2023人教版新教材A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步練習(xí)-強(qiáng)化練7　函數(shù)極值的求解及其應(yīng)用

專題強(qiáng)化練7函數(shù)極值的求解及其應(yīng)用

1.(2021山西懷仁期末)已知函數(shù)尸F(xiàn)(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是

A.-1是函數(shù)F(x)的極小值點(diǎn)

B.-4是函數(shù)f{x)的極小值點(diǎn)

C.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-8,-4)上單調(diào)遞增

D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-4,-1)上先增后減

2.(2020福建三明期末質(zhì)量檢測(cè))函數(shù)/"(x)=ln/一X的圖象大致為()

3.若函數(shù)/'(x)=#+(h)『alnx存在唯一的極值，且此極值不小于1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

()

A.[|,2)B.[|,+8)

C.(0,|)D.(T,0)U[|,+8)

4.(2021河南洛陽孟津第一高級(jí)中學(xué)綜合訓(xùn)練)已知函數(shù)/'(才)=^+3且/+卜02+￡)矛+1心＞0),若

f(x)有極值，且《)與f'(x)(f'3為f(x)的導(dǎo)函數(shù))的所有極值之和不小于卷則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是()

A.(0,3]B.(1,3]

C.[1,3]D.[3.+OO)

5.(多選)設(shè)函數(shù)/U)盧,則下列說法正確的是()

Inx

A.f(x)的定義域是(0,+8)

B.當(dāng)xG(0,1)時(shí)，f(x)的圖象位于x軸下方

C.f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間

D.f(x)有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)

6.(多選)已知函數(shù)/'(x)=xsin廣aV(aGR),則下列說法正確的是()

A.當(dāng)于1時(shí)，函數(shù)f(x)當(dāng)且僅當(dāng)尸0時(shí)取極小值

B.當(dāng)a=-l時(shí)，函數(shù)f(x)有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)

C.Vad(-8,_1],f(x)W0

D.若/Xx)在區(qū)間[04]上的最小值是0,則a》l

7.(2021河南新鄉(xiāng)期末)若函數(shù)f(x)=^\-/+2x(成0)在(0,1)上有極值點(diǎn)，則力的取值范圍

為.

8.(2022遼寧沈陽期中)已知函數(shù)f(x)=4+2-nx-kx,若產(chǎn)2是函數(shù)f(x)的唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

X2

A的取值范圍是.

9.(2021安徽池州期末)已知函數(shù)/W=(l+cos其中加為常數(shù).

(1)當(dāng)ZZFO時(shí)，求曲線f(x)在產(chǎn)0處的切線方程；

(2)若函數(shù)/'(*)在區(qū)間?上只有一個(gè)零點(diǎn)，求加的取值范圍.

10.(2022江西吉安期末)已知函數(shù)f(x)=axe"-(x+l)2(aCR).

(1)當(dāng)爐T時(shí)，求/'(x)的極值；

⑵若f(x)W0在xW[T,1]上恒成立,求a的取值范圍.

11.(2021湖南岳陽平江一中期末)已知函數(shù)/<x)=a『生Inx(aWR).

X

⑴若Mx)是定義域上的增函數(shù),求a的取值范圍；

(2)若a》(,函數(shù)F(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)用,用(水就，求f(幻-丹⑷的取值范圍.

答案全解全析

1.B由題中導(dǎo)函數(shù)的圖象可得f(x)在(-8,-4)上單調(diào)遞減，在(-4,+8)上單調(diào)遞增，故-4是

函數(shù)M的極小值點(diǎn),T不是F(x)的極值點(diǎn).故選B.

2.B函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋鹸CRlx7。｝.

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=21nx-x,

當(dāng)x>2時(shí),f'(4<0,當(dāng)0<水2時(shí),f'(x)>0,

在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減，且f(x)在(0,+8)上的極大值為/(2)=21n

2-2<0,；.C、D錯(cuò)誤.

當(dāng)矛<0時(shí)，f(x)=21n(-%)-x,f'⑸-2r〈o,

X

...f(x)在(-8,0)上是減函數(shù)，；.A錯(cuò)誤,B正確.

故選B.

解題模板

由函數(shù)解析式確定函數(shù)圖象時(shí)，往往由解析式確定其性質(zhì)，再由性質(zhì)逐一確定其大致圖象.

解題時(shí),可通過求導(dǎo)得到極值點(diǎn),從而確定函數(shù)的大致圖象.

