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文檔簡介
2024屆山東省五蓮縣高三上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若,則下列不等式不能成立的是()A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)的虛部是()A. B. C. D.3.已知,,,若,則正數(shù)可以為()A.4 B.23 C.8 D.174.已知為等比數(shù)列,,,則()A.9 B.-9 C. D.5.已知雙曲線的一個焦點為,且與雙曲線的漸近線相同,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.6.已知復(fù)數(shù)是正實數(shù),則實數(shù)的值為()A. B. C. D.7.函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列,要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向右平移個單位8.已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為,則()A.3 B. C. D.9.如圖在直角坐標(biāo)系中,過原點作曲線的切線,切點為,過點分別作、軸的垂線,垂足分別為、,在矩形中隨機選取一點,則它在陰影部分的概率為()A. B. C. D.10.已知、分別是雙曲線的左、右焦點,過作雙曲線的一條漸近線的垂線,分別交兩條漸近線于點、,過點作軸的垂線,垂足恰為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.11.“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡稱,旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經(jīng)濟合作關(guān)系,共同打造政治互信、經(jīng)濟融合、文化包容的命運共同體.自2015年以來,“一帶一路”建設(shè)成果顯著.如圖是2015—2019年,我國對“一帶一路”沿線國家進出口情況統(tǒng)計圖,下列描述錯誤的是()A.這五年,出口總額之和比進口總額之和大B.這五年,2015年出口額最少C.這五年,2019年進口增速最快D.這五年,出口增速前四年逐年下降12.已知在中,角的對邊分別為,若函數(shù)存在極值,則角的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù),其中且,則______________.14.拋物線上到其焦點的距離為的點的個數(shù)為________.15.如圖所示的流程圖中,輸出的值為______.16.在三棱錐中,,三角形為等邊三角形,二面角的余弦值為,當(dāng)三棱錐的體積最大值為時,三棱錐的外接球的表面積為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù)().(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若關(guān)于x的方程有唯一的實數(shù)解,求a的取值范圍.18.(12分)已知非零實數(shù)滿足.(1)求證:;(2)是否存在實數(shù),使得恒成立?若存在,求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)把曲線向下平移個單位,然后各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€(縱坐標(biāo)不變),設(shè)點是曲線上的一個動點,求它到直線的距離的最小值.20.(12分)在四棱錐中,底面是平行四邊形,為其中心,為銳角三角形,且平面底面,為的中點,.(1)求證:平面;(2)求證:.21.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的焦點為為橢圓上任意一點,且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線交橢圓于兩點,且滿足(分別為直線的斜率),求的面積為時直線的方程.22.(10分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)不等式的性質(zhì)對選項逐一判斷即可.【詳解】選項A:由于,即,,所以,所以,所以成立;選項B:由于,即,所以,所以,所以不成立;選項C:由于,所以,所以,所以成立;選項D:由于,所以,所以,所以,所以成立.故選:B.【點睛】本題考查不等關(guān)系和不等式,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】因為,所以的虛部是,故選C.3、C【解析】
首先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍,再代入驗證即可;【詳解】解:∵,∴當(dāng)時,滿足,∴實數(shù)可以為8.故選:C【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可求出,便可得出等比數(shù)列的公比,再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】∵,∴,又,可解得或設(shè)等比數(shù)列的公比為,則當(dāng)時,,∴;當(dāng)時,,∴.故選:C.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
