山西省太原市2023-2024學年高二上學期期中學業(yè)診斷數(shù)學試卷（含答案）

山西省太原市2023-2024學年高二上學期期中學業(yè)診斷數(shù)學試卷說明：本試卷為閉卷筆答，答題時間90分鐘，滿分100分．一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．直線的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．橢圓的焦點坐標為（

）A． B． C． D．3．圓的圓心坐標為（

）A． B． C． D．4．已知，且，則實數(shù)（

）A． B．5 C． D．15．直線與直線之間的距離是（

）A． B．1 C． D．26．已知直線，圓，則直線l與圓C的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定7．如圖，正方體的棱長為2，是的中點，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．8．已知橢圓的左、右焦點分別為，點M在C上，點N的坐標為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、選擇題（本題共4小題，每小題3分，共12分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得3分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．已知圓與圓關(guān)于直線l對稱，則下列說法正確的是（

）A． B．圓與圓相交C．直線的方程為 D．直線l的方程為10．已知點分別是橢圓的兩個焦點，點在上，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為 B．橢圓的離心率C．面積的最大值為 D．的最大值為11．已知直線，則下列說法正確的是（

）A．直線與相交于點B．直線和軸圍成的三角形的面積為C．直線關(guān)于原點O對稱的直線方程為D．直線關(guān)于直線對稱的直線方程為12．已知點在圓上，點在上，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為B．的最大值為C．過作圓的切線，切點分別為，則的最小值為D．過P作直線，使得直線與直線的夾角為，設(shè)直線與直線的交點為，則的最大值為三、填空題（本題共4小題，每小題3分，共12分）13．直線在軸上的截距為．14．已知，則向量與的夾角為．15．已知點是直線上的動點，點在線段上（是坐標原點），且滿足，則動點的軌跡方程為．16．已知橢圓的左，右頂點分別為，動點P在C上（異于點），點Q是弦的中點，則的最大值為．四、解答題（本題共5小題，共52分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．已知的三個頂點，分別是的中點．(1)求直線的一般式方程；(2)求邊的垂直平分線的斜截式方程．18．如圖，四面體OABC各棱的棱長都是1，是的中點，是的中點，記．(1)用向量表示向量；(2)利用向量法證明：．19．已知圓的圓心在x軸上，且經(jīng)過和兩點．(1)求圓的一般方程；(2)求圓與圓的公共弦的長．20．已知橢圓的離心率是，且經(jīng)過點．(1)求橢圓的方程；(2)若過點的直線l與橢圓C相交于兩個不同的點，直線分別與軸相交于點，證明：線段的中點為定點．21．如圖，在幾何體中，△ABC是邊長為2的正三角形，D，E分別是，的中點，，平面ABC，．(1)若，求證：平面；(2)若平面與平面ABC夾角的余弦值為，求直線DE與平面所成角的正弦值．1．C【分析】根據(jù)直線的斜率求得傾斜角.【詳解】直線的斜率為，所以直線的傾斜角為.故選：C2．A【分析】根據(jù)橢圓的標準方程求得，從而確定正確答案.【詳解】橢圓的焦點在軸上，，所以焦點坐標為.故選：A3．D【分析】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標準方程，從而求得圓心坐標.【詳解】圓可化為，所以圓心坐標為.故選：D4．A【分析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡求得的值.【詳解】由于，所以.故選：A5．C【分析】根據(jù)兩平行直線間的距離公式求得正確答案.【詳解】依題意，直線與直線之間的距離是：.故選：C6．A【分析】求出直線所過定點，再根據(jù)點與圓的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】已知直線，變形為，由，即直線恒過定點，代入圓的方程的左端有，即點在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，故選：A7．D【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求得正確答案.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，，所以點到直線的距離為.故選：D8．B【分析】根據(jù)橢圓的定義轉(zhuǎn)化，結(jié)合三點共線來求得的取值范圍.【詳解】依題意，，，，，，所以，當位于線段與橢圓交點處時等號成立.根據(jù)橢圓的定義可知，如圖所示，設(shè)的延長線與橢圓相交于，則當位于時，取得最大值為，綜上所述，的取值范圍為.故選：B在橢圓中，求解橢圓上的點到焦點、定點的距離的和或差的最值，可以考慮通過橢圓的定義進行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合三點共線來確定最值.在解題過程中，要畫出對應(yīng)的圖象，結(jié)合圖象來進行求解.9．BD【分析】根據(jù)對稱性求得，然后根據(jù)兩個圓的位置關(guān)系對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓即，根據(jù)對稱性可知，解得，所以A選項錯誤.此時，圓心為，半徑.，由于，所以兩圓相交，B選項正確.直線的方程，所以C選項錯誤.線段中點坐標為，直線斜率為，所以直線l的方程為，所以D選項正確.故選：BD10．AD【分析】根據(jù)橢圓的定義和標準方程、離心率、三角形面積、余弦定理、三角恒等變換等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】橢圓，，，設(shè)，，則，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，所以A選項正確.橢圓的離心率，所以B選項錯誤.由于為定值，所以當位于橢圓的左右頂點時，三角形的面積取得最大值為，所以C選項錯誤.設(shè)，，當且僅當時等號成立，即的最小值為，當取得最小值時，取得最大值，此時為銳角，，所以此時也取得最大值，且的最大值為，所以D選項正確.故選：AD11．AC【分析】通過聯(lián)立方程組求得交點坐標，結(jié)合三角形的面積、對稱性等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】由解得，所以交點坐標為，A選項正確.直線與軸的交點為，與軸的交點為，直線過原點，由圖可知，直線和軸圍成的三角形的面積為，所以B選項錯誤.由上述分析可知，直線關(guān)于原點O對稱的直線過點，所以直線關(guān)于原點O對稱的直線方程為，所以C選項正確.點關(guān)于直線的對稱點是；點關(guān)于直線的對稱點是，所以直線關(guān)于直線對稱的直線方程為，即，所以D選項錯誤.故選：AC12．ACD【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式、圓與圓的位置關(guān)系、弦長等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，直線和圓相離，所以的最小值為，A選項正確.由于是直線上任意一點，所以沒有最大值，B選項錯誤.對于D選項，由于直線與直線的夾角為，所以等于到直線的距離的倍，所以的最大值為，D選項正確.對于C選項，設(shè)，的中點為，，所以以為圓心，為半徑的圓的方程為，整理得，由、兩式相減并化簡得，即直線的方程為，到直線的距離為，所以，對于函數(shù)，所以恒成立，當時，取得最小值為，所以，所以，所以，所以C選項正確.故選：ACD方法點睛：求解直線和圓的位置關(guān)系有關(guān)題目，主要的方法是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，根據(jù)圖象以及圓的幾何性質(zhì)來對問題進行研究.求解圓與圓相交所得弦長，可利用兩個圓的方程相減來求得相交弦所在直線方程.13．【分析】根據(jù)截距的知識求得正確答案.【詳解】由，令，解得，所以直線在軸上的截距為.故14．【分析】根據(jù)向量的夾角公式求得正確答案.【詳解】，則為銳角，所以.故15．（）【分析】設(shè)出兩點的坐標，由以及三點共線求得正確答案.【詳解】設(shè)，設(shè)，依題意可知，由于三點共線，所以，則，由于，所以，整理得（）.故（）