3.BVf｛x)+(a-1)^-51nx,x>0,

：.f'(X)=X+(a-1)_J-+(aT)…二(%+agi).令/，但引得產(chǎn)1或產(chǎn)

XXX

,：函數(shù)尸f(x)存在唯一的極值，

...尸1為f(x)的極值點(diǎn)，a20,

，當(dāng)xd(0,1)時(shí)，f'(x)<0,函數(shù)/'(X)單調(diào)遞減，當(dāng)XW(1,+8)時(shí)，f'(x)>0,函數(shù)/'(X)單調(diào)

遞增，

f(x)極小值=f(l)=：+a-l=a-',

又f(x)極小Bl,.?.a-羅1,解得且斗故選B.

4.B由題意得f'(x)=3*+6ax+2a?+工(a>0),

a

因?yàn)镕(X)有極值,所以f'(x)=3V+6ax+2a2+上0有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

a

即4二(6H)2—4X3X(2Q2+J=12(Q2_5)>(),即?>0,因?yàn)閍0,所以H>L

令力(x)=F'(才)=3*+6己彳+2才+工(3〉1),

則h'(x)=6戶6a,令為'(x)=0,得x=~a,故x=~a是f'(x)的極值點(diǎn).

設(shè)f(x)的極值點(diǎn)為不，蒞,則X,,王為方程f'(x)=39+6ax+2aLi+L=0的根,

n>j2i

則Xi+x2=-2a,^2=—3+—3a,

因?yàn)?(A,)+r(Aa)=xl+3axl+(2a2+：)為+1+%尹3a+(2。2+N)及+]

=(*+品)3-3(①+總)Xi*2+3a(xi+.尸-6a*i及+(2a2+(及+及)+2

=(-2a*6a(手+抒3a(-2a)?-6a符+套)+(24+0(-2a)+2=-8a+12a3-4a-2+2=0,

所以f(x)+/U)+F'修)=-，+〉-胃，

a3

令g(a)=-a2+L(a>l),易得g(a)在(1,+8)上單調(diào)遞減,且g(3)=-^,所以kaW3.故選B.

5.BC由題意得解得x>0且xWl,

所以函數(shù)盧的定義域?yàn)?0,1)U(1,+8),所以A不正確；

Inx

當(dāng)XG(0,1)時(shí)，InKO,e*>0,故f(x)<0,

所以f(x)在(0,1)上的圖象都在x軸下方,所以B正確;

ex(lnx-^)

易得f'(x)=

(Inx)2

設(shè)g(x)=lnX--,則g'(x)」+W

XXx￡

當(dāng)x>0時(shí),g'(x)>0,

所以函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

又g(e)=l,>0,

e

所以f'(x)>0在定義域上有解,所以函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間,所以C正確;

又g⑴=T<0,所以存在XoG(1,e),使得g(x())=0,

則f'(x)=0有且只有一個(gè)根島

當(dāng)xR(0,1)時(shí)，f'(x)<0,F(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xW(1,m)時(shí)，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xC(Xo,+8)時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f(x)只有一個(gè)極值點(diǎn),所以D不正確.

故選BC.

6.AC對(duì)于A,易知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，當(dāng),3=1時(shí)，f(x)=xsin廣只當(dāng)*>0時(shí)，f'(x)=sin

戶xcos戶2x2sinx-x+2x=x+sinx,

令g(x)=x+sinx,則g'(x)=l+cosx20,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,則g(x)>g(0)=0,所以

f'(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(x)在(-8,0)上單調(diào)

遞減,故M在產(chǎn)0時(shí)取得極小值,故A正確.

對(duì)于B,當(dāng)a=-l時(shí)，f(x)=xsin『V=x(sinx-x),令/'(x)=0,得A=0,故函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)

零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,假設(shè)f(x)W0恒成立，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以Vxe(0,+8),f(x)W0,即sin

A+ajWO,

)，令人(入)=-普-0,+8),sin.,.*>-1,.言<1,故C正確.

'x/min工工

對(duì)于D,當(dāng)戶0時(shí)，f(x)=0,滿足題意，此時(shí)a￡R;

當(dāng)代(0用時(shí),易知心(一警)3,令加3=-等1e(0用),則

令〃(x)=-xcos戶sinx(x￡(。用),

貝U(x)=-cos戶xsinA+COSA=xsinx>0,

.?.〃(*)在(0彳］上單調(diào)遞增，

'.n{x)>z;(0)=0,即/(x)〉0,...Mx)在(0,手上單調(diào)遞增，...///(x)噂)=-：,；.心-玄故D錯(cuò)誤.

故選AC.

