【單元測(cè)試】第18章 勾股定理（綜合能力拔高卷）（解析版）

【高效培優(yōu)】2021-2022學(xué)年滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)輕松沖刺學(xué)神考霸必刷卷

【單元測(cè)試】第18章勾股定理（綜合能力拔高卷）

（考試時(shí)間：90分鐘試卷滿分：100分）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：___________考號(hào)：

本卷試題共三大題，共25小題，單選10題，填空8題，解答7題，限時(shí)90分鐘，滿分100分，本卷

題型精選核心?？贾仉y易錯(cuò)典題，具備舉一反三之效，覆蓋面積廣，可充分考查學(xué)生雙基綜合能力！

一、單選題：本題共10個(gè)小題，每小題2分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（2022?山東槐蔭?八年級(jí)期末）直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12,則斜邊長(zhǎng)為（）

A.13B.14C.廂D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理，即可求得斜邊長(zhǎng).

【詳解】解：由題意得，該直角三角形的斜邊長(zhǎng)為：乒透=13

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理即可解題.

2.（2022?全國(guó)?八年級(jí)期中）已知一個(gè)Rt△的兩邊長(zhǎng)分別為3和4,則第三邊長(zhǎng)的平方是（）

A.25B.14C.7D.7或25

【答案】1）

【分析】由于4是三角形的直角邊與斜邊不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論.

【詳解】解：山于4是三角形的直角邊與斜邊不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：

（1）3、4都為直角邊，由勾股定理得，斜邊為5；

（2）3為直角邊，4為斜邊，由勾股定理得，直角邊為正.

,第三邊長(zhǎng)的平方是25或7,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊

長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵.

3.（2021?江蘇江陰?八年級(jí)期中）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成直角三角形的是（）

A.4,6,8B.6,8,10C.6,9,10D.5,11,13

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：兩邊的平方和等于第三邊的平方，即可完成解答.

【詳解】解：A、42+62=52^82.故不能組成直角三角形；B、62+82=100=102,故能組成直角三角形；C、

62+92=117^102,故不能組成直角三角形；D、52+112=146^132,故不能組成直角三角形；

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握此定理是關(guān)鍵.

4.（2022?江蘇江陰?八年級(jí)期末）已知“，b,c分別是AABC的三邊，根據(jù)下列條件能判定AABC為直

角三角形的是（）

A.。=2,b=3,c=4B.a=5,b=l/2,c=13

C.a=6,b=8,c=12D.a=69b=12,c=15

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：A、???22+3^42,.?.不能構(gòu)成直角三角形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤：B、；52+122=132,.?.能構(gòu)成直角三

角形,故本選項(xiàng)正確；C、...62+82#122,...能構(gòu)成直角三角形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、???d+lTWl3,...不能

構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足M+bJc?,那么這個(gè)三角形

就是直角三角形.

5.（2022?全國(guó)?八年級(jí)期末）已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且a+b=10,ab=18,c=8,則該三角形

的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】根據(jù)完全平方公式利用a+b=10,ab=18求出/+〃，即可得到三角形的形狀.

【詳解】解：：a+b=10,ab=18,

/.a2+b2=（a+b）2-2ab=100-36=64,

V,c=8,

c2=64,

'2+b2=c2,

...該三角形是直角三角形，

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的逆定理，完全平方公式，能夠利用完全平方公式由已知條件求事/+從是解

題的關(guān)鍵.

6.（2022?四川宜賓?八年級(jí)期末）已知RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC,AB=40,D為BC的中點(diǎn),

E是線段AB上一點(diǎn)，連接CE、DE,則CE+DE的最小值是（）

A.2GB.2#）C.472D.2+2應(yīng)

【答案】B

【分析】作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C',連接C'”與AB交于點(diǎn)E,作DFLCC'于點(diǎn)F,貝UCE=C'E,CE+DE=C'E

+DE,線段CD即為CE+DE得最小值.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C',連接C'￡>,與AB交于點(diǎn)E,作DFLCC于點(diǎn)F,

則CE=C'E,CE+DE=CE+DE,線段C'￡>即為CE+DE得最小值.

