奧數(shù)-六年級(jí)競(jìng)賽-幾何直線形面積-燕尾定理.教師版word

直線型面積—燕尾定理第直線型面積—燕尾定理第4講理解燕尾定理，靈活運(yùn)用定理解題．用份數(shù)思想求面積之間的關(guān)系．本講是在秋季所學(xué)四大模型的根底上，講解運(yùn)用燕尾定理求解面積問題．至此五大模型已講解完畢．體會(huì)五大模型解決問題的優(yōu)勢(shì)．燕尾定理：S△ABGS△AGCS△BGES△EGCBEEC；S△BGAS△BGCS△AGFS△FGCAFFC；S△AGCS△BCGS△ADGS△DGBADDB；問：為什么稱之為燕尾定理？答：我們看看燕子的尾巴然后再看看右圖的陰影局部，看看陰影局部是不是很像燕子的尾巴，A是尾巴與身體的連接點(diǎn)，AG是燕子尾巴的中分線，左右兩個(gè)陰影三角形構(gòu)成燕子尾巴的兩側(cè)翼.同學(xué)們也可以自己動(dòng)手，試試以三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)作為尾巴與身體的連接點(diǎn)能不能畫出燕子的尾巴.燕尾定理因?yàn)閳D形類似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個(gè)三角形之中，為三角形中的三角形面積對(duì)應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.通過一道例題證明一下燕尾定理：舉例：如右圖，D是BC上任意一點(diǎn)，請(qǐng)你說明S1S4S2S3BDDC三角形BED與三角形CED同高，分別以BD、DC為底，所以有S1S4BDDC；三角形ABE與三角形EBD同高，S1S2EDEA三角形ACE與三角形CED同高，S4S3，所以S1S4S2S3；綜上可得S1S4S2S3BDDC.用燕尾定理求面積用燕尾定理求面積如圖，，，三角形的面積是30，求陰影局部面積.題中條件只有三角形面積給出具體數(shù)值，其他條件給出的實(shí)際上是比例的關(guān)系，由此我們可以初步判斷這道題不應(yīng)該通過面積公式求面積.又因?yàn)殛幱熬植渴且粋€(gè)不規(guī)那么四邊形，所以我們需要對(duì)它進(jìn)行改造，那么我們需要連一條輔助線，(法一)連接，因?yàn)?，，三角形的面積是30，所以，．根據(jù)燕尾定理，，,所以，，所以陰影局部面積是．(法二)連接，由題目條件可得到，，所以，，而．所以陰影局部的面積為．右圖的大三角形被分成5個(gè)小三角形，其中4個(gè)的面積已經(jīng)標(biāo)在圖中，那么，陰影三角形的面積是．方法一：整個(gè)題目讀完，我們沒有發(fā)現(xiàn)任何與邊長(zhǎng)相關(guān)的條件，也沒有任何與高或者垂直有關(guān)系的字眼，由此，我們可以推斷，這道題不能依靠三角形面積公式求解.我們發(fā)現(xiàn)右圖三角形中存在一個(gè)比例關(guān)系：，解得.方法二：回憶下燕尾定理，有，解得.如右圖，三角形ABC中，BDDC49，CEEA43，求AFFB.燕子尾巴非常明顯.根據(jù)燕尾定理，，，所以，所以.如圖在中，,求的值．連接BG,設(shè)1份，根據(jù)燕尾定理,,得(份)，(份),那么(份)，因此,同理連接AI、CH得,,所以如右圖，三角形ABC中，AFFBBDDCCEAE32，且三角形GHI的面積是1，求三角形ABC的面積．連接BG，4份根據(jù)燕尾定理，，得(份)，(份)，那么(份)，因此,同理連接AI、CH得,,所以三角形GHI的面積是1，所以三角形ABC的面積是19如圖，三角形ABC被分成6個(gè)三角形，己知其中4個(gè)三角形的面積，問三角形ABC的面積是多少?設(shè)，，根據(jù)燕尾定理,得,即，，即，解得，所以三角形ABC的面積是三角形ABC的面積為15平方厘米，D為AB中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，求陰影局部的面積．令BE與CD的交點(diǎn)為M，CD與EF的交點(diǎn)為N，連接AM，BN．在中，根據(jù)燕尾定理，,,所以由于S，所以在中，根據(jù)燕尾定理，設(shè)(份)，那么(份)，(份)，(份)，所以,，因?yàn)?F為BC中點(diǎn),所以,,所以(平方厘米)如右圖，中，是的中點(diǎn)，、、是邊上的四等分點(diǎn)，與交于，與交于，的面積比四邊形的面積大平方厘米，那么的面積是多少平方厘米？連接、．