7.答案(-2,0)

解析f'(x)=糜*-2戶2(水0),

設(shè)g{x)=me'-2A+2(Z?<0),則g，(x)=mex~2,

由水0得g，(x)-mex-2<0,所以g(x)=F'(x)在(0,1)上為減函數(shù)，

依題意得匕‘樣=m6解得-2〈欣0.

故勿的取值范圍為(-2,0).

解題模板

函數(shù)f(x)存在極值點(diǎn)等價(jià)于其導(dǎo)函數(shù)f'(x)存在變號(hào)零點(diǎn)，解題時(shí)可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與

函數(shù)零點(diǎn)存在定理解決問題.

8.答案(-8,右

解析易知f(x)的定義域?yàn)?0,+8),

f'(*)=型宇+把-幺因?yàn)閼?是函數(shù)f{x}的唯一極值點(diǎn),所以f'(x)=0有唯一的實(shí)數(shù)根尸2,

XsX

即方程(『2)(e*-AV)=o有唯一的實(shí)數(shù)根產(chǎn)2,

所以e*-4f=0無解或有唯一解年2,即函數(shù)片后的圖象與直線片衣無交點(diǎn)或只有一個(gè)橫坐標(biāo)為2

的交點(diǎn).

設(shè)g(x)棄,則g'(x)=c%(x~2),

X2X3

當(dāng)XR(0,2)時(shí),g'(x)<0,g(x)為減函數(shù)；

當(dāng)xC(2,+8)時(shí),g，(x)>o,g(x)為增函數(shù)，

所以當(dāng)A=2時(shí),g(x)取極小值,也是最小值,為今

因?yàn)楫?dāng)『*0時(shí),g(x)f+8；當(dāng)Xf+8時(shí),g(*)f+8,所以k^—.

4

所以A的取值范圍為(一8,口.

9解析(1)當(dāng)折0時(shí)，f(x)=(l+cosx)e：則/'(x)=(-sinx)e'+(l+cosx)e*=(l-sin戶cos

x)e',

所以f70)=(1-0+1)e°=2.

又A0)=(l+l)e°=2,

所以曲線f(x)在產(chǎn)0處的切線方程為廣2=2(『0),即2尸六2=0.

(2)由(1)知f'(x)=(l-sin戶cosx)e'=[l—&sin(x—；)卜，

因?yàn)镺WxW],所以-jWsin(x—W芋，

所以TW&sin(x—；)Wl,

所以0W1-&sin(x-gW2,

所以f'(x)=[l-V^sin—：)卜'20,

故函數(shù)f(x)在區(qū)間?上單調(diào)遞增，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間?上只有一個(gè)零點(diǎn)，

(/(0)=2-m<0,1t

所以f/RE、八解得2〈勿We"

jy=e2-m>0,

即力的取值范圍是[2,ez].

10.解析(1)當(dāng)寸T時(shí)，f(x)=-xe*-(戶1)；

f'(x)=-(e*+xe*)-2(?￥+l)=-(-rH)(e*+2),

令f'(x)=0,得x=-l.

當(dāng)x變化時(shí)，f'(X)與/'(x)的變化情況如下表:

X(-8,-1)-1(-1,+°°)

f'(X)+0—

f{x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

f(x)極大值=f(Te)無極小值.

(2)f'(*)=0(。'+脛")-2(戶1)=(戶1)(ae*-2),

,/MW0在xS［T,1］上恒成立，

-WO在xe［T,1］上恒成立.

(i)當(dāng)aWO時(shí)，f(x)在［T,1］上單調(diào)遞減，則f(x)11M=f(T)=-ae“W0,得a=0.

(ii)當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0,得x=-\或年Ina

①若a22e,則若'(x)20在［T,1］上恒成立，

此時(shí)f(x)在［T,1］上單調(diào)遞增，則/'(x)則=f(l)=ae-4>0,不符合題意；

②若0<a<2e,則In->-1,令，'(x)>0,得K-1或x>ln3令f'(x)<0,得T〈xGn

aaa

.."(x)在(—Lin上單調(diào)遞減，在(in+8)上單調(diào)遞增，

故當(dāng)xR［T,1］時(shí)，M的最大值為f(T)與f(l)中的較大者，

要滿足MW0在xe［T,1］上恒成立,只需=一解得0<a<.

綜上,a的取值范圍為［O耳

方法技巧

不等式恒成立問題的常見解法:①分離參數(shù),。巳代舊恒成立心巳咒舊力或aWf(x)恒成立

(aWf(x%n);②數(shù)形結(jié)合，畫出相應(yīng)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象的位置關(guān)系求解;③討論參數(shù),

排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.

11.解析⑴/'(X)的定義域?yàn)?0,+8),f，(才)=3+1」