???/ACB=90。，AC=BC,AB=40,

：.AC=BC=4

D為BC的中點(diǎn)，

???CD=BD=yBC=yX4=2

CF=DF=V2,CC'=2CG=2X2行=4夜

C'F=CC'-CF=4母-母=3五

CD=y]C'F2+FD2='9國(guó)+（72）?=2后

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查J'線路最短的問(wèn)題，勾股定理，確定動(dòng)點(diǎn)E何位置時(shí)，使DE+CE的值最小是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?廣東?深圳市福田區(qū)第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在底面半徑為2,取3）高為8的圓

柱體上有只小蟲子在A點(diǎn)，它想爬到B點(diǎn)，則爬行的最短路程是（）

【答案】A

【分析】若螞蟻從側(cè)表面從A爬行到B,首先將此圓柱展成平面圖，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，可得AB最短,

由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程.

【詳解】解：若螞蟻從側(cè)表面從A爬行到B,將此圓柱展成平面圖得：

???圓柱的高等于8,底面半徑為2（n=3）,

/.AC=8,BC=g8夕一/X4JI=6,

AB=^AC2+BC-=^82+62-10.

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，螞蟻從側(cè)表面從A爬行到B最短路徑為10.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開(kāi)圖求最短路徑問(wèn)題，將圓柱體展開(kāi)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股

定理解答是解題關(guān)鍵.

8.（2021?浙江?寧波市第七中學(xué)八年級(jí)期中）如果AABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.那

么下列條件中能判斷AABC是直角三角形的是（）

A.ZA：ZB：ZC=3：4：5B.ZA=25°,ZB=75°

C.a=^2?b^3,c\/5D.a=6,b—10,c—12

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出NA+NB+/C=18O。，再根據(jù)NA:NB:NC=3:4:5求出最大角NC,

再根據(jù)直角三角形的判定即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NC,即可判斷選項(xiàng)B;根據(jù)勾股

定理的逆定理即可判斷選項(xiàng)C、選項(xiàng)D.

【詳解】解：A.???ZA:N3:NC=3:4:5,Z4+/B+NC=180°,

最大角ZC=-^xl80o=75°,

.?.△ABC不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.vZA=25°,ZB=75°,

/.ZC=180o-ZA-ZB=80°,

「.△ABC不是直角二角形，故本選項(xiàng)不符合題意;

C.,,,a=y/2>b->/3,c—卡,

a2+Z>2=c2，

.?.△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；

D.a=6,b=\O,c=12,

:.a2+b2we)，

.?.△ABC不是直角二角形，故本選項(xiàng)不符合題意;

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是能熟記勾股定理的逆定理和三

角形內(nèi)角和等于180°.

9.(2021?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知點(diǎn)P(m,m),過(guò)點(diǎn)P作OP的垂

線交函數(shù)、=丘(k>l)的圖象于點(diǎn)Q.若Q的橫坐標(biāo)為1,且OPJPQ?=6,則k的值為(

A.2B.3C.28D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)點(diǎn)P(m,m)可得AOPM、AQPN均為等腰直角三角形，根據(jù)OP2-PQ2=6得出2/n2-2(/M-1)2=6,

求出m值即可求得k的值.

【詳解】解：作QN工PM,

P(m,m),

ZOPM=45°,

???QP工OP,

NQPN=45。，

.?.△OPM.QPN均為等腰直角三角形，

OP=42m,PQ=>/2PN,

OP2=2m2,PQ2=2PN2=2(m-I)2,

vOP2-PQ2=6,

即2%2-2(機(jī)-1)2=6,

解得：m=2,

:.PN=QN=2-\=\,

??Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為加+1=2+1=3,

???2(1-3),

將點(diǎn)Q代入y=丘中，

得：k=3,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)函數(shù)圖像，等腰三角形以及勾股定理，根據(jù)已知條件求出m的值是解題的

關(guān)鍵.

10.(2021?江西九江?八年級(jí)期末)如圖，在aABC中，AB=6,AC=8,BC=10,AABD,AACE,ABCF

都是等邊三角形，下列結(jié)論中：①ABJ_AC；②四邊形AEFD是平行四邊形；③NDFE=135°；④S四娜AEFD

=20.正確的個(gè)數(shù)是（)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】山=3(呼，得出4c=90。，故①正確；再山SAS證得AABCvADHF,得AC=Db=AE=8,

同理AABC三蛇FC(SAS),得AB=M=AD=6,則四邊形AEED是平行四邊形，故②正確；然后由平行四邊形

的性質(zhì)得NObE=NDAE=150。，則③錯(cuò)誤；最后求出工在0=24,故④錯(cuò)誤；即可得出答案.