16．##【分析】設(shè)出點坐標，求得坐標，進而求得的表達式，并利用三角恒等變換、基本不等式等知識求得的最大值.【詳解】依題意，設(shè)，根據(jù)橢圓的對稱性，以及題目所求“的最大值”，不妨設(shè)，，則，即，所以由于，所以由基本不等式可得，當且僅當時等號成立.故

在橢圓中，求解最值有關(guān)問題，如線段長度、面積、角度等量的最值，可考慮先求得其表達式，然后根據(jù)表達式的結(jié)構(gòu)選取合適的求最值的方法來進行求解，如本題中，利用三角換元，然后結(jié)合基本不等式來求.還可以考慮二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性等知識來進行求解.17．(1)(2)【分析】（1）求得的坐標，進而求得直線的方程并轉(zhuǎn)化為一般式方程.（2）求得垂直平分線的斜率，進而求得其斜截式方程.【詳解】（1）由于分別是的中點，所以，所以，直線的方程為，即.（2），所以邊的垂直平分線的斜率為，所以邊的垂直平分線的斜截式方程為.18．(1)(2)證明詳見解析【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運算求得正確答案.（2）通過證明來證得結(jié)論成立.【詳解】（1）連接，則（2），所以，所以.19．(1)(2)【分析】（1）通過求圓心和半徑來求得圓的標準方程，再轉(zhuǎn)化為一般方程.（2）先求得公共弦所在直線方程，再結(jié)合點到直線的距離公式以及勾股定理求得公共弦長.【詳解】（1）設(shè)，由得，解得，則，，所以圓的標準方程為，半徑為，所以圓的一般方程為.（2）圓即，圓心為，半徑為，兩點的距離為，而，所以兩圓相交，由、，兩式相減并化簡得，到直線的距離為，所以公共弦長為.20．(1)(2)證明詳見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)直線求得兩點的橫坐標，進而計算出線段的中點為定點．【詳解】（1）依題意，解得，所以橢圓的方程為.（2）依題意，過點的直線與橢圓C相交于兩個不同的點，畫出圖象如下圖所示，由圖可知直線的斜率存在，且，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，，設(shè)，則，而，所以直線的方程為，令，解得，同理可求得，則，所以線段的中點為定點.要求橢圓的標準方程，主要是根據(jù)已知條件求得標準方程中的，和是兩個未知數(shù)，要求解兩個未知數(shù)，則需要兩個條件才能求解，如本題中的橢圓的離心率以及點的坐標，再結(jié)合即可求得，從而求得橢圓的標準方程.21．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取AC的中點O，連接OD，易證OD⊥平面ABC，然后以O(shè)為原點，OA，OB，OD所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，論證，即可；（2）設(shè)，則，易知是平面ABC的一個法向量，再求得平面的一個法向量，由求得a，再利用線面角公式求解.【詳解】（1