根據(jù)焦點所在坐標(biāo)軸和漸近線方程設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,結(jié)合焦點坐標(biāo)求解.【詳解】∵雙曲線與的漸近線相同,且焦點在軸上,∴可設(shè)雙曲線的方程為,一個焦點為,∴,∴,故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:B【點睛】此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,易錯點在于漏掉考慮焦點所在坐標(biāo)軸導(dǎo)致方程形式出錯.6、C【解析】
將復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式,由題意可得實部大于零,虛部等于零,即可得到答案.【詳解】因為為正實數(shù),所以且,解得.故選:C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本定義,屬基礎(chǔ)題.7、A【解析】依題意有的周期為.而,故應(yīng)左移.8、D【解析】
由雙曲線方程可得漸近線方程,根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率,由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程可知:,漸近線方程為:,一條漸近線的傾斜角為,,解得:.故選:.【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題,關(guān)鍵是明確直線傾斜角與斜率的關(guān)系;易錯點是忽略方程表示雙曲線對于的范圍的要求.9、A【解析】
設(shè)所求切線的方程為,聯(lián)立,消去得出關(guān)于的方程,可得出,求出的值,進而求得切點的坐標(biāo),利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積,然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設(shè)所求切線的方程為,則,聯(lián)立,消去得①,由,解得,方程①為,解得,則點,所以,陰影部分區(qū)域的面積為,矩形的面積為,因此,所求概率為.故選:A.【點睛】本題考查定積分的計算以及幾何概型,同時也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解,考查計算能力,屬于中等題.10、B【解析】
設(shè)點位于第二象限,可求得點的坐標(biāo),再由直線與直線垂直,轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為可得出的值,進而可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)點位于第二象限,由于軸,則點的橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo)為,即點,由題意可知,直線與直線垂直,,,因此,雙曲線的離心率為.故選:B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算,解答的關(guān)鍵就是得出、、的等量關(guān)系,考查計算能力,屬于中等題.11、D【解析】
根據(jù)統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)的含義進行判斷即可.【詳解】對A項,由統(tǒng)計圖可得,2015年出口額和進口額基本相等,而2016年到2019年出口額都大于進口額,則A正確;對B項,由統(tǒng)計圖可得,2015年出口額最少,則B正確;對C項,由統(tǒng)計圖可得,2019年進口增速都超過其余年份,則C正確;對D項,由統(tǒng)計圖可得,2015年到2016年出口增速是上升的,則D錯誤;故選:D【點睛】本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖解決實際問題,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
求出導(dǎo)函數(shù),由有不等的兩實根,即可得不等關(guān)系,然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】,.若存在極值,則,又.又.故選:C.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值,考查余弦定理.掌握極值存在的條件是解題關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先化簡函數(shù)的解析式,在求出,從而求得的值.【詳解】由題意,函數(shù)可化簡為,所以,所以.故答案為:0.【點睛】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用,以及導(dǎo)數(shù)的運算和函數(shù)值的求解,其中解答中正確化簡函數(shù)的解析式,準(zhǔn)確求解導(dǎo)數(shù)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力.14、【解析】
設(shè)拋物線上任意一點的坐標(biāo)為,根據(jù)拋物線的定義求得,并求出對應(yīng)的,即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)拋物線上任意一點的坐標(biāo)為,拋物線的準(zhǔn)線方程為,由拋物線的定義得,解得,此時.因此,拋物線上到其焦點的距離為的點的個數(shù)為.故答案為:.【點睛】本題考查利用拋物線的定義求點的坐標(biāo),考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、4【解析】
根據(jù)流程圖依次運行直到,結(jié)束循環(huán),輸出n,得出結(jié)果.【詳解】由題:,,,結(jié)束循環(huán),輸出.故答案為:4【點睛】此題考查根據(jù)程序框圖運行結(jié)果求輸出值,關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識別循環(huán)結(jié)構(gòu)和判斷框語句.16、【解析】