【詳解】解：???AB=6,AC=8,BC=10,62+82=102,

222

.?.AB+AC=BCf

???AABC是直角三角形，ZBAC=90°,

」.A3_LAC,故①正確；

AABD?A4CE都是等邊三角形，

.-.ZZMB=ZE4C=60o,

..ZDAE=150°f

?「和\FBC都是等邊三角形，

,?.BD=BA，BF=BC,ZDBF+NFBA=ZABC+ZABF=舒,

:.NDBF=ZABC,

在AABC與AZM尸中，

AB=DB

?/ABC=/DBF,

BC=BF

/.AABC=ADBF(SAS),

:.AC=DF=AE=Sf

同理可證：^ABC=^EFC(SAS),

/.AB=EF=AD=6,

???四邊形AEED是平行四邊形，故②正確；

.?.NDFE=NDAE=150。，故③錯(cuò)誤；

過(guò)A作尸于G,如圖所示：

則/4GO=90。，

???四邊形AEFD是平行四邊形，

.-.ZF04=1800-ZDFE=1800-1500=30°,

AG=-AD=3,

2

；?田=。尸?AG=8x3=24,故④錯(cuò)誤;

,正確的個(gè)數(shù)是2個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角

形的性質(zhì)、含3歲角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明A4BCnADBF是

解題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共8個(gè)小題，每題3分，共24分。

11.（2021?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試）已知AABC中，AB=17,AC=10,BC邊上的高AD=8.則邊BC的長(zhǎng)為

【答案】21或9

【分析】根據(jù)題意，可能是銳角三角形或者鈍角三角形，分兩種情況進(jìn)行討論作圖，然后利用勾股定

理即可求解.

【詳解】解：在“ABC中，AB=\1,AC=\O,BC邊上高AO=8,

如圖所示，當(dāng)AABC為銳角三角形時(shí)，

在中A5=17,AD=8,由勾股定理得:

BD1=AB2-AD2=172-82=225,

:.80=15,

在心△AC。中4C=10,AD=8,由勾股定理得:

CD2=AC2-AD2=102-82=36,

，CD=6,

；.BC的長(zhǎng)為：BC=BD+DC=\5+6=2l；

如圖所示：當(dāng)AABC為鈍角三.角形時(shí)，

在RtZXABO中45=17,4。=8,由勾股定理得：

BD2=AB2-AD2=]12-82=225,

BD=\5,

在必△AC。中AC=10,AO=8,由勾股定理得：

CD2=AC2-A￡>2=102-82=36,

CD=6,

，BC的長(zhǎng)為：BC=BD-DC=15-6=9；

綜上可得：BC的長(zhǎng)為：21或9.

故答案為：21或9.

【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理，進(jìn)行分類討論作出圖象運(yùn)用勾股定理解直角三角形是解題關(guān)鍵.

12.（2021-全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試）已知等腰三角形的腰長(zhǎng)是13cm,底邊長(zhǎng)10cm,則該等腰三角形的面

積是cm2.

【答案】60

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一定理和勾股定理即可求得底邊的高，從而求得三角形面積.

【詳解】解：如圖所示：AB=AC=13cm,BC=10cm

作ADJ_BC于D,貝l」NADB=90°

:.BD=CD=—BC=5cm,

2

?*-AD=>]AB2-BD2=12cm，

.".△ABC的面積==,4。4。=1*10*12=60€012,

22

故答案為：60.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形三線合一是解題關(guān)鍵.

13.（2021?河南?鄭州楓楊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，若AB=5,AC

=13,AD=6,則BC的長(zhǎng)為.

【答案】2國(guó)

【分析】延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接BE.先運(yùn)用SAS證明△ADC也△EDB,得出BE=13.再由勾股定理的

逆定理證明出/BAE=90°,然后在AABD中運(yùn)用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，從而得出BC=2BD.

【詳解】解：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接BE.

AD=ED

"ZADC=NEDB,

CD=BD

.,.△ADC^AEDB(SAS),

?\AC=BE=13.

