhì)量的砝碼的伸長(zhǎng)量，可將數(shù)據(jù)按順序?qū)Π敕殖蓛山M，使兩組對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減有：這種對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減，即逐項(xiàng)求差法簡(jiǎn)稱逐差法。它的優(yōu)點(diǎn)是盡量利用了各測(cè)量量，而又不減少結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)，是實(shí)驗(yàn)中常用的數(shù)據(jù)處理方法之一。

注意：逐差法與作圖法一樣，都是一種粗略處理數(shù)據(jù)的方法，在普通物理實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)常要用到這兩種基本的方法。在使用逐差法時(shí)要注意以下幾個(gè)問(wèn)題：1、在驗(yàn)證函數(shù)的表達(dá)式的形式時(shí)，要用逐項(xiàng)逐差，不用隔項(xiàng)逐差。這樣可以檢驗(yàn)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的變化是否符合規(guī)律。2、在求某一物理量的平均值時(shí)，不可用逐項(xiàng)逐差，而要用隔項(xiàng)逐差；否則中間項(xiàng)數(shù)據(jù)會(huì)相互消去，而只到用首尾項(xiàng)，白白浪費(fèi)許多數(shù)據(jù)。如上例，若采用逐項(xiàng)逐差法（相鄰兩項(xiàng)相減的方法）求伸長(zhǎng)量，則有：可見(jiàn)只有、兩個(gè)數(shù)據(jù)起作用，沒(méi)有充分利用整個(gè)數(shù)據(jù)組，失去了在大量數(shù)據(jù)中求平均以減小誤差的作用，是不合理的。5.5最小二乘法作圖法雖然在數(shù)據(jù)處理中是一個(gè)很便利的方法，但在圖線的繪制上往往會(huì)引入附加誤差，尤其在根據(jù)圖線確定常數(shù)時(shí)，這種誤差有時(shí)很明顯。為了克服這一缺點(diǎn)，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中研究了直線擬合問(wèn)題（或稱一元線性回歸問(wèn)題），常用一種以最小二乘法為基礎(chǔ)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法。由于某些曲線的函數(shù)可以通過(guò)數(shù)學(xué)變換改寫為直線，例如對(duì)函數(shù)取對(duì)數(shù)得，與的函數(shù)關(guān)系就變成直線型了。因此這一方法也適用于某些曲線型的規(guī)律。下面就數(shù)據(jù)處理問(wèn)題中的最小二乘法原則作一簡(jiǎn)單介紹。

設(shè)某一實(shí)驗(yàn)中，可控制的物理量取x1，x2，…，xn值時(shí)，對(duì)應(yīng)的物理量依次取y1，y2，…，yn值。假定對(duì)xi值的觀測(cè)誤差很小，而主要誤差都出現(xiàn)在yi的觀測(cè)上。顯然如果從（xi，yi）中任取兩組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)就可得出一條直線，只不過(guò)這條直線的誤差有可能很大。直線擬合的任務(wù)就是用數(shù)學(xué)分析的方法從這些觀測(cè)到的數(shù)據(jù)中求出一個(gè)誤差最小的最佳經(jīng)驗(yàn)式。按這一最佳經(jīng)驗(yàn)公式作出的圖線雖不一定能通過(guò)每一個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，但是它以最接近這些實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的方式平滑地穿過(guò)它們。很明顯，對(duì)應(yīng)于每一個(gè)xi值，觀測(cè)值yi和最佳經(jīng)驗(yàn)式的y值之間存在一偏差δyi，稱它為觀測(cè)值yi的偏差，即：，（）（1-23）將得出的a和b代入直線方程，即得到最佳的經(jīng)驗(yàn)公式。上面介紹了用最小二乘法求經(jīng)驗(yàn)公式中的常數(shù)a和b的方法，是一種直線擬合法。它在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中的運(yùn)用很廣泛，特別是有了計(jì)算器后，計(jì)算工作量大大減小，計(jì)算精度也能保證，因此它是很有用又很方便的方法。用這種方法計(jì)算的常數(shù)值a和b是“最優(yōu)的”，但并不是沒(méi)有誤差，它們的誤差估算比較復(fù)雜。一般地說(shuō)，一列測(cè)量值的δyi大（即實(shí)驗(yàn)點(diǎn)對(duì)直線的偏離大），那么由這列數(shù)據(jù)求出的a、b值的誤差也大，由此定出的經(jīng)驗(yàn)公式可靠程度就低；如果一列測(cè)量值的δyi小（即實(shí)驗(yàn)點(diǎn)對(duì)直線的偏離?。敲从蛇@列數(shù)據(jù)求出的a、b值的誤差就小，由此定出的經(jīng)驗(yàn)公式可靠程度就高。直線擬合中的誤差估計(jì)問(wèn)題比較復(fù)雜，可參閱其他資料，本教材不作介紹。

為了檢查實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的函數(shù)關(guān)系與得到的擬合直線符合的程度，數(shù)學(xué)上引進(jìn)了線性相關(guān)系數(shù)r來(lái)進(jìn)行判斷。r定義為：