根據(jù)題意作出圖象,利用三垂線定理找出二面角的平面角,再設(shè)出的長,即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長度,最后根據(jù)球的幾何性質(zhì),利用球心距,半徑,底面半徑之間的關(guān)系即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】如圖所示:過點作面,垂足為,過點作交于點,連接.則為二面角的平面角的補角,即有.∵易證面,∴,而三角形為等邊三角形,∴為的中點.設(shè),.∴.故三棱錐的體積為當(dāng)且僅當(dāng)時,,即.∴三點共線.設(shè)三棱錐的外接球的球心為,半徑為.過點作于,∴四邊形為矩形.則,,,在中,,解得.三棱錐的外接球的表面積為.故答案為:.【點睛】本題主要考查三棱錐的外接球的表面積的求法,涉及二面角的運用,基本不等式的應(yīng)用,以及球的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的直觀想象能力,數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)當(dāng)時,遞增區(qū)間時,無遞減區(qū)間,當(dāng)時,遞增區(qū)間時,遞減區(qū)間時;(2)或.【解析】
(1)求出,對分類討論,先考慮(或)恒成立的范圍,并以此作為的分類標(biāo)準(zhǔn),若不恒成立,求解,即可得出結(jié)論;(2)有解,即,令,轉(zhuǎn)化求函數(shù)只有一個實數(shù)解,根據(jù)(1)中的結(jié)論,即可求解.【詳解】(1),當(dāng)時,恒成立,當(dāng)時,,綜上,當(dāng)時,遞增區(qū)間時,無遞減區(qū)間,當(dāng)時,遞增區(qū)間時,遞減區(qū)間時;(2),令,原方程只有一個解,只需只有一個解,即求只有一個零點時,的取值范圍,由(1)得當(dāng)時,在單調(diào)遞增,且,函數(shù)只有一個零點,原方程只有一個解,當(dāng)時,由(1)得在出取得極小值,也是最小值,當(dāng)時,,此時函數(shù)只有一個零點,原方程只有一個解,當(dāng)且遞增區(qū)間時,遞減區(qū)間時;,當(dāng),有兩個零點,即原方程有兩個解,不合題意,所以的取值范圍是或.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到單調(diào)性、零點、極值最值,考查分類討論和等價轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.18、(1)見解析(2)存在,【解析】
(1)利用作差法即可證出.(2)將不等式通分化簡可得,討論或,分離參數(shù),利用基本不等式即可求解.【詳解】又即即①當(dāng)時,即恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),故②當(dāng)時恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),故綜上,【點睛】本題考查了作差法證明不等式、基本不等式求最值、考查了分類討論的思想,屬于基礎(chǔ)題.19、(1),;(2).【解析】
(1)在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程,在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時乘以得,進而可化簡得出曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)根據(jù)變換得出的普通方程為,可設(shè)點的坐標(biāo)為,利用點到直線的距離公式結(jié)合正弦函數(shù)的有界性可得出結(jié)果.【詳解】(1)由(為參數(shù)),得,化簡得,故直線的普通方程為.由,得,又,,.所以的直角坐標(biāo)方程為;(2)由(1)得曲線的直角坐標(biāo)方程為,向下平移個單位得到,縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€的方程為,所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).故點到直線的距離為,當(dāng)時,最小為.【點睛】本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化,同時也考查了利用橢圓的參數(shù)方程解決點到直線的距離最值的求解,考查計算能力,屬于中等題.20、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】
(1)通過證明,即可證明線面平行;(2)通過證明平面,即可證明線線垂直.【詳解】(1)連,因為為平行四邊形,為其中心,所以,為中點,又因為為中點,所以,又平面,平面所以,平面;(2)作于因為平面平面,平面平面,平面,所以,平面又平面,所以又,,平面,平面所以,平面,又平面,所以,.【點睛】此題考查證明線面平行和線面垂直,通過線面垂直得線線垂直,關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)判定定理,找出平行關(guān)系和垂直關(guān)系證明.21、(1)(2)或【解析】
(1)根據(jù)橢圓定義求得,得橢圓方程;(2)設(shè),由得,應(yīng)用韋達定理得,代入已知條件可得,再由橢圓中弦長公式求得弦長,原點到直線的距離,得三角形面積,從而可求得,得直線方程.【詳解】解:(1)據(jù)題意設(shè)橢圓
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