在4ABE中,AB=5,AE=12,BE=13,

.*.AB2+AE2=BE2,

AZBAE=90°.

在ZkABD中,ZBAD=90°,AB=5,AD=6,

???BD工^AB2+AEP=舊+62=向，

.?.BO2而.

故答案為：2\/^T.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，綜合性較強(qiáng)，難度中等.題中延長(zhǎng)

中線的一倍是常用的輔助線的作法.

14.（2021?浙江?溫州市南浦實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)D在aABC內(nèi)，/BDC=90°,AB=3,AC=

BD=2,CD=1,則圖中陰影部分的面積為.

4

【答案】逐+石

【分析】根據(jù)勾股定理和?C=90。，BD=2,CD=\,可以先求出BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定

理可以判斷A4BC的形狀，從而可以求出陰影部分的面積.

【詳解】解：■.■ZBDC=90°,BD=2,CD=\,

BC=^BDr+CEr=42。+l2=舊，

AB=3.AC=2?

AC2+BC2=22+（府=4+5=9=32=用，

.?.AAC8是直角三角形，ZACB=90°,

S陰影=SMCB-S1yme=2f=-j5-\,

故答案為：V5-1.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面積，解題的關(guān)鍵是求出8C的長(zhǎng).

15.（2022?重慶黔江?八年級(jí)期末）如圖是放在地面上的一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其中A3=9,8C=6,BF=5,

點(diǎn)M在棱A3上，且A例=3,點(diǎn)N是尸G的中點(diǎn)，一只螞蟻要沿著長(zhǎng)方體盒子的表面從點(diǎn)M爬行到點(diǎn)N,

它需要爬行的最短路程為.

【答案】10

【分析】利用平面展開(kāi)圖有兩種情況，畫出圖形利用勾股定理求出MN的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：如圖，

VAB=9,BC=GF=6,BF=5,點(diǎn)N是FG的中點(diǎn),

:.NF==NG=3

2

.\BM=9-3=6,BN=5+3=8,

MN=d6+8=10

如圖2,

VAB=8,BC=GF=6,BF=5,

.,.PM=9-3+3=9,NP=5,

MN^y/92+52=7106-

?.?因?yàn)?0〈阿，所以螞蟻沿長(zhǎng)方體表面從點(diǎn)M爬行到點(diǎn)N的最短距離的10

故答案為：10

【點(diǎn)睛】此題主要考查r平面展開(kāi)圖的最短路徑問(wèn)題和勾股定理的應(yīng)用，利用展開(kāi)圖有兩種情況分析得出

是解題關(guān)鍵.

16.(2022?重慶市育才中學(xué)八年級(jí)期末)如圖所示，AABC和△但'都是等腰直角三角形，

2

ZCAB=ZEAF=90°,AC平分N￡A尸，連接CE、BF,取CE的中點(diǎn)O,連接80,若A￡=§8C,則AABF

與△BCD的面積之比為.

【答案】4:5

【分析】延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)G,連接BE,過(guò)點(diǎn)F作54交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,根據(jù)等腰直角三角形的

性質(zhì)及角平分線的計(jì)算可得NFAC=/EAC=45°，AG平分NC48,利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)得

出AGLBC[\.BG=CG=^BC,設(shè)AE=2x(x>0),則BC=9x,由勾股定理及線段間的數(shù)量關(guān)系得出

AB=^x,EG=Jx,計(jì)算出的面積，結(jié)合圖形及題意可得力皿=5.8班=1S.BCE，根據(jù)等角對(duì)等

2n2

邊得出為等腰直角三角形，利用勾股定理可得FH=&x,結(jié)合圖形計(jì)算尸的面積，最后求面積

比即可.