根據(jù)燕尾定理，，，所以；再根據(jù)燕尾定理，，所以，所以，那么，所以．根據(jù)題意，有，可得(平方厘米)如右圖，三角形ABC的面積是1，BDDEEC，CFFGGA，三角形ABC被分成9局部，請(qǐng)寫出這9局部的面積各是多少?設(shè)BG與AD交于點(diǎn)P，BG與AE交于點(diǎn)Q，BF與AD交于點(diǎn)M，BF與AE交于點(diǎn)N．連接CP，CQ，CM，CN．根據(jù)燕尾定理，，，設(shè)(份)，那么(份)，所以同理可得，,,而，所以，．同理，,所以，,,四邊形ABCD，CHFG為正方形，，a與b是兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，求觀察圖形，感覺陰影局部像蝴蝶定理，但是細(xì)細(xì)分析發(fā)現(xiàn)用蝴蝶定理無法繼續(xù)往下走，注意到題目條件中給出了兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，有邊長(zhǎng)就可以利用比例，再發(fā)現(xiàn)在連接輔助線后可以利用燕尾，那么我們就用燕尾定理來求解連接EO、AF，根據(jù)燕尾定理：，所以，作OM⊥AE、ON⊥EF，∵AEEF∴∴∴求面積方法的綜合運(yùn)用求面積方法的綜合運(yùn)用如圖，在平行四邊形中，，．求陰影面積與空白面積的比．方法一：因?yàn)?，，所以，．因?yàn)?，所以，所以，．同理可得，，．因?yàn)?，所以空白局部的面積，所以陰影局部的面積是．，所以陰影面積與空白面積的比是．方法二：連接CG、CH、AC,AC交BD于O，有在中，根據(jù)燕尾定理可以得到,,所以,所以,同理在中，根據(jù)燕尾定理可以得到,,所以,所以所以陰影面積與空白面積的比如圖，在一個(gè)梯形內(nèi)有兩個(gè)面積分別為10與12的三角形，梯形的上底長(zhǎng)是下底長(zhǎng)的，那么余下的陰影局部的面積是______．設(shè)上底為2a,那么下底為3a,梯形的高為45,所以陰影局部面積為如下圖，在中，，是的中點(diǎn)，那么．連接．由于，，所以，根據(jù)燕尾定理，．三角形中，是直角，，，，，那么三角形(陰影局部)的面積為多少？連接．的面積為根據(jù)燕尾定理，；同理設(shè)面積為1份，那么的面積也是1份，所以的面積是份，而的面積就是份，也是4份，這樣的面積為份，所以的面積為．三角形ABC的面積是1平方厘米，且BE2EC，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)．那么陰影局部的面積是平方厘米．連接BF，根據(jù)燕尾定理,又因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，所以，所以,即D是AB的中點(diǎn)，設(shè)(份)，那么(份),(份),(份)，(份)，所以(平方厘米)如圖，線段AB與BC垂直，AD=EC=4，DB=BE=6，那么圖中陰影局部面積是多少？這個(gè)圖是個(gè)對(duì)稱圖形，且各邊長(zhǎng)度已經(jīng)給出，我們不妨連接這個(gè)圖形的對(duì)稱軸看看.作輔助線BO，那么圖形關(guān)于BO對(duì)稱，設(shè)△ADO的面積為2份，那么△DBO的面積為3份，直角三角形ABE的面積為8份.因?yàn)椋幱熬植康拿娣e為4份，所以陰影局部的面積為如圖，中，，與平行，的面積是1平方厘米．那么的面積是平方厘米．因?yàn)?，，與平行，所以,，，那么，又因?yàn)?所以(平方厘米)．富烏富烏鴉樹上落了一只嘴里銜著一大塊東西的烏鴉。許多追蹤這個(gè)富有者的烏鴉立刻成群飛來。它們?nèi)悸湎聛?，一聲不響，一?dòng)不動(dòng)。那只嘴里叼著東西的烏鴉已經(jīng)很累了，很吃力地喘息著，不是嗎，它不可能一下子就把這一大塊東西吞下去呀。它也不能飛下去，在地上沉著不迫地把這塊東西啄碎，烏鴉們會(huì)猛撲過去，于是就要開始一場(chǎng)通常所說的混戰(zhàn)了。它只好停在那兒，保衛(wèi)嘴巴里的那塊東西。也許是因?yàn)樽炖锏鹬鴸|西呼吸困難，也許是因?yàn)橄惹氨淮蠹易汾s得精疲力竭——只見它搖晃了一下，突然失落了叼著的那塊東西。所有的烏鴉都猛撲上去，在這場(chǎng)混戰(zhàn)中，一只非常機(jī)靈的烏鴉搶到了那塊東西，立刻展翅飛去。頭一只被迫趕得精疲力竭的烏鴉也在跟著飛，但已明顯地落在大家后面了。結(jié)果是第二只烏鴉也像第一只一樣，精疲力竭地落到一棵樹上，最終也失落了那塊東西。于是又是