【詳解】解：如圖所示：延長(zhǎng)AE交BCF點(diǎn)G,連接BE,過(guò)點(diǎn)F作交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

?；與-AEE均為等腰直角三角形，

/.AB=AC,AE=AF,ZEAF=ABAC=90°,

?.鵬（：平分/砍尸，

/.ZFAC=ZEAC=45°，

ZE4B=45°,

；.AG平分/CAB,

AGIBC[].BG=CG=-BC,

2

2

VAE=-BC,

9

:.9AE=2BC,

設(shè)AE=2x(x>0),則BC=9x,

9

:.BG=CG=-X

29

VZE4B=45°,ZAGB=90。，

AZABG=45°,

9

BG=AG=-x

2f

AB=^AG2+BG2

2

VAE=2x,

95

:.EG=AG-AE=-x-2x=—x

22f

2

S.KCE=-BCEG=-9x^x=—x,

?BCE2224

,ID為CE中點(diǎn),

???CD=DE,

?:?BCDM?BDE中,CD邊和DE邊上的高相等，都是點(diǎn)B到直線CE的距離,

[45

?*S/BCD~、.BDE=TS.BCE=丁廠'

,:AE=AF,

丁ZFAC=ZEAC=ZGAB=45°,

???ZE4//=45°,

■:FHLAH，

???/"=90。，NAFH=45。，

???-AFH為等腰直角三角形，

FA=y[2FH，

.?.FH=—AF=>/2x,

2

?1.?19^2nr92

??Sc.A"=-BnAFHTt=x-y/2x=-x,

?e?S^ABF：S^BCD=o：~Q~X=4：5，

ZO

故答案為：4:5.

【點(diǎn)睛】題目主要考查角平分線計(jì)算，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，結(jié)合圖形，作

出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

17.（2021?上海市奉賢區(qū)古華中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在4X3的正方形網(wǎng)格中，^ABC與aDEC的頂點(diǎn)都

在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上，則NBAC+NCDE=度.

AB

C

DE

【答案】45

【分析】連接A。、BE,根據(jù)勾股定理以及勾股定理的逆定理求解即可.

【詳解】解：連接A。、BE,如下圖:

由勾股定理得，A￡)=Vl2+32=VT6>C￡>=々+32=而,AC=yj22+42=2^

fiE=712+32=V10>CE=A/12+12=>/2)BC=d2)+于=2&

:WB?+(Vio)2=(26『，(2V2)2+(V2)2=(Vio)2,

AAD2+CD2=AC2,CE2+BC2=BE2,AD=CD

...AA￡>C為等腰直角三角形，ABCE為直角三角形，NADC=NBCE：=90。

4c￡>=45°

...ABAC+ZCDE=ZACD=45°

故答案為：45

【點(diǎn)睛】此題考查r勾股定理以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理以及勾股定理的逆

定理.

18.（2022?江蘇東臺(tái)?九年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)P在第一象限，AABP是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)A在

x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B隨之在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最大距離是；

若將4ABP的PA邊長(zhǎng)改為2加,另兩邊長(zhǎng)度不變，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的最大距離變?yōu)?

【答案】1+81+石

【詳解】解：根據(jù)當(dāng)。到AB的距離最大時(shí)，0P的值最大，得到0到AB的最大值是;AB=1,此時(shí)在斜邊的

中點(diǎn)M上，由勾股定理求出PM,即可求出答案；將AABP的PA邊長(zhǎng)改為2近，另兩邊長(zhǎng)度不變，根據(jù)

22+22=（2V2）\得到NPBA=90°,由勾股定理求出PM即可.

詳解：取AB的中點(diǎn)M,連0M,PM,

在RtAABO中，0M=；A5=1,在等邊三角形ABP中，PM-73，

無(wú)論aABP如何運(yùn)動(dòng)，0M和PM的大小不變，當(dāng)0M,PM在一直線上時(shí)，P距0最遠(yuǎn),

?；0到AB的最大值是：AB=1,此時(shí)在斜邊的中點(diǎn)M上，由勾股定理得：PM=6，

/.OP=1+V3,

將AAOP的PA邊長(zhǎng)改為20，另兩邊長(zhǎng)度不變，V22+22=（272）\

/.ZPBA=90°,由勾股定理得：PM=6，,此時(shí)OP=OM+PM=l+6.

點(diǎn)睛：本題主要考查對(duì)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理的

逆定理等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)理解題意求出PD的值是解此題的關(guān)鍵.

三、解答題：本題共7個(gè)小題，19-23每題7分，24小題9分，25每題12分，共56分。

19.（2021?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，A4?C中NACB=90。，D為邊AB上一點(diǎn)，且NZXX=NA.

D

CB

（1）求證：AD=BD；

（2）若CD=5,BC=6,求AC的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）8

【分析】

（1）根據(jù)NACB=90°,ZDCA=ZA,推出/B=NDCB,得出CD=BD,再根據(jù)N￡>C4=NA,得出CD=AD,

從而得出AD=BD；

（2）根據(jù)（1）先求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求出AC的長(zhǎng).

【詳解】解：（1）VZACB=90°,

.?./A+NB=90°,ZDCA+ZDCB=90o,

ZDCA=ZA,

：.ZB=ZDCB,

/.CD=BD,

?；ZDCA=ZA,

ACD=AD,

，AD=BD；

（2）由（D得:AD=CD=BD,

VCD=5,

.\AB=10,

?；BC=6,NACB=90°,

二AC=y/AB2-CB-=A/1O2-62=8.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，等腰三角形的判定定理，根據(jù)在三角形中，等角等邊對(duì)求出CD=AD=DB是

解題的關(guān)鍵.

20.（2021?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，紅星村A和幸福村B在一條小河CQ的同側(cè)，它們到河岸的距

離AC,8。分別為1km和3km,又知道C￡>的長(zhǎng)為3km,現(xiàn)要在河岸CO上建一水廠向兩村輸送自來(lái)水,

鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米20000元.

B

D

(1)請(qǐng)?jiān)?上選擇水廠位置，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省(作圖工具不限，保留作圖痕跡)；

(2)求鋪設(shè)水管的最省總費(fèi)用.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)100000元.

【分析】

(1)延長(zhǎng)AC到F,使CF=AC,連接BF,交CD于E,則E為所求；

(2)過(guò)B作BN_LCA,交CA的延長(zhǎng)線于N,求出BN,NC長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出BF,即可得出答案.

【詳解】解：(1)延長(zhǎng)AC到F,使CF=AC,連接BF,交CD于E,

VAC1CD,

；.AE=FE,

,,.AE+BE=FE+BE=BF,

則在Cl)上選擇水廠位置是E時(shí)，使鋪設(shè)管道的費(fèi)用最省；

(2)如上圖，過(guò)B作BNJ_CA,交CA的延長(zhǎng)線于N,

二BN=CD=3km,CN=BD=3km,

VAC=CF=lkm,

/.NF-4km,

在中，由勾股定理得：BF=ylBN2+NF2=A/32+42=5^

VAC1CD,AC=CF,

???AE=FE,

，AE+BE=EF+BE=BF=5km,

?,?鋪設(shè)水管的最最省總費(fèi)用是：20000X5=100000(元).

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)是

解題的關(guān)鍵，此類題目重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和計(jì)算能力.

21.(2021?廣東?珠海市文園中學(xué)八年級(jí)期中)如圖，兩個(gè)全等的等邊三角形4ABC與AACD,邊長(zhǎng)為6,

高為a,在拼成的四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AB、AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，滿足BE=AF,連接EF,CE,CF.

(1)求證：4CEF是等邊三角形；

(2)AAEF周長(zhǎng)的最小值是.(用含a的式子表示)

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；(2)6+36

【分析】

(1)證明△BEC2/XAFC(SAS),可得結(jié)論；

(2)AAEF的周長(zhǎng)=AE+AF+EF=AE+BE+EF=AB+EF=6+EF,推出EF的值最小時(shí)，△AEF的周長(zhǎng)最小,

因?yàn)?ECF是等邊三角形，推出EF=CE,推出當(dāng)CE_LAB時(shí)，CE的值最小.

【詳解】解：(D證明：'.'△ABC,4ACD是全等的等邊三角形，

/.AC=BC,ZABC=ZDAC=ZBCA=60°,

VAF=BE,在△CBE和ZiCAF中,

CB=CA

<NCBE=ZCAF,

BE=AF

.?.△BEC絲△AFC(SAS),

/.CE=CF,ZBCE=ZACF,

二ZBCE+ZACE=ZACF+ZACE,

.".ZECF=ZBCA=60°,

/.△CEF是等邊三角形.

⑵

解：?.?△AEF的周長(zhǎng)=AE+AF+EF=AE+BE+EF=AB+EF=6+EF,

；.EF的值最小時(shí)，AAEF的周長(zhǎng)最小，

VAECF是等邊三角形，

/.EF=CE,

.?.當(dāng)CELAB時(shí)，CE的值最小，

「△ABC是等邊三角形，且CEJ_AB,

AE=-AB=3,

2

在RtAAEC中，CE=SIAC2-AE2=序于=36,

.".△AEF的周長(zhǎng)的最小值為6+3>/3,

故答案為：6+3>/3.

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

22.(2021?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試)如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)

A,B,其中AB=AC,由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一

個(gè)取水點(diǎn)II(A、H、B在同一條直線上)，并新修一條路CH,測(cè)得CB=1.5千米，CH=L2千米，HB=0.9千

米.

(1)問(wèn)CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；

(2)求新路CH比原路CA少多少千米？

【答案】解：(D是，理由見(jiàn)詳解；(2)新路CH比原路CA少0.05千米.

【分析】

(1)根據(jù)勾股定理的逆定理驗(yàn)證△CHB為直角三角形，進(jìn)而得到CHLAB,再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短

即可解答；

(2)在AACH中根據(jù)勾股定理解答即可.

【詳解】解：(D是，理由如下：

在△（:"中，

VCH2+BH2=1.22+0.：=2.25=1.52=BC2,

即CH2+BH'=BC-,

...△CHB為直角三角形，且NCHB=90°,

.?.CII±AB,

由點(diǎn)到直線的距離垂線段最短可知，CH是從村莊C到河邊AB的最近路;

（2）設(shè)AC=x千米，

在RtZXACH中，由己知設(shè)AC=x,AH=x-O.9,CH=1.2,

由勾股定理得：AC2=AH-+CH2

x2=（x-0.9）1I?

解得x=1.25,即AC=1.25,

故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）

答：新路CH比原路CA少0.05千米.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及逆定理是解決本題的關(guān)鍵.

23.（2021?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試）課間，小明拿著王老師的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墻縫

中.我們知道兩堵墻都是與地面垂直的，如圖.王老師沒(méi)有批評(píng)他，但要求他完成如下兩個(gè)問(wèn)題：

（1）試說(shuō)明△ADCgaCEB；

（2）從三角板的刻度知AC=25cm,算算一塊磚的厚度.（每塊磚的厚度均相等）小明先將問(wèn)題所給條件做

了如下整理：如圖，AABC中，CA-CB,ZACB=90°,AD_LDE于D,BE_LDE于E.請(qǐng)你幫他完成上述問(wèn)題.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）5cm

【分析】

（1）根據(jù)題意可得AC=BC,ZACB=90°,AD±DE,BE±DE,進(jìn)而得到NADC=NCEB=90°,再根據(jù)等角

的余角相等可得/BCE=/DAC,再證明aADC@4CEB即可.

（2）利用（1）中全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答.

【詳解】解：證明：（1）如圖：

VAD1DE,BE1DE,

AZADC=ZBEC=90°,

.*.Zl+Z2=90o,

VZACB=90°,

二/2+/3=180°-90°=90°,

,：ZADC=ZBEC=90°,

.*.Z1=Z3,

由NADC=NBEC=90°,Nl=/3,CA=CB,

.,.△ADC^ACEB；

（2）設(shè)每塊磚厚度為xcm,由①得，DC=BE=3xcm,AD=4xcm,

VZADC=90°,

.,.AD2+CD2=AC2,

即（4x）2+（3x）2=25?,解得x=5,（x=-5舍去），

,每塊磚厚度為5cm.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件.

24.（2021?江蘇?蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在7x7網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1.

(DAABC的面積為一；

(2)判斷AABC的形狀，并說(shuō)明理由.

(3)求A8邊上的高.

【答案】(1)5；(2)4ABC是直角三角形，理由見(jiàn)解析；(3)2.

【分析】

(1)根據(jù)割補(bǔ)法即可求解；

(2)利用勾股定理的逆定理即可判斷AABC是直角三角形；

(3)過(guò)點(diǎn)C作CF_LAB于點(diǎn)F,根據(jù)等積法即可求得CF值.

(1)

解：如圖：

VAE=1,BD=4,ED=4,EC=DC=2,

SAABC-SABDE-SABCD_SAACE-

--(AE+BD)xDE--BDxCD--AExCE

222

—x(l+4)x4--x4x2--x2xl

222

=10-4-1

=5,

故答案為:5；

(2)

解：AABC是直角三角形，理由